Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Fehlerwahrscheinlichkeiten beim Oktalsystem: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Es wird ein Digitalsystem mit $M = 8$ Amplitudenstufen (Oktalsystem) betrachtet, dessen $M – 1 = 7$ Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen. | + | Es wird ein Digitalsystem mit $M = 8$ Amplitudenstufen ("Oktalsystem")  betrachtet,  dessen $M – 1 = 7$ Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen. |
| − | Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ mit $1 ≤ \mu ≤ 8$ kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten $a_{\mu–1}$ bzw. $a_{\mu+1}$ verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$. Hierzu einige Beispiele: | + | Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ mit $1 ≤ \mu ≤ 8$ kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten $a_{\mu–1}$ bzw. $a_{\mu+1}$ verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$. |
| − | *$a_5$ geht mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_4$ über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_6$. | + | |
| − | *$a_8$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_7$ verfälscht. In die andere Richtung ist keine Verfälschung möglich. | + | Hierzu einige Beispiele: |
| + | *$a_5$ geht mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten  $a_4$  über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_6$. | ||
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| + | *$a_8$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_7$ verfälscht.  In die andere Richtung ist keine Verfälschung möglich. | ||
Die Zuordnung von jeweils drei binären Quellensymbolen in einen oktalen Amplitudenkoeffizienten geschieht alternativ entsprechend | Die Zuordnung von jeweils drei binären Quellensymbolen in einen oktalen Amplitudenkoeffizienten geschieht alternativ entsprechend | ||
| − | *der zweiten Spalte in der angegebenen Tabelle, die „zufällig” – ohne Strategie – generiert wurde, | + | *der zweiten Spalte in der angegebenen Tabelle, die „zufällig” – ohne Strategie – generiert wurde, |
| − | *der Graycodierung, die in Spalte 3 nur unvollständig angegeben ist und noch ergänzt werden soll. | + | |
| + | *der Graycodierung, die in Spalte 3 nur unvollständig angegeben ist und noch ergänzt werden soll. | ||
| − | Angegeben ist der Graycode für $M = 4$. Bei $M = 8$ sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein | + | Angegeben ist der Graycode für $M = 4$. Bei $M = 8$ sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein $\rm L$ zu ergänzen, für $a_{5}, ..., a_{8}$ das Binärsymbol $\rm H$. |
Für die beiden Zuordnungen „Zufall” und „Gray” sollen berechnet werden: | Für die beiden Zuordnungen „Zufall” und „Gray” sollen berechnet werden: | ||
| − | *die | + | *die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$, die in beiden Fällen gleich ist; $p_{\rm S}$ gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ an; |
| − | *die | + | *die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bezogen auf die (decodierten) Binärsymbole. |
| + | Hinweise: | ||
| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Grundlagen_der_codierten_Übertragung|"Grundlagen der codierten Übertragung"]]. | ||
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'''(1)''' Entsprechend der Beschreibung auf der Angabenseite steht | '''(1)''' Entsprechend der Beschreibung auf der Angabenseite steht | ||
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| − | * | + | *$\rm HLL$ für für den Amplitudenkoeffizienten $a_{8}$ ⇒ $\underline{\mu =8}$. |
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:$$p_{\rm S} = \frac{2 \cdot 1 + 6 \cdot 2} { 8} \cdot p\hspace{0.15cm}\underline { = 1.75 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm S} = \frac{2 \cdot 1 + 6 \cdot 2} { 8} \cdot p\hspace{0.15cm}\underline { = 1.75 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(3)''' Jeder Übertragungsfehler (Symbolfehler) hat beim Graycode genau einen Bitfehler zur Folge. Da jedoch jedes Oktalsymbol drei Binärzeichen beinhaltet, gilt | + | |
| + | '''(3)''' Jeder Übertragungsfehler (Symbolfehler) hat beim Graycode genau einen Bitfehler zur Folge. Da jedoch jedes Oktalsymbol drei Binärzeichen beinhaltet, gilt | ||
:$$p_{\rm B} ={p_{\rm S}}/ { 3}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.583 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm B} ={p_{\rm S}}/ { 3}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.583 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(4)''' Von den insgesamt sieben möglichen Übergängen (jeweils in beiden Richtungen) führen zu | '''(4)''' Von den insgesamt sieben möglichen Übergängen (jeweils in beiden Richtungen) führen zu | ||
| − | *einem Fehler: | + | *einem Fehler: $\rm HLH \ \Leftrightarrow \ LLH$, |
| − | *zwei Fehlern: | + | *zwei Fehlern: $\rm HLL \ \Leftrightarrow \ HHH$, $\rm LLL \ \Leftrightarrow \ LHH$, $\rm HHL \ \Leftrightarrow \ HLH$, $\rm LLH \ \Leftrightarrow \ LHL$, |
| − | *drei Fehlern: | + | *drei Fehlern: $\rm HHH \ \Leftrightarrow \ LLL$, $\rm LHH \ \Leftrightarrow \ HHL$. |
Aktuelle Version vom 17. Mai 2022, 14:54 Uhr
Oktale „Zufallscodierung” und Graycodierung
Es wird ein Digitalsystem mit $M = 8$ Amplitudenstufen ("Oktalsystem")  betrachtet,  dessen $M – 1 = 7$ Entscheiderschwellen genau bei den jeweiligen Intervallmitten liegen.
Ein jeder der gleichwahrscheinlichen Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ mit $1 ≤ \mu ≤ 8$ kann nur in die unmittelbaren Nachbarkoeffizienten $a_{\mu–1}$ bzw. $a_{\mu+1}$ verfälscht werden und zwar in beiden Richtungen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$.
Hierzu einige Beispiele:
- $a_5$ geht mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten  $a_4$  über und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_6$.
- $a_8$ wird mit der Wahrscheinlichkeit $p = 0.01$ in den Koeffizienten $a_7$ verfälscht.  In die andere Richtung ist keine Verfälschung möglich.
Die Zuordnung von jeweils drei binären Quellensymbolen in einen oktalen Amplitudenkoeffizienten geschieht alternativ entsprechend
- der zweiten Spalte in der angegebenen Tabelle, die „zufällig” – ohne Strategie – generiert wurde,
- der Graycodierung, die in Spalte 3 nur unvollständig angegeben ist und noch ergänzt werden soll.
Angegeben ist der Graycode für $M = 4$. Bei $M = 8$ sind die beiden letzten Binärzeichen an der gestrichelt eingezeichneten Linie zu spiegeln. Für die ersten vier Amplitudenkoeffizienten ist an der ersten Stelle ein $\rm L$ zu ergänzen, für $a_{5}, ..., a_{8}$ das Binärsymbol $\rm H$.
Für die beiden Zuordnungen „Zufall” und „Gray” sollen berechnet werden:
- die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$, die in beiden Fällen gleich ist; $p_{\rm S}$ gibt die mittlere Verfälschungswahrscheinlichkeit eines Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ an;
- die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ bezogen auf die (decodierten) Binärsymbole.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Grundlagen der codierten Übertragung".
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel "Redundanzfreie Codierung" .
Fragebogen
Musterlösung
(1) Entsprechend der Beschreibung auf der Angabenseite steht
- $\rm LHH$ für den Amplitudenkoeffizienten $a_{3}$ ⇒ $\underline{\mu =3}$.
- $\rm HLL$ für für den Amplitudenkoeffizienten $a_{8}$ ⇒ $\underline{\mu =8}$.
(2) Die äußeren Koeffizienten $(a_{1}$ und $a_{8})$ werden jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p = 1 \%$ verfälscht,
die $M – 2 = 6$ inneren mit der doppelten Wahrscheinlichkeit $(2p= 2 \%)$. Durch Mittelung erhält man:
- $$p_{\rm S} = \frac{2 \cdot 1 + 6 \cdot 2} { 8} \cdot p\hspace{0.15cm}\underline { = 1.75 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Jeder Übertragungsfehler (Symbolfehler) hat beim Graycode genau einen Bitfehler zur Folge. Da jedoch jedes Oktalsymbol drei Binärzeichen beinhaltet, gilt
- $$p_{\rm B} ={p_{\rm S}}/ { 3}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.583 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Von den insgesamt sieben möglichen Übergängen (jeweils in beiden Richtungen) führen zu
- einem Fehler: $\rm HLH \ \Leftrightarrow \ LLH$,
- zwei Fehlern: $\rm HLL \ \Leftrightarrow \ HHH$, $\rm LLL \ \Leftrightarrow \ LHH$, $\rm HHL \ \Leftrightarrow \ HLH$, $\rm LLH \ \Leftrightarrow \ LHL$,
- drei Fehlern: $\rm HHH \ \Leftrightarrow \ LLL$, $\rm LHH \ \Leftrightarrow \ HHL$.
Daraus folgt:
- $$p_{\rm B} = \frac{p} { 3} \cdot \frac{1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3} { 7} = \frac{15} { 21} \cdot p \hspace{0.15cm}\underline { = 0.714 \,\%} \hspace{0.05cm}.$$
