Aufgaben:Aufgabe 1.17Z: BPSK–Kanalkapazität: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Gemäß dem [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]] lassen sich Binärsignale über den [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]] dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn | + | Gemäß dem [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung#Kanalcodierungstheorem_und_Kanalkapazit.C3.A4t|Kanalcodierungstheorem]] lassen sich Binärsignale über den [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#AWGN.E2.80.93Kanal_bei_bin.C3.A4rem_Eingang|AWGN–Kanal]] dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn |
*man einen Kanalcode der Rate $R = k/n$ verwendet, | *man einen Kanalcode der Rate $R = k/n$ verwendet, | ||
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*die Blocklänge $n$ dieses Codes sehr groß gewählt wird ⇒ $n → ∞$, | *die Blocklänge $n$ dieses Codes sehr groß gewählt wird ⇒ $n → ∞$, | ||
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*die Rate $R$ kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität $C_{2}$, | *die Rate $R$ kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität $C_{2}$, | ||
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*wobei die BPSK–Kanalkapazität $C_{2}$ vom AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ abhängt. | *wobei die BPSK–Kanalkapazität $C_{2}$ vom AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ abhängt. | ||
| + | Hinweise: | ||
| − | Der zulässige Bereich für die Coderate $R$ ist in der Grafik grün hinterlegt. Die Grenzkurve $C_{2}$, gültig für binäre Eingangssignale $($daher der Index $2)$ und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für | + | #Der zulässige Bereich für die Coderate $R$ ist in der Grafik grün hinterlegt. |
| − | + | #Die Grenzkurve $C_{2}$, ist gültig für binäre Eingangssignale $($daher der Index $2)$ und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für "Binary Phase Shift Keying"). | |
| − | Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität $C$ eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt. | + | #Diese ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann. |
| − | + | #Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität $C$ eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt. | |
| − | + | #Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte $R > 1$ annehmen. | |
| + | #Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate $R$ das kleinstmögliche $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$ gemäß der Gleichung | ||
| − | :$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$ | + | ::$$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$ |
Im Umkehrschluss ist die Rate $R$ für den gegebenen AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ nach oben begrenzt: | Im Umkehrschluss ist die Rate $R$ für den gegebenen AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ nach oben begrenzt: | ||
| − | *Die gerade noch zulässige Coderate $R_{\rm max}$ bei gegebenem Kanal $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$ bezeichnen wir als die Kanalkapazität $C$. | + | *Die gerade noch zulässige Coderate $R_{\rm max}$ bei gegebenem Kanal $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$ bezeichnen wir als die Kanalkapazität $C$. |
| − | *Für $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$ erhält man beispielsweise $C = 0.5$. | + | |
| − | *Das heißt: Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert $R = 0.5$ nicht überschreiten. | + | *Für $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$ erhält man beispielsweise $C = 0.5$. |
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| + | *Das heißt: Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert $R = 0.5$ nicht überschreiten. | ||
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*Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß $C_{2}.$ | *Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß $C_{2}.$ | ||
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In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität $C_{2}$ durch eine Exponentialfunktion anzunähern: | In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität $C_{2}$ durch eine Exponentialfunktion anzunähern: | ||
| − | *Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik) | + | *Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik) |
| − | :$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ | + | ::$$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | :Das heißt: $x$ ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet. | + | :Das heißt: $x$ ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet. |
| − | *Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines $E_{\rm B}/N_{0}$ die Näherung $C_{2} \approx C$ gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter $x_{0}$ bestimmt werden kann. | + | *Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines $E_{\rm B}/N_{0}$ die Näherung $C_{2} \approx C$ gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter $x_{0}$ bestimmt werden kann. |
| − | *Setzen Sie für $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$ an und bestimmen Sie den Parameter $a$ aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$ gilt. | + | *Setzen Sie für $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$ an und bestimmen Sie den Parameter $a$ aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$ gilt. |
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| − | + | Hinweise: | |
| − | + | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|"Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung"]]. Sie ergänzt die [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 1.17]]. | |
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| − | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Informationstheoretische_Grenzen_der_Kanalcodierung|Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung]]. Sie ergänzt die [[Aufgaben:Aufgabe_1.17:_Zum_Kanalcodierungstheorem|Aufgabe 1.17]]. | + | * Auf die Pseudo–Einheit "bit/Kanalzugriff" der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet. |
| − | * Auf die Pseudo–Einheit | ||
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$x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$ | $x_{0} \ = \ $ { 1.6 3% }$\ \rm dB$ | ||
| − | {Approximieren Sie $C_{2}(x)$ durch $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist $a$? | + | {Approximieren Sie $C_{2}(x)$ durch $C_{2}\hspace{0.01cm}'(x) = 1 -{\rm e}^{-a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$. Wie groß ist $a$? |
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$a \ = \ $ { 0.4 3% } | $a \ = \ $ { 0.4 3% } | ||
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| − | '''(1)''' Im unteren $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven | + | '''(1)''' Im unteren $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven |
| − | *$C_{2}$ (gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK) und | + | *$C_{2}$ $($gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK$)$ und |
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| − | zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B}/N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$ | + | zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B}/N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$ |
| − | Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist: | + | Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist: |
:$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | :$${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
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:$$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$: | + | Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$: |
:$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$ | :$$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$ | ||
| − | '''(3)''' Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$: | + | '''(3)''' Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$: |
| − | :$$C_2' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$ |
'''(4)''' Die entsprechenden Zahlenwerte lauten: | '''(4)''' Die entsprechenden Zahlenwerte lauten: | ||
| − | :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$ | + | :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$ |
| − | :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$ | + | :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$ |
| − | :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$ | + | :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$ |
| − | Die so angenäherten Werte $C_{2}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein. | + | Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein. |
| − | Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden: | + | Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden: |
:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$ | :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$ | ||
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:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Ab etwa $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$ gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit $C_{2}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff). | + | Ab etwa $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$ gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit: $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff). |
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Aktuelle Version vom 28. September 2022, 16:27 Uhr
Zur Verdeutlichung der BPSK–Kanalkapazität
Gemäß dem Kanalcodierungstheorem lassen sich Binärsignale über den AWGN–Kanal dann und nur dann fehlerfrei übertragen, wenn
- man einen Kanalcode der Rate $R = k/n$ verwendet,
- die Blocklänge $n$ dieses Codes sehr groß gewählt wird ⇒ $n → ∞$,
- die Rate $R$ kleiner ist als die für binären Eingang gültige Kanalkapazität $C_{2}$,
- wobei die BPSK–Kanalkapazität $C_{2}$ vom AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ abhängt.
Hinweise:
- Der zulässige Bereich für die Coderate $R$ ist in der Grafik grün hinterlegt.
- Die Grenzkurve $C_{2}$, ist gültig für binäre Eingangssignale $($daher der Index $2)$ und manchmal auch als BPSK–Kanalkapazität bezeichnet (steht für "Binary Phase Shift Keying").
- Diese ist allerdings nicht in mathematisch–geschlossener Form angebbar, sondern das Ergebnis eines Integrals, das nur numerisch ausgewertet werden kann.
- Als blaue Kurve ist die Kanalkapazität $C$ eingetragen, wenn man beliebige reelle Eingangssignale zulässt.
- Bei mehrstufigen Signalen kann die Rate durchaus auch Werte $R > 1$ annehmen.
- Für eine Gaußverteilung ergibt sich für die Rate $R$ das kleinstmögliche $(E_{\rm B}/N_{0})_{\rm min}$ gemäß der Gleichung
- $$\left (E_{\rm B}/N_0 \right)_{\rm min} = \frac{2^{2R}-1}{2R}\hspace{0.05cm}.$$
Im Umkehrschluss ist die Rate $R$ für den gegebenen AWGN–Quotienten $E_{\rm B}/N_{0}$ nach oben begrenzt:
- Die gerade noch zulässige Coderate $R_{\rm max}$ bei gegebenem Kanal $(E_{\rm B}/N_{0} = \rm const.)$ bezeichnen wir als die Kanalkapazität $C$.
- Für $E_{\rm B}/N_{0} = 1 ⇒ 10 · \ \lg {E_{\rm B}/N_0} = 0 {\rm dB}$ erhält man beispielsweise $C = 0.5$.
- Das heißt: Auch bei bestmöglicher Amplitudenverteilung des reellen Eingangssignals darf die Coderate den Wert $R = 0.5$ nicht überschreiten.
- Bei binärem Eingang ergibt sich ein etwas kleinerer Wert gemäß $C_{2}.$
In dieser Aufgabe soll versucht werden, den grafisch vorgegebenen Verlauf der Kanalkapazität $C_{2}$ durch eine Exponentialfunktion anzunähern:
- Verwenden Sie für die Abszisse die Hilfsvariable (siehe Grafik)
- $$x = \frac {x_0 + 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 }{1\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
- Das heißt: $x$ ist ohne Einheit; auf die Pseudo–Einheit „$\rm dB$” wird verzichtet.
- Berücksichtigen Sie, dass für ein kleines $E_{\rm B}/N_{0}$ die Näherung $C_{2} \approx C$ gültig ist (siehe Grafik), woraus der Parameter $x_{0}$ bestimmt werden kann.
- Setzen Sie für $C_{2}\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{–a\hspace{0.05cm} · \hspace{0.05cm}x}$ an und bestimmen Sie den Parameter $a$ aus der gestrichelt eingezeichneten Tangente derart, dass $C_{2}\hspace{0.01cm} ' \approx C$ gilt.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Informationstheoretische Grenzen der Kanalcodierung". Sie ergänzt die Aufgabe 1.17.
- Auf die Pseudo–Einheit "bit/Kanalzugriff" der Kanalkapazität wird in diesen Aufgaben verzichtet.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Im unteren $E_{\rm B} /N_{0}$–Bereich laufen die Kapazitätskurven
- $C_{2}$ $($gültig für binären Eingang, zum Beispiel BPSK$)$ und
- $C$ $($gültig für analogen reellwertigen Eingang$)$
zusammen. Für eine gegebene Rate $R$ muss $E_{\rm B}/N_{0}$ größer sein als $(2^{2R} – 1)/2R.$
Der Grenzübergang für $R → 0$ liefert die absolute Shannon–Grenze, ab der eine fehlerfreie Übertragung nicht mehr möglich ist:
- $${\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] = \lim_{R \rightarrow 0}\hspace{0.1cm} \frac{2^{2R}-1}{2R} = {\rm ln}\hspace{0.1cm}2 \approx 0.693\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} {\rm Min}\hspace{0.1cm}\left [E_{\rm B}/N_0 \right] \approx -1.6 \,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 1.6 \,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Aus der Grafik auf der Angabenseite lässt sich die Tangentensteigerung im Nullpunkt abschätzen:
- $$\frac{{\rm d}C_2}{{\rm d}x} (x=0) = \frac{1.6 + 1.5}{1.25} =2.48 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} a = \frac{1}{2.48} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.4}\hspace{0.05cm}.$$
Damit lautet die Näherung für die BPSK–Kanalkapazität in Abhängigkeit des Abszissenwertes $x$:
- $$C_2' = \hspace{0.15cm} \left\{ \begin{array}{c} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}x} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x > 0, \\{\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}} x < 0. \end{array}$$
(3) Aus $E_{\rm B} = N_{0}$ folgt $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} = N_0)} = 0 \ {\rm dB}$ sowie $x = 1.6$:
- $$C_2\hspace{0.01cm}' = 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.47}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Die entsprechenden Zahlenwerte lauten:
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.76}$$
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}5.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.89}$$
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2\hspace{0.01cm}' \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm e}^{- 0.4 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}7.6}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.95}.$$
Die so angenäherten Werte $C_{2}\hspace{0.01cm}'$ der Kanalkapazität für binären Eingang sind etwas zu klein.
Aus der Grafik auf der Angabenseite können die genauen Werte $C_{2}$ abgeschätzt werden:
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 =\text{2 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.78}\hspace{0.05cm},$$
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{4 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.94}\hspace{0.05cm},$$
- $$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = \text{6 dB:} \hspace{0.3cm} C_2 \hspace{-0.15cm}\ \approx \ \hspace{-0.15cm} {0.99}\hspace{0.05cm}.$$
Ab etwa $\ 10 · \lg {(E_{\rm B} / N_0)} = 8 \ {\rm dB}$ gilt innerhalb der Zeichengenauigkeit: $C_{2}\hspace{0.01cm}'= C_{2} = 1$ (bit/Kanalzugriff).
