Aufgaben:Aufgabe 4.17Z: Rayleigh- und Riceverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | [[Datei: | + | [[Datei:P_ID2079__Dig_Z_4_17_ret.png|right|frame|Rice- (oben) und Rayleigh (unten)]] |
| − | Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh– und die Rice–Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei $y$ eine rayleigh– oder eine riceverteilte Zufallsgröße und $\eta$ jeweils eine Realisierung hiervon. | + | Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh– und die Rice–Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei $y$ eine rayleigh– oder eine riceverteilte Zufallsgröße und $\eta$ jeweils eine Realisierung hiervon. |
| − | * Die | + | * Die "Rayleighverteilung" ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ einer Zufallsgröße $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten $u$ und $v$ $($beide mit der Streuung $\sigma_n)$ wie folgt ergibt: |
:$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} | :$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} | ||
\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ] | \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ] | ||
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| − | * Die | + | * Die "Riceverteilung" erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass zumindest bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante $C$ addiert wird, zum Beispiel: |
:$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} | :$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} | ||
\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot C}{ \sigma_n^2}\right ] | \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot C}{ \sigma_n^2}\right ] | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | In dieser Gleichung bezeichnet ${\rm I}_0(x)$ die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung| modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung]]. | + | In dieser Gleichung bezeichnet ${\rm I}_0(x)$ die [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation#Rayleigh.E2.80.93_und_Riceverteilung| "modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung"]]. |
| − | In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ bzw. $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ zu einer Rayleigh– oder zu einer Riceverteilung gehören. Bekannt ist nur, dass je eine Rayleigh– und eine Riceverteilung dargestellt ist. Der Parameter $\sigma_n$ ist bei beiden gleich. | + | In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ bzw. $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ zu einer Rayleigh– oder zu einer Riceverteilung gehören. |
| + | * Bekannt ist nur, dass je eine Rayleigh– und eine Riceverteilung dargestellt ist. | ||
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| + | *Der Parameter $\sigma_n$ ist bei beiden Verteilungen gleich. | ||
| − | Für Ihre Entscheidung, ob Sie $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ oder $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$ der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF–Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen: | + | |
| − | * Für große Werte des Quotienten $C/\sigma_n$ lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähern. | + | Für Ihre Entscheidung, ob Sie $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ oder $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$ der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF–Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen: |
| − | * Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von $C$ und $\sigma_n$ sind ganzzahlig. | + | * Für große Werte des Quotienten $C/\sigma_n$ lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähern. |
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| + | * Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von $C$ und $\sigma_n$ sind ganzzahlig. | ||
Hinsichtlich der Rayleighverteilung ist zu beachten: | Hinsichtlich der Rayleighverteilung ist zu beachten: | ||
| − | * Für beide Verteilungen ist das gleiche $\sigma_n$ zugrunde gelegt. | + | * Für beide Verteilungen ist das gleiche $\sigma_n$ zugrunde gelegt. |
| − | * Für die Streuung (Wurzel aus der Varianz) der Rayleighverteilung gilt: | + | |
| + | * Für die Streuung ("Wurzel aus der Varianz") der Rayleighverteilung gilt: | ||
:$$\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n | :$$\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | * Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für $C \gg \sigma_n$ entsprechend der Gaußverteilung. | + | |
| + | * Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für $C \gg \sigma_n$ entsprechend der Gaußverteilung. | ||
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| − | + | Hinweise: | |
| − | * Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation]]. | + | * Diese Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_nichtkoh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation"]]. |
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* Gegeben ist zudem das folgende unbestimmteIntegral: | * Gegeben ist zudem das folgende unbestimmteIntegral: | ||
:$$\int x \cdot {\rm e }^{-x^2} \,{\rm d} x = | :$$\int x \cdot {\rm e }^{-x^2} \,{\rm d} x = | ||
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{Ordnen Sie die Grafiken der Rayleigh– bzw. Riceverteilung zu. | {Ordnen Sie die Grafiken der Rayleigh– bzw. Riceverteilung zu. | ||
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| − | - $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Rayleighverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Riceverteilung. | + | - $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Rayleighverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Riceverteilung. |
| − | + $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Riceverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Rayleighverteilung. | + | + $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Riceverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Rayleighverteilung. |
{Geben Sie die Parameter der hier dargestellten Riceverteilung an. | {Geben Sie die Parameter der hier dargestellten Riceverteilung an. | ||
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- Die Rayleighverteilung, | - Die Rayleighverteilung, | ||
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| − | {Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung | + | {Berechnen Sie die Überschreitungswahrscheinlichkeiten der Rayleighverteilung. |
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| − | ${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{0. | + | ${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{0.33cm} = \ $ { 60.7 3% } $ \ \%$ |
| − | ${\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \ = \ $ { | + | ${\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \ = \ $ { 13.5 3% } $ \ \%$ |
| − | ${\rm Pr}(y > 3\sigma_n) \ = \ $ { | + | ${\rm Pr}(y > 3\sigma_n) \ = \ $ { 1.1 3% } $ \ \%$ |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''(1)''' Die obere Grafik zeigt näherungsweise eine Gaußverteilung und gehört dementsprechend zur Riceverteilung. | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>: |
| + | *Die obere Grafik zeigt näherungsweise eine Gaußverteilung und gehört dementsprechend zur Riceverteilung. | ||
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| − | '''(2)''' Man erkennt aus der Grafik: Der Mittelwert der Gaußverteilung ist $\underline {C = 4}$ und die Streuung ist $\underline {\sigma_n = 1}$. Vorgegeben war ja, dass $C$ und $\sigma_n$ ganzzahlig seien. Damit lauten die beiden Dichtefunktionen: | + | '''(2)''' Man erkennt aus der Grafik: Der Mittelwert der Gaußverteilung ist $\underline {C = 4}$ und die Streuung ist $\underline {\sigma_n = 1}$. |
| + | *Vorgegeben war ja, dass $C$ und $\sigma_n$ ganzzahlig seien. Damit lauten die beiden Dichtefunktionen: | ||
:$$p_{\rm I} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta} | :$$p_{\rm I} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta} | ||
\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + 16}{2 }\right ] \cdot {\rm I }_0 (4\eta ) \approx | \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + 16}{2 }\right ] \cdot {\rm I }_0 (4\eta ) \approx | ||
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| − | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie bereits aus der Grafik ersichtlich ist. Eine Rechnung bestätigt dieses Ergebnis: | + | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>, wie bereits aus der Grafik ersichtlich ist. Eine Rechnung bestätigt dieses Ergebnis: |
:$$\sigma_{\rm Rice}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 = 1\hspace{0.05cm},$$ | :$$\sigma_{\rm Rice}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 = 1\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$ \sigma_{\rm Rayl}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 \cdot ({2 - {\pi}/{2 }}) \approx 0.429 | :$$ \sigma_{\rm Rayl}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 \cdot ({2 - {\pi}/{2 }}) \approx 0.429 | ||
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| − | '''(4)''' Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer ist als ein Wert $y_0$, gleich | + | '''(4)''' Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer ist als ein Wert $y_0$, gleich |
:$${\rm Pr}(y > y_0) = \int_{y_0}^{\infty} \frac{\eta}{\sigma_n^2} | :$${\rm Pr}(y > y_0) = \int_{y_0}^{\infty} \frac{\eta}{\sigma_n^2} | ||
\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \,{\rm d} \eta | \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \,{\rm d} \eta | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden: | + | *Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden: |
| − | :$${\rm Pr}(y > y_0) = 2 \cdot \hspace{-0. | + | :$${\rm Pr}(y > y_0) = 2 \cdot \hspace{-0.05cm}\int_{y_0/(\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n)}^{\infty} \hspace{-0.5cm}x |
\cdot {\rm e }^{ - x^2} \,{\rm d} x = \left [{\rm e }^{ - x^2} \right ]_{\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n}^{\infty} | \cdot {\rm e }^{ - x^2} \,{\rm d} x = \left [{\rm e }^{ - x^2} \right ]_{\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n}^{\infty} | ||
= {\rm exp } \left [ -\frac{ y_0^2 }{2 \sigma_n^2 }\right ]\hspace{0.05cm}.$$ | = {\rm exp } \left [ -\frac{ y_0^2 }{2 \sigma_n^2 }\right ]\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt: | + | *Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt: |
| − | :$${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 0.5} \hspace{0.15cm} \underline{\approx | + | :$${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 0.5} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 60.7 \%} \hspace{0.05cm},$$ |
| − | :$$ {\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 2.0} \hspace{0.15cm} \underline{\approx | + | :$$ {\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 2.0} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.5 \%} \hspace{0.05cm},$$ |
| − | :$$ {\rm Pr}(y > 3\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 4.5} \hspace{0.15cm} \underline{\approx | + | :$$ {\rm Pr}(y > 3\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 4.5} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.1 \%} \hspace{0.05cm}.$$ |
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Aktuelle Version vom 10. Oktober 2022, 12:44 Uhr
Rice- (oben) und Rayleigh (unten)
Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh– und die Rice–Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei $y$ eine rayleigh– oder eine riceverteilte Zufallsgröße und $\eta$ jeweils eine Realisierung hiervon.
- Die "Rayleighverteilung" ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ einer Zufallsgröße $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten $u$ und $v$ $($beide mit der Streuung $\sigma_n)$ wie folgt ergibt:
- $$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.01cm}.$$
- Die "Riceverteilung" erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass zumindest bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante $C$ addiert wird, zum Beispiel:
- $$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot C}{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.$$
In dieser Gleichung bezeichnet ${\rm I}_0(x)$ die "modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung".
In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ bzw. $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ zu einer Rayleigh– oder zu einer Riceverteilung gehören.
- Bekannt ist nur, dass je eine Rayleigh– und eine Riceverteilung dargestellt ist.
- Der Parameter $\sigma_n$ ist bei beiden Verteilungen gleich.
Für Ihre Entscheidung, ob Sie $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ oder $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$ der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF–Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:
- Für große Werte des Quotienten $C/\sigma_n$ lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähern.
- Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von $C$ und $\sigma_n$ sind ganzzahlig.
Hinsichtlich der Rayleighverteilung ist zu beachten:
- Für beide Verteilungen ist das gleiche $\sigma_n$ zugrunde gelegt.
- Für die Streuung ("Wurzel aus der Varianz") der Rayleighverteilung gilt:
- $$\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n \hspace{0.05cm}.$$
- Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für $C \gg \sigma_n$ entsprechend der Gaußverteilung.
Hinweise:
- Diese Aufgabe gehört zum Kapitel "Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation".
- Gegeben ist zudem das folgende unbestimmteIntegral:
- $$\int x \cdot {\rm e }^{-x^2} \,{\rm d} x = -{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-x^2} + {\rm const. } $$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:
- Die obere Grafik zeigt näherungsweise eine Gaußverteilung und gehört dementsprechend zur Riceverteilung.
(2) Man erkennt aus der Grafik: Der Mittelwert der Gaußverteilung ist $\underline {C = 4}$ und die Streuung ist $\underline {\sigma_n = 1}$.
- Vorgegeben war ja, dass $C$ und $\sigma_n$ ganzzahlig seien. Damit lauten die beiden Dichtefunktionen:
- $$p_{\rm I} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + 16}{2 }\right ] \cdot {\rm I }_0 (4\eta ) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{(\eta-4)^2 }{2 }\right ]\hspace{0.05cm},$$
- $$ p_{\rm II} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 }\right ] \hspace{0.05cm}.$$
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, wie bereits aus der Grafik ersichtlich ist. Eine Rechnung bestätigt dieses Ergebnis:
- $$\sigma_{\rm Rice}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 = 1\hspace{0.05cm},$$
- $$ \sigma_{\rm Rayl}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 \cdot ({2 - {\pi}/{2 }}) \approx 0.429 \hspace{0.05cm}.$$
(4) Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer ist als ein Wert $y_0$, gleich
- $${\rm Pr}(y > y_0) = \int_{y_0}^{\infty} \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden:
- $${\rm Pr}(y > y_0) = 2 \cdot \hspace{-0.05cm}\int_{y_0/(\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n)}^{\infty} \hspace{-0.5cm}x \cdot {\rm e }^{ - x^2} \,{\rm d} x = \left [{\rm e }^{ - x^2} \right ]_{\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n}^{\infty} = {\rm exp } \left [ -\frac{ y_0^2 }{2 \sigma_n^2 }\right ]\hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt:
- $${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 0.5} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 60.7 \%} \hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 2.0} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.5 \%} \hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm Pr}(y > 3\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 4.5} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.1 \%} \hspace{0.05cm}.$$
