Aufgaben:Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN

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Kanalmodelle  „BSEC”  und  „AWGN”

Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:

• Binary Symmetric Channel  $\rm (BSC)$,
• Binary Erasure Channel  $\rm (BEC)$,
• Binary Symmetric Error & Erasure Channel  $\rm (BSEC)$.

Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell.  Daraus lassen sich zwei andere Kanalmodelle ableiten:

• Mit  $λ = 0$  ergibt sich das BSC–Modell.
• Mit  $\varepsilon = 0$  ergibt sich das BEC–Modell.

Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem diskreten BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanalmodell.  Um Verwechslungen zu vermeiden,  bezeichnen wir das  (analoge)  Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit  $y_{\rm A}$,  wobei mit dem Rauschterm  $n$  gilt:

$$y_{\rm A} = \tilde{x}+ n.$$

Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin.  Es gilt:

• $\tilde{x} = +1$,   falls  $x = 0$,
• $\tilde{x} = -1$,   falls  $x = 1$.

Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße  $y \in \{0,\ 1,\ \rm E\}$,  die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt.  Hierzu werden die Entscheiderschwellen  $G_0$  und  $G_1$  benötigt.

Das Ereignis   $y = \rm E$  („"Erasure"”)  sagt aus,  dass die Entscheidung so unsicher ist,  dass als Ergebnis weder  $y = 0$   noch   $y = 1$   gerechtfertigt erscheint.  In deutschen Fachbüchern spricht man von einer  "Auslöschung".

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen".

• Die Streuung des AWGN–Rauschens  $n$  wird für die gesamte Aufgabe zu  $\sigma = 0.4$  angenommen.

• Die Wahrscheinlichkeit,  dass die Zufallsgröße  $n$  größer ist als  $A$  oder kleiner als  $–A$,  ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral  ${\rm Q}(x)$  wie folgt:

$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$

• Bitte beachten Sie weiter:   Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon = 0$  eigentlich nicht möglich.

• Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch,  dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen.  Damit kann  $\varepsilon \le 0.5 · 10^{-4}=0.005\%$  durch  $\varepsilon \approx 0$  angenähert werden.

Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:

$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50.0\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$

$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \hspace{0.3cm} 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \hspace{0.3cm} 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSC–Modell?

	Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

2

Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon$  mit  $\sigma = 0.4$?

$\varepsilon \ = \ $ $\ \%$

3

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSEC–Modell?

	Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

4

Welche BSEC–Parameter ergeben sich mit Schwellen bei  $±0.2$?

$\varepsilon \ = \ $ $ \ \%$

$\lambda \ = \ $ $ \ \%$

5

Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BEC–Modell?  Beachten Sie bitte den letzten Hinweis auf der Angabenseite.

	Eine Entscheiderschwelle bei  $G = 0$.
	Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei  $±G$.
	Eine Entscheiderschwelle bei  $G_{1} = 0$  und eine zweite bei  $G_{2} = 0.5$.

6

Berechnen Sie den BEC–Parameter  $\lambda$  für Entscheiderschwellen bei  $G = ±0.6$.

$\lambda \ = \ $ $ \ \%$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist die  Antwort 1:

• Das BSC–Modell basiert auf einer einzigen Entscheiderschwelle.  Wegen der Eigenschaft  "symmetric"  liegt diese bei  $G = 0$.

(2)  Die Wahrscheinlickeit,  dass eine Gaußsche Zufallsgröße mit Streuung  $\sigma$  größer ist als  $+1$  oder kleiner ist als  $–1$,  ergibt sich gemäß der Angabe zu  $\varepsilon = {\rm Q} (1/ \sigma)$.

• Mit  $\sigma= 0.4$  folgt daraus:   $\varepsilon = {\rm Q}(2.5) \ \underline { = 0.62\, \%}.$

(3)  Richtig ist hier die  Antwort 2:

• Beim BSEC–Modell gibt es drei Entscheidungsgebiete,  je eines für die Symbole  $0$  und  $1$  und ein weiteres für  "Erasure" $(\rm E$:  keine Entscheidung möglich$)$.
• Dazu benötigt man zwei Schwellen,  die symmetrisch um  $0$  liegen müssen.
• Wenn dem nicht so wäre,  ergäben sich unterschiedliche Ergebnisse für die Symbole  $0$  und  $1$.

(4)  Es gelte  $y_{\rm A} = \tilde{x}+ n$.  Eine falsche Entscheidung ergibt sich in diesem Fall für den Rauschterm

• $n > +1.2$,   falls $\tilde{x} = -1$   ⇒   $x = 1$,
• $n < -1.2$,   falls $\tilde{x} = +1$   ⇒   $x = 0$.

In beiden Fällen erhält man für die Verfälschungswahrscheinlichkeit:

$$ε = {\rm Q}(1.2/0.4) = {\rm Q}(3) \hspace{0.15cm} \underline{=0.14 \%}.$$

• Ein  "Erasure"  (keine Entscheidung)  ergibt sich für  $–0.2 < y_{\rm A} < +0.2$.
• Ausgehend von  $\tilde{x} = -1$  gilt somit:

$$\lambda \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.8 < n < 1.2) = {\rm Pr}(n > 0.8) - {\rm Pr}(n > 1.2) = {\rm Q}(2) - {\rm Q}(3) \approx 2.28\,\% - 0.14\,\% \hspace{0.15cm} \underline {\approx 2.14\,\%} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Hier ist ebenfalls die  Antwort 2  richtig:

• Auch beim BEC–Modell gibt es zwei um  $0$  symmetrische Schwellen.
• Der Unterschied zum BSEC–Modell ist,  dass sich die Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon = 0$  $($genauer gesagt:  $\varepsilon < 0.5 · 10^{–4})$  ergibt,  entweder,  weil

• der Sicherheitsbereich  $(±G)$  größer gewählt ist als beim BSEC–Modell,  oder
• das AWGN–Rauschen eine kleinere Streuung  $σ$  aufweist.

(6)  Beim BEC–Modell ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit vernachlässigbar:

$$\varepsilon = {\rm Q}(1.6/0.4) = {\rm Q}(4)\approx 0.32 \cdot 10^{-4} \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Das heißt: Man kann hier tatsächlich vom BEC–Modell ausgehen.
• Für die  "Erasure"–Wahrscheinlichkeit gilt dabei:

$${\it \lambda} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm Pr}(0.4 < n < 1.6) = {\rm Pr}(n > 0.4) - {\rm Pr}(n > 1.6) ={\rm Q}(1) - {\rm Q}(4) \approx {\rm Q}(1) \hspace{0.15cm} \underline {= 15.87\,\%} \hspace{0.05cm}.$$