Aufgaben:Aufgabe 4.10: Union Bound: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | [[Datei:P_ID2043__Dig_A_4_10.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit $N=2$ | + | [[Datei:P_ID2043__Dig_A_4_10.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit $N=2$ und $M=3$]] |
| − | Die | + | Die „Union Bound” ist eine obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines nichtbinären Übertragungssystems $(M > 2)$. |
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| + | *Die tatsächliche (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit ist allgemein wie folgt gegeben: | ||
:$${\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{0.05cm},$$ | :$${\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ \bigcup_{k \ne i} { \cal E}_{ik}\right ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{ \rm wobei}\hspace{0.2cm} | :$$ {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ \bigcup_{k \ne i} { \cal E}_{ik}\right ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{ \rm wobei}\hspace{0.2cm} | ||
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\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die einfachere | + | *Die einfachere "Union Bound" liefert eine obere Schranke für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht $m_i$ $($bzw. das Signal $\boldsymbol{s}_i)$ gesendet wurde: |
:$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ \ge \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s }_i ) = {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i )\hspace{0.05cm},\ $$ | :$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ \ge \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s }_i ) = {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i )\hspace{0.05cm},\ $$ | ||
:$$ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}\sum\limits_{k = 0 ,\hspace{0.1cm} k \ne i}^{M-1}\hspace{-0.1cm} | :$$ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}\sum\limits_{k = 0 ,\hspace{0.1cm} k \ne i}^{M-1}\hspace{-0.1cm} | ||
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Dabei sind folgende Abkürzungen verwendet: | Dabei sind folgende Abkürzungen verwendet: | ||
| − | * ${\rm Q}(x)$ ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion | + | * ${\rm Q}(x)$ ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion; |
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| + | * $d_{ik}$ bezeichnet den Abstand der Signalpunkte $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$; | ||
| − | Durch Mittelung über alle möglichen Signale $\boldsymbol{s}_i$ kommt man dann zur eigentlichen | + | * $\sigma_n$ ist der Effektivwert (⇒ Wurzel aus der Varianz) des additiven weißen Gaußschen Rauschens. |
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| + | ⇒ Durch Mittelung über alle möglichen Signale $\boldsymbol{s}_i$ kommt man dann zur eigentlichen "Union Bound" : | ||
:$$p_{\rm UB} = \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s }_i) \cdot p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \ge {\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$p_{\rm UB} = \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s }_i) \cdot p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \ge {\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen mit jeweils $M = 3$ | + | Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen mit jeweils $M = 3$ Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$. |
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| + | *Die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ sind geeignet normiert. | ||
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| + | *Somit sind auch die Signalraumkoordinaten reine Zahlenwerte ohne Einheit: | ||
:$$\boldsymbol{ s }_1 = (-1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | :$$\boldsymbol{ s }_1 = (-1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | ||
\boldsymbol{ s }_2 = (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}.$$ | \boldsymbol{ s }_2 = (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Der Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_0$ in der Konfiguration | + | *Der Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_0$ in der Konfiguration $\rm A$ liegt so, dass $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$, $\boldsymbol{s}_2$ ein gleichseitiges Dreieck beschreiben. |
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| + | *Bei den Konfigurationen $\rm B$ und $\rm C$ gilt dagegen $\boldsymbol{s}_0 = (0,\ 0)$ bzw. $\boldsymbol{s}_0 = (0, \ –1)$. | ||
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| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]]. | + | Hinweise: |
| − | * | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]]. |
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| + | *Verwenden Sie für alle Berechnungen den AWGN–Effektivwert $\sigma_n = 0.5$. | ||
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* Gegeben sind folgende Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion: | * Gegeben sind folgende Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion: | ||
:$${\rm Q}(1) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.159\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(\sqrt{2}) \approx 0.079\hspace{0.05cm}, \hspace{0.23cm}{\rm Q}(\sqrt{3}) \approx 0.042\hspace{0.05cm},$$ | :$${\rm Q}(1) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.159\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(\sqrt{2}) \approx 0.079\hspace{0.05cm}, \hspace{0.23cm}{\rm Q}(\sqrt{3}) \approx 0.042\hspace{0.05cm},$$ | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welche der drei Konfigurationen führt zur kleinsten Fehlerwahrscheinlichkeit (zumindest nach der | + | {Welche der drei Konfigurationen führt zur kleinsten Fehlerwahrscheinlichkeit $($zumindest nach der "Union Bound"–Näherung)? |
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| − | - Konfiguration | + | - Konfiguration $\rm A$, |
| − | - Konfiguration | + | - Konfiguration $\rm B$, |
| − | + Konfiguration | + | + Konfiguration $\rm C$. |
| − | {Berechnen Sie die „gemittelte Union Bound” ( | + | {Berechnen Sie die „gemittelte Union Bound” $(p_{\rm UB})$ für die Konfiguration $\rm A$. |
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$p_{\rm UB} \ = \ ${ 4.6 3% } $\ \%$ | $p_{\rm UB} \ = \ ${ 4.6 3% } $\ \%$ | ||
| − | {Berechnen Sie die „gemittelte Union Bound” | + | {Berechnen Sie die „gemittelte Union Bound” für die Konfiguration $\rm B$. |
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$p_{\rm UB} \ = \ ${ 12.1 3% } $\ \%$ | $p_{\rm UB} \ = \ ${ 12.1 3% } $\ \%$ | ||
| − | {Berechnen Sie die „gemittelte Union Bound” | + | {Berechnen Sie die „gemittelte Union Bound” für die Konfiguration $\rm C$. |
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$p_{\rm UB} \ = \ ${ 3.2 3% } $\ \%$ | $p_{\rm UB} \ = \ ${ 3.2 3% } $\ \%$ | ||
| − | {Wie müsste der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ bei Konfiguration | + | {Wie müsste der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ bei Konfiguration $\rm A$ verändert werden, damit sich die gleiche "Union Bound" wie in Aufgabe '''(4)''' ergibt? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$\sigma_n \ = \ ${ 0.467 3% } | $\sigma_n \ = \ ${ 0.467 3% } | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' Die Punkte $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind für alle Konfigurationen gleich. Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn $\boldsymbol{s}_0$ von $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ am weitesten entfernt liegt. Dies ist bei der Konfiguration | + | '''(1)''' Die Punkte $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind für alle Konfigurationen gleich. |
| + | *Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn $\boldsymbol{s}_0$ von $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ am weitesten entfernt liegt. | ||
| + | *Dies ist bei der Konfiguration $\rm C$ der Fall ⇒ <u>Lösungsvorschlag 3</u>. | ||
| − | '''(2)''' Bei der Konfiguration | + | |
| + | '''(2)''' Bei der Konfiguration $\rm A$ ist der Abstand zwischen allen Punkten gleich: $d_{01} = d_{02} = d_{12} = 2$. | ||
| + | *Deshalb muss zur Berechnung der "Union Bound" nicht über alle Symbole gemittelt werden. | ||
| + | * Und es gilt, da zum Beispiel $\boldsymbol{s}_0$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$ bzw. $\boldsymbol{s}_2$ verfälscht wird: | ||
:$${\rm Pr}({ \cal E}) \le p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d_{ik}/2}{\sigma_n} \right ) = 2 \cdot {\rm Q}(2) \approx 2 \cdot 0.023 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 4.6\%} \hspace{0.05cm}. $$ | :$${\rm Pr}({ \cal E}) \le p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d_{ik}/2}{\sigma_n} \right ) = 2 \cdot {\rm Q}(2) \approx 2 \cdot 0.023 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 4.6\%} \hspace{0.05cm}. $$ | ||
| − | '''(3)''' Hier unterscheiden sich die Verfälschungswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Symbole. Wurde $\boldsymbol{s}_0$ gesendet, so gilt mit $d_{01} = d_{02} = 2^{0.5}$ und $\sigma = 0.5$: | + | |
| + | '''(3)''' Hier unterscheiden sich die Verfälschungswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Symbole. | ||
| + | *Wurde $\boldsymbol{s}_0$ gesendet, so gilt mit $d_{01} = d_{02} = 2^{0.5}$ und $\sigma = 0.5$: | ||
:$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right ) | :$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right ) | ||
= 2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2}) = 2 \cdot 0.079 = 0.158 \hspace{0.05cm}. $$ | = 2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2}) = 2 \cdot 0.079 = 0.158 \hspace{0.05cm}. $$ | ||
| − | Dagegen sind die beiden anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten kleiner | + | *Dagegen sind die beiden anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten kleiner: |
:$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_1} = p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | :$$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_1} = p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | ||
{\rm Q} \left ( \frac{{2}/2}{0.5} \right )+{\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right )= {\rm Q}(2) +{\rm Q}(\sqrt{2}) = 0.023 + 0.079 = 0.102 \hspace{0.05cm}.$$ | {\rm Q} \left ( \frac{{2}/2}{0.5} \right )+{\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right )= {\rm Q}(2) +{\rm Q}(\sqrt{2}) = 0.023 + 0.079 = 0.102 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Durch Mittelung erhält man für die Union Bound unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Abstände: | + | *Durch Mittelung erhält man für die "Union Bound" unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Abstände: |
:$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{3} \cdot \left [ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} + p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_1} +p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_2}\right ]= | :$$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{3} \cdot \left [ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} + p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_1} +p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_2}\right ]= | ||
{1}/{3} \cdot \left [ 2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2})+ 2 \cdot ({\rm Q}({2}) + {\rm Q}(\sqrt{2})) \right ] = | {1}/{3} \cdot \left [ 2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2})+ 2 \cdot ({\rm Q}({2}) + {\rm Q}(\sqrt{2})) \right ] = | ||
{1}/{3} \cdot \left [ 4 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2})+ 2 \cdot {\rm Q}({2}) \right ] $$ | {1}/{3} \cdot \left [ 4 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2})+ 2 \cdot {\rm Q}({2}) \right ] $$ | ||
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm UB} = | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm UB} = | ||
| − | {1}/{3} \cdot \ | + | {1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot 0.079+ 2 \cdot 0.023 \big ] \hspace{0.1cm}\hspace{0.12cm}\underline {\approx 12.1\% } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm UB}\ge {\rm Pr}({ \cal E})\hspace{0.05cm}.$$ |
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:$$d_{01} = d_{02} = \sqrt{2^2 + 1^2}= \sqrt{5} \approx 2.24\hspace{0.2cm}, d_{12} = 2$$ | :$$d_{01} = d_{02} = \sqrt{2^2 + 1^2}= \sqrt{5} \approx 2.24\hspace{0.2cm}, d_{12} = 2$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm UB} = | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm UB} = | ||
| − | {1}/{3} \cdot \ | + | {1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot {\rm Q}(\sqrt{5})+ 2 \cdot {\rm Q}({2}) \big ] = {1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot 0.013+ 2 \cdot 0.023 \big ]\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.2\%} \hspace{0.05cm}. $$ |
Aktuelle Version vom 30. Juli 2022, 15:22 Uhr
Signalraumkonstellationen mit $N=2$ und $M=3$
Die „Union Bound” ist eine obere Schranke für die Fehlerwahrscheinlichkeit eines nichtbinären Übertragungssystems $(M > 2)$.
- Die tatsächliche (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit ist allgemein wie folgt gegeben:
- $${\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(m_i) \cdot {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr} \left [ \bigcup_{k \ne i} { \cal E}_{ik}\right ] \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{ \rm wobei}\hspace{0.2cm} { \cal E}_{ik}\text{:} \ \ \boldsymbol{ r }{\rm \hspace{0.15cm}liegt \hspace{0.15cm}n\ddot{a}her \hspace{0.15cm}bei \hspace{0.15cm}}\boldsymbol{ s }_k {\rm \hspace{0.15cm}als \hspace{0.15cm}beim \hspace{0.15cm}Sollwert \hspace{0.15cm}}\boldsymbol{ s }_i \hspace{0.05cm}.$$
- Die einfachere "Union Bound" liefert eine obere Schranke für die Verfälschungswahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung, dass die Nachricht $m_i$ $($bzw. das Signal $\boldsymbol{s}_i)$ gesendet wurde:
- $$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ \ge \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \boldsymbol{ s }_i ) = {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_i )\hspace{0.05cm},\ $$
- $$ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.2cm}\sum\limits_{k = 0 ,\hspace{0.1cm} k \ne i}^{M-1}\hspace{-0.1cm} {\rm Pr}({ \cal E}_{ik}) = \hspace{-0.1cm}\sum\limits_{k = 0, \hspace{0.1cm} k \ne i}^{M-1}\hspace{-0.1cm}{\rm Q} \left ( \frac{d_{ik}/2}{\sigma_n} \right )\hspace{0.05cm}. $$
Dabei sind folgende Abkürzungen verwendet:
- ${\rm Q}(x)$ ist die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion;
- $d_{ik}$ bezeichnet den Abstand der Signalpunkte $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$;
- $\sigma_n$ ist der Effektivwert (⇒ Wurzel aus der Varianz) des additiven weißen Gaußschen Rauschens.
⇒ Durch Mittelung über alle möglichen Signale $\boldsymbol{s}_i$ kommt man dann zur eigentlichen "Union Bound" :
- $$p_{\rm UB} = \sum\limits_{i = 0 }^{M-1} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s }_i) \cdot p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_i} \ge {\rm Pr}({ \cal E}) \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt drei verschiedene Signalraumkonstellationen mit jeweils $M = 3$ Signalraumpunkten $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$.
- Die Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$ sind geeignet normiert.
- Somit sind auch die Signalraumkoordinaten reine Zahlenwerte ohne Einheit:
- $$\boldsymbol{ s }_1 = (-1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.05cm}.$$
- Der Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_0$ in der Konfiguration $\rm A$ liegt so, dass $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$, $\boldsymbol{s}_2$ ein gleichseitiges Dreieck beschreiben.
- Bei den Konfigurationen $\rm B$ und $\rm C$ gilt dagegen $\boldsymbol{s}_0 = (0,\ 0)$ bzw. $\boldsymbol{s}_0 = (0, \ –1)$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".
- Verwenden Sie für alle Berechnungen den AWGN–Effektivwert $\sigma_n = 0.5$.
- Gegeben sind folgende Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion:
- $${\rm Q}(1) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.159\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(\sqrt{2}) \approx 0.079\hspace{0.05cm}, \hspace{0.23cm}{\rm Q}(\sqrt{3}) \approx 0.042\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ \approx \ \hspace{-0.1cm} 0.023\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.14) \approx 0.016\hspace{0.05cm}, \hspace{0.1cm}{\rm Q}(\sqrt{5}) \approx 0.013 \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Punkte $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind für alle Konfigurationen gleich.
- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich, wenn $\boldsymbol{s}_0$ von $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ am weitesten entfernt liegt.
- Dies ist bei der Konfiguration $\rm C$ der Fall ⇒ Lösungsvorschlag 3.
(2) Bei der Konfiguration $\rm A$ ist der Abstand zwischen allen Punkten gleich: $d_{01} = d_{02} = d_{12} = 2$.
- Deshalb muss zur Berechnung der "Union Bound" nicht über alle Symbole gemittelt werden.
- Und es gilt, da zum Beispiel $\boldsymbol{s}_0$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit in das Symbol $\boldsymbol{s}_1$ bzw. $\boldsymbol{s}_2$ verfälscht wird:
- $${\rm Pr}({ \cal E}) \le p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d_{ik}/2}{\sigma_n} \right ) = 2 \cdot {\rm Q}(2) \approx 2 \cdot 0.023 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 4.6\%} \hspace{0.05cm}. $$
(3) Hier unterscheiden sich die Verfälschungswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Symbole.
- Wurde $\boldsymbol{s}_0$ gesendet, so gilt mit $d_{01} = d_{02} = 2^{0.5}$ und $\sigma = 0.5$:
- $$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} = 2 \cdot {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right ) = 2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2}) = 2 \cdot 0.079 = 0.158 \hspace{0.05cm}. $$
- Dagegen sind die beiden anderen bedingten Wahrscheinlichkeiten kleiner:
- $$p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_1} = p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_2} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{{2}/2}{0.5} \right )+{\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{2}/2}{0.5} \right )= {\rm Q}(2) +{\rm Q}(\sqrt{2}) = 0.023 + 0.079 = 0.102 \hspace{0.05cm}.$$
- Durch Mittelung erhält man für die "Union Bound" unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Abstände:
- $$p_{\rm UB} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{3} \cdot \left [ p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_0} + p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_1} +p_{{\rm UB}\hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm}\boldsymbol{ s }_2}\right ]= {1}/{3} \cdot \left [ 2 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2})+ 2 \cdot ({\rm Q}({2}) + {\rm Q}(\sqrt{2})) \right ] = {1}/{3} \cdot \left [ 4 \cdot {\rm Q}(\sqrt{2})+ 2 \cdot {\rm Q}({2}) \right ] $$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm UB} = {1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot 0.079+ 2 \cdot 0.023 \big ] \hspace{0.1cm}\hspace{0.12cm}\underline {\approx 12.1\% } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm UB}\ge {\rm Pr}({ \cal E})\hspace{0.05cm}.$$
(4) Diese Konfiguration wird durch folgende Gleichungen beschrieben:
- $$d_{01} = d_{02} = \sqrt{2^2 + 1^2}= \sqrt{5} \approx 2.24\hspace{0.2cm}, d_{12} = 2$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm UB} = {1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot {\rm Q}(\sqrt{5})+ 2 \cdot {\rm Q}({2}) \big ] = {1}/{3} \cdot \big [ 4 \cdot 0.013+ 2 \cdot 0.023 \big ]\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.2\%} \hspace{0.05cm}. $$
(5) Es soll gelten:
- $$p_{\rm UB} = 2 \cdot {\rm Q}\left ( {1}/{\sigma_n} \right ) = 0.032 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}\left ( {1}/{\sigma_n} \right ) = 0.016\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{\sigma_n} \approx 2.14 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\sigma_n \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.467}\hspace{0.05cm}. $$
