Aufgaben:Aufgabe 3.2Z: Optimale Grenzfrequenz bei Gauß-Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen
Aus LNTwww
| (8 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 2: | Zeile 2: | ||
}} | }} | ||
| − | [[Datei: | + | [[Datei:P_ID1383__Dig_Z_3_2_ret.png|right|frame|Augendiagramme –<br> ohne und mit Rauschen]] |
| − | Wie in [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass|Aufgabe 3.2]] wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_{\rm G}(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis | + | Wie in [[Aufgaben:3.2_Augendiagramm_nach_Gaußtiefpass|Aufgabe 3.2]] wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_{\rm G}(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis |
| − | :$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | + | :$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |
p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} | p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} | ||
\right)$$ | \right)$$ | ||
| − | maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$. | + | maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist auch zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$. |
In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet: | In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet: | ||
| − | * $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt: | + | * $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt: |
:$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} | :$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} | ||
|H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm | |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm | ||
G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$ | G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | * $\ddot{o}(T_{\rm D})$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_{\rm D} = 0$ angenommen. | + | * $\ddot{o}(T_{\rm D})$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_{\rm D} = 0$ angenommen. |
| − | * Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden. | + | * Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden. |
*Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen: | *Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen: | ||
| − | :$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \ | + | :$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \big [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( |
\sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T | ||
| − | \right)\ | + | \right)\big]\hspace{0.05cm}.$$ |
| + | |||
| + | Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz. | ||
| + | *Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt. | ||
| + | *Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| − | |||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_unter_Berücksichtigung_von_Impulsinterferenzen|Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen]]. |
| − | * Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]. | + | * Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]. |
| − | + | ||
| Zeile 37: | Zeile 43: | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Die Berechnung der Augenöffnung erfolgt ohne Rauschen. | + Die Berechnung der Augenöffnung erfolgt ohne Rauschen. | ||
| − | - Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0 \ – \ g_0$. | + | - Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0 \ – \ g_0$. |
| − | + Bei gaußförmigem Impulsformer gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = 2 \cdot g_0 \ – \ s_0$. | + | + Bei gaußförmigem Impulsformer gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = 2 \cdot g_0 \ – \ s_0$. |
{Ab welcher Grenzfrequenz ergibt sich ein geschlossenes Auge? | {Ab welcher Grenzfrequenz ergibt sich ein geschlossenes Auge? | ||
| Zeile 44: | Zeile 50: | ||
$f_{\rm G, \ min} \cdot T \ = \ $ { 0.27 3% } | $f_{\rm G, \ min} \cdot T \ = \ $ { 0.27 3% } | ||
| − | {Berechnen Sie das ungünstigste SNR für $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$. Welche Werte ergeben sich für die nachgenannten Grenzfrequenzen? | + | {Berechnen Sie das ungünstigste SNR für $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$. Welche Werte ergeben sich für die nachgenannten Grenzfrequenzen? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $ { 11.04 3% } $\ \rm dB$ | $f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $ { 11.04 3% } $\ \rm dB$ | ||
| Zeile 52: | Zeile 58: | ||
{Welche Aussagen sind bezüglich der optimalen Grenzfrequenz zutreffend? | {Welche Aussagen sind bezüglich der optimalen Grenzfrequenz zutreffend? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm U}$ (bzw. $\rho_{\rm U}$ | + | + Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm U}$ $($bzw. $\rho_{\rm U})$ ergibt $f_{\rm G, \ opt} \cdot T \approx 0.8$. |
| − | + Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$. | + | + Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$. |
| − | - Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm S}$ führt zum exakt gleichen Ergebnis. | + | - Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm S}$ führt zum exakt gleichen Ergebnis. |
| − | { | + | {Bestimmen Sie für die optimale Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ folgende Größen, wobei wieder $10 \cdot {\rm lg} \ (E_{\rm B}/N_0) = 10 \ \rm dB$ gelten soll. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$\ddot{o}(T_{\rm D})/s_0 \ = \ $ { 1.824 3% } | $\ddot{o}(T_{\rm D})/s_0 \ = \ $ { 1.824 3% } | ||
| Zeile 75: | Zeile 81: | ||
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0 | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0 | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
'''(2)''' Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt: | '''(2)''' Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt: | ||
| Zeile 93: | Zeile 100: | ||
T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27} | T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
'''(3)''' Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich | '''(3)''' Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich | ||
| Zeile 102: | Zeile 110: | ||
\right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$ | \right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$ | ||
| − | Mit der Angabe $ | + | Mit der Angabe $E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung: |
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
{E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$ | {E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$ | ||
| Zeile 114: | Zeile 122: | ||
* $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$ | * $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$ | ||
* $f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$ | * $f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$ | ||
| − | Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz ⇒ Teilaufgabe (2). | + | |
| + | Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz ⇒ Teilaufgabe '''(2)'''. | ||
| − | '''(4)''' Richtig | + | '''(4)''' Richtig sind die <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>: |
*Die Gültigkeit der ersten Aussage ergibt sich aus obiger Grafik. | *Die Gültigkeit der ersten Aussage ergibt sich aus obiger Grafik. | ||
*Da in der obigen Gleichung für $\rho_{\rm U}$ das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ nur als Faktor auftritt, führt die Optimierung (Nullsetzen der Ableitung) unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$ stets zum gleichen Ergebnis. | *Da in der obigen Gleichung für $\rho_{\rm U}$ das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ nur als Faktor auftritt, führt die Optimierung (Nullsetzen der Ableitung) unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$ stets zum gleichen Ergebnis. | ||
*Die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich $p_{\rm U}$ ist näherungsweise auch hinsichtlich $p_{\rm S}$ optimal, aber nicht exakt. | *Die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich $p_{\rm U}$ ist näherungsweise auch hinsichtlich $p_{\rm S}$ optimal, aber nicht exakt. | ||
| − | *Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm | + | *Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm U}/4$. |
*Dagegen ergibt sich bei großem Rauschen, beispielsweise $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ eine kleinere optimale Grenzfrequenz, wenn die Optimierung auf $p_{\rm S}$ basiert: | *Dagegen ergibt sich bei großem Rauschen, beispielsweise $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ eine kleinere optimale Grenzfrequenz, wenn die Optimierung auf $p_{\rm S}$ basiert: | ||
:: $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.113, p_{\rm S} = 0.102,$ | :: $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.113, p_{\rm S} = 0.102,$ | ||
| Zeile 128: | Zeile 137: | ||
| − | '''(5)''' Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) nbsp; ⇒ $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt: | + | |
| + | '''(5)''' Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' ⇒ $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt: | ||
:$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( | :$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( | ||
\sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4 | \sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4 | ||
| Zeile 151: | Zeile 161: | ||
| − | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.2 | + | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.2 BER mit Impulsinterferenzen^]] |
Aktuelle Version vom 10. Oktober 2022, 12:28 Uhr
Augendiagramme –
ohne und mit Rauschen
ohne und mit Rauschen
Wie in Aufgabe 3.2 wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_{\rm G}(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis
- $$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right)$$
maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist auch zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$.
In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:
- $\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:
- $$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$
- $\ddot{o}(T_{\rm D})$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_{\rm D} = 0$ angenommen.
- Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
- Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:
- $$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \big [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\big]\hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz.
- Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt.
- Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen.
- Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind der erste und der dritte Lösungsvorschlag:
- Bei der Berechnung der vertikalen Augenöffnung darf der Rauschanteil nicht berücksichtigt werden. Dieser wird durch den Rauscheffektivwert $\sigma_d$ erfasst.
- Würde man die Augenöffnung aus dem unteren Augendiagramm entnehmen, so würde die Rauschkomponente zweimal erfasst.
- Die obere Begrenzung der inneren Augenlinie ergibt sich für die Symbolfolge „ $\text{ ...} \, \ -\hspace{-0.1cm}1 \ -\hspace{-0.1cm}1, +1, -\hspace{-0.1cm}1, \ -\hspace{-0.1cm}1, \text{ ...} $ ” .
- Die lange „$-1$”–Folge würde zum Wert $-s_0$ führen.
- Dagegen führt die „worst–case”–Folge zur Augenlinie $-s_0 + 2 \cdot g_d(t)$.
- Zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$
(2) Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ 2 \cdot g_0 - s_0 = 2 \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] - s_0 = s_0 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für
- $${\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T< 0.675\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \cdot T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich
$\rho_{\rm U}$ als Funktion der (normierten) Grenzfrequenz
- $$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} = \frac{s_0^2 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$
Mit der Angabe $E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{\rm U} = 10 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{ \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$
Die Abbildung zeigt diesen Funktionsverlauf in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz. Für die vorgegebenen Grenzfrequenzen gilt:
- $f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 12.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.04 \ \rm dB},$
- $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$
- $f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$
Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz ⇒ Teilaufgabe (2).
(4) Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:
- Die Gültigkeit der ersten Aussage ergibt sich aus obiger Grafik.
- Da in der obigen Gleichung für $\rho_{\rm U}$ das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ nur als Faktor auftritt, führt die Optimierung (Nullsetzen der Ableitung) unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$ stets zum gleichen Ergebnis.
- Die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich $p_{\rm U}$ ist näherungsweise auch hinsichtlich $p_{\rm S}$ optimal, aber nicht exakt.
- Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm U}/4$.
- Dagegen ergibt sich bei großem Rauschen, beispielsweise $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ eine kleinere optimale Grenzfrequenz, wenn die Optimierung auf $p_{\rm S}$ basiert:
- $f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.113, p_{\rm S} = 0.102,$
- $f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.129, p_{\rm S} = 0.094.$
- Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sind dann aber so groß, dass diese Ergebnisse nicht praxisrelevant sind.
(5) Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) ⇒ $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:
- $${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot 0.022\right]\hspace{0.15cm}\underline { = 1.824} \hspace{0.05cm},$$
- $${\sigma_d^2}/{ s_0^2} = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G} }{\sqrt{2}\cdot s_0^2}= \frac{N_0 }{s_0^2 \cdot T} \cdot \frac{f_{\rm G} \cdot T}{\sqrt{2}} = 0.1 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{2}} \approx 0.0566 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\sigma_d}/{ s_0}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.238} \hspace{0.05cm},$$
- $$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})]^2}{ 4 \cdot \sigma_d^2} = \frac{1.824^2}{ 4 \cdot 0.0566}\approx 14.7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 11.66\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$
- $$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right) = {\rm Q} \left( \sqrt{14.7} \right) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.4 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
