Aufgaben:Aufgabe 1.10: BPSK–Basisbandmodell: Unterschied zwischen den Versionen
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:$$s(t) \ = \ z(t) \cdot q(t),$$ | :$$s(t) \ = \ z(t) \cdot q(t),$$ | ||
:$$b(t) \ = \ 2 \cdot z(t) \cdot r(t) .$$ | :$$b(t) \ = \ 2 \cdot z(t) \cdot r(t) .$$ | ||
Die hier gewählten Bezeichnungen lehnen sich an das [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Blockschaltbild]] im Theorieteil an. | Die hier gewählten Bezeichnungen lehnen sich an das [[Digitalsignalübertragung/Lineare_digitale_Modulation_–_Kohärente_Demodulation#Gemeinsames_Blockschaltbild_f.C3.BCr_ASK_und_BPSK|Blockschaltbild]] im Theorieteil an. | ||
| − | Der Einfluss eines Kanalfrequenzgangs $H_{\rm K}(f)$ lässt sich in einfacher Weise berücksichtigen, wenn man diesen zusammen mit Modulator und Demodulator durch einen gemeinsamen Basisbandfrequenzgang beschreibt: | + | Der Einfluss eines Kanalfrequenzgangs $H_{\rm K}(f)$ lässt sich in einfacher Weise berücksichtigen, wenn man diesen zusammen mit Modulator und Demodulator durch einen gemeinsamen Basisbandfrequenzgang beschreibt: |
:$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$ | :$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$ | ||
| − | *Damit werden Modulator und Demodulator quasi gegeneinander gekürzt, und | + | *Damit werden Modulator und Demodulator quasi gegeneinander gekürzt, und |
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*der Bandpasskanal $H_{\rm K}(f)$ wird in den Tiefpassbereich transformiert. | *der Bandpasskanal $H_{\rm K}(f)$ wird in den Tiefpassbereich transformiert. | ||
| − | Die resultierende Übertragungsfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ sollte man nicht mit der Tiefpass–Übertragungsfunktion $H_{\rm K, \, TP}(f)$ gemäß der Beschreibung im Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion]] des Buches „Signaldarstellung” verwechseln, die sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen sowie einer Frequenzverschiebung um $f_{\rm T}$ nach links ergibt. | + | Die resultierende Übertragungsfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ sollte man nicht mit der Tiefpass–Übertragungsfunktion $H_{\rm K, \, TP}(f)$ gemäß der Beschreibung im Kapitel [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion|"Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion"]] des Buches „Signaldarstellung” verwechseln, die sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen sowie einer Frequenzverschiebung um $f_{\rm T}$ nach links ergibt. |
Bei Frequenzgängen muss im Gegensatz zu Spektralfunktionen auf die Verdoppelung der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet werden. | Bei Frequenzgängen muss im Gegensatz zu Spektralfunktionen auf die Verdoppelung der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet werden. | ||
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-Die dazugehörige Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist komplex. | -Die dazugehörige Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ ist komplex. | ||
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$ h_{\rm MKD}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \ = \ $ { 0.75 3% } | $ h_{\rm MKD}(t = 0)/\Delta f_{\rm K} \ = \ $ { 0.75 3% } | ||
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| − | *$H_{\rm K,TP}(f)$ ergibt sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der negativen Frequenzanteile sowie Verschieben um $f_{\rm T}$ nach links. | + | *$H_{\rm K,TP}(f)$ ergibt sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der negativen Frequenzanteile sowie Verschieben um $f_{\rm T}$ nach links. |
| − | * Bei Frequenzgängen wird – im Gegensatz zu Spektren – auf das Verdoppeln der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet. Deshalb: | + | |
| + | * Bei Frequenzgängen wird – im Gegensatz zu Spektren – auf das Verdoppeln der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet. Deshalb: | ||
:$$H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f= 0) = H_{\rm K}(f= f_{\rm T})=1.$$ | :$$H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f= 0) = H_{\rm K}(f= f_{\rm T})=1.$$ | ||
| − | *Wegen der reellen und unsymmetrischen Spektralfunktionen $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ ist die zugehörige Zeitfunktion (Fourierrücktransformierte) $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ nach dem Zuordnungssatz komplex. | + | *Wegen der reellen und unsymmetrischen Spektralfunktionen $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ ist die zugehörige Zeitfunktion (Fourierrücktransformierte) $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ nach dem Zuordnungssatz komplex. |
| − | [[Datei:P_ID1684__Dig_A_4_3_a.png| | + | [[Datei:P_ID1684__Dig_A_4_3_a.png|right|frame|Tiefpassfunktionen für $H_{\rm K}(f)$]] |
| − | '''(2)''' Hier ist nur der <u>dritte Lösungsvorschlag</u> richtig: | + | '''(2)''' Hier ist nur der <u>dritte Lösungsvorschlag</u> richtig: |
| − | *Die Spektralfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ besitzt stets einen geraden Realteil und keinen Imaginärteil. Demzufolge ist $h_{\rm MKD}(t)$ stets reell. | + | *Die Spektralfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ besitzt stets einen geraden Realteil und keinen Imaginärteil. Demzufolge ist $h_{\rm MKD}(t)$ stets reell. |
| − | *Hätte $H_{\rm K}(f)$ zusätzlich einen um $f_{\rm T}$ ungeraden Imaginärteil, so würde $H_{\rm MKD}(f)$ einen um $f = 0$ ungeraden Imaginärteil aufweisen. Damit wäre $h_{\rm MKD}(t)$ immer noch eine reelle Funktion. | + | |
| + | *Hätte $H_{\rm K}(f)$ zusätzlich einen um $f=f_{\rm T}$ ungeraden Imaginärteil, so würde $H_{\rm MKD}(f)$ einen um $f = 0$ ungeraden Imaginärteil aufweisen. Damit wäre $h_{\rm MKD}(t)$ immer noch eine reelle Funktion. | ||
| − | Die Grafik verdeutlicht die Unterschiede zwischen $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$. Die Anteile von $H_{\rm MKD}(f)$ im Bereich um $\pm 2f_{\rm T}$ müssen nicht weiter beachtet werden. | + | Die Grafik verdeutlicht die Unterschiede zwischen $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$. Die Anteile von $H_{\rm MKD}(f)$ im Bereich um $\pm 2f_{\rm T}$ müssen nicht weiter beachtet werden. |
| − | '''(3)''' $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich additiv aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen, jeweils mit Breite $\Delta f_{\rm K}$ und Höhe $0.5$. Daraus folgt: | + | '''(3)''' $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich additiv aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen, jeweils mit Breite $\Delta f_{\rm K}$ und Höhe $0.5$. Daraus folgt: |
:$$h_{\rm MKD}(t) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot t)+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi \cdot \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot t)$$ | :$$h_{\rm MKD}(t) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot t)+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi \cdot \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot t)$$ | ||
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} + \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} = 0.75 \cdot \Delta f_{\rm K}\hspace{0.3cm} | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} + \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} = 0.75 \cdot \Delta f_{\rm K}\hspace{0.3cm} | ||
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| − | '''(4)''' Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag:</u> | + | '''(4)''' Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag:</u> |
| − | *Die erste si–Funktion besitzt zwar äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $1/\Delta f_{\rm K}$. | + | *Die erste si–Funktion besitzt zwar äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $1/\Delta f_{\rm K}$. |
| − | *Die äquidistanten Nulldurchgänge der gesamten Zeitfunktion $h_{\rm MKD}$ werden aber durch den zweiten Term bestimmt: | + | *Die äquidistanten Nulldurchgänge der gesamten Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ werden aber durch den zweiten Term bestimmt: |
:$$h_{\rm MKD}(t = \frac{1}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi )+ | :$$h_{\rm MKD}(t = \frac{1}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi )+ | ||
\frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi/2) = \frac{\Delta | \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi/2) = \frac{\Delta | ||
Aktuelle Version vom 7. Mai 2022, 14:09 Uhr
Unsymmetrischer Kanalfrequenzgang
Wir betrachten in dieser Aufgabe ein BPSK–System mit kohärenter Demodulation, das heißt, es gilt
- $$s(t) \ = \ z(t) \cdot q(t),$$
- $$b(t) \ = \ 2 \cdot z(t) \cdot r(t) .$$
Die hier gewählten Bezeichnungen lehnen sich an das Blockschaltbild im Theorieteil an.
Der Einfluss eines Kanalfrequenzgangs $H_{\rm K}(f)$ lässt sich in einfacher Weise berücksichtigen, wenn man diesen zusammen mit Modulator und Demodulator durch einen gemeinsamen Basisbandfrequenzgang beschreibt:
- $$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$
- Damit werden Modulator und Demodulator quasi gegeneinander gekürzt, und
- der Bandpasskanal $H_{\rm K}(f)$ wird in den Tiefpassbereich transformiert.
Die resultierende Übertragungsfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ sollte man nicht mit der Tiefpass–Übertragungsfunktion $H_{\rm K, \, TP}(f)$ gemäß der Beschreibung im Kapitel "Äquivalentes Tiefpass-Signal und zugehörige Spektralfunktion" des Buches „Signaldarstellung” verwechseln, die sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der Anteile bei negativen Frequenzen sowie einer Frequenzverschiebung um $f_{\rm T}$ nach links ergibt.
Bei Frequenzgängen muss im Gegensatz zu Spektralfunktionen auf die Verdoppelung der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite "Basisbandmodell für ASK und BPSK".
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die die Aussagen 2, 3 und 4:
- $H_{\rm K,TP}(f)$ ergibt sich aus $H_{\rm K}(f)$ durch Abschneiden der negativen Frequenzanteile sowie Verschieben um $f_{\rm T}$ nach links.
- Bei Frequenzgängen wird – im Gegensatz zu Spektren – auf das Verdoppeln der Anteile bei positiven Frequenzen verzichtet. Deshalb:
- $$H_{\rm K,\hspace{0.04cm} TP}(f= 0) = H_{\rm K}(f= f_{\rm T})=1.$$
- Wegen der reellen und unsymmetrischen Spektralfunktionen $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ ist die zugehörige Zeitfunktion (Fourierrücktransformierte) $h_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(t)$ nach dem Zuordnungssatz komplex.
Tiefpassfunktionen für $H_{\rm K}(f)$
(2) Hier ist nur der dritte Lösungsvorschlag richtig:
- Die Spektralfunktion $H_{\rm MKD}(f)$ besitzt stets einen geraden Realteil und keinen Imaginärteil. Demzufolge ist $h_{\rm MKD}(t)$ stets reell.
- Hätte $H_{\rm K}(f)$ zusätzlich einen um $f=f_{\rm T}$ ungeraden Imaginärteil, so würde $H_{\rm MKD}(f)$ einen um $f = 0$ ungeraden Imaginärteil aufweisen. Damit wäre $h_{\rm MKD}(t)$ immer noch eine reelle Funktion.
Die Grafik verdeutlicht die Unterschiede zwischen $H_{\rm K,\hspace{0.04cm}TP}(f)$ und $H_{\rm MKD}(f)$. Die Anteile von $H_{\rm MKD}(f)$ im Bereich um $\pm 2f_{\rm T}$ müssen nicht weiter beachtet werden.
(3) $H_{\rm MKD}(f)$ setzt sich additiv aus einem Rechteck und einem Dreieck zusammen, jeweils mit Breite $\Delta f_{\rm K}$ und Höhe $0.5$. Daraus folgt:
- $$h_{\rm MKD}(t) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi \cdot \Delta f_{\rm K} \cdot t)+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi \cdot \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot t)$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} + \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} = 0.75 \cdot \Delta f_{\rm K}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h_{\rm MKD}(t = 0)/{\Delta f_{\rm K}} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.75} .$$
(4) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:
- Die erste si–Funktion besitzt zwar äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $1/\Delta f_{\rm K}$.
- Die äquidistanten Nulldurchgänge der gesamten Zeitfunktion $h_{\rm MKD}(t)$ werden aber durch den zweiten Term bestimmt:
- $$h_{\rm MKD}(t = \frac{1}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (\pi )+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi/2) = \frac{\Delta f_{\rm K}}{4},$$
- $$h_{\rm MKD}(t = \frac{2}{\Delta f_{\rm K}}) = \ \frac{\Delta f_{\rm K}}{2} \cdot {\rm si} (2\pi )+ \frac{\Delta f_{\rm K}}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi) = 0.$$
