Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen

1. Lineare zeitinvariante Systeme
2. Systemtheoretische Grundlagen
3. Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen

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Allgemeine Bemerkungen

Alle auf den nächsten Seiten beschriebenen Tiefpassfunktionen weisen die folgenden Eigenschaften auf:

• Der Frequenzgang $H(f)$ ist stets reell und gerade, so dass nach dem Zuordnungssatz auch die zugehörige Impulsantwort $h(t)$ stets reell und gerade ist.
• Damit ist offensichtlich, dass die hier betrachteten Systeme akausal und somit nicht realisierbar sind. Die Beschreibung kausaler Systeme erfolgt im Kapitel 3 dieses Buches.
• Der Vorteil dieser systemtheoretischen Filterfunktionen ist die einfache Beschreibung durch maximal zwei Parameter, so dass der Filtereinfluss durchschaubar dargestellt werden kann.
• Der wichtigste Funktionsparameter ist die äquivalente Bandbreite entsprechend der Definition über das flächengleiche Rechteck:

$$\Delta f = \frac{1}{H(f=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}H(f) \hspace{0.15cm} {\rm d}f.$$

• Nach dem so genannten Reziprozitätsgesetz liegt somit auch die äquivalente Zeitdauer der Impulsantwort fest, die ebenfalls über das flächengleiche Rechteck definiert ist:

$$\Delta t = \frac{1}{h(t=0)}\cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}h(t) \hspace{0.15cm} {\rm d}t = \frac{1}{\Delta f}.$$

• Der Gleichsignalübertragungsfaktor wird – wenn nicht explizit etwas Anderes vermerkt ist – stets zu $H(f$ = 0) = 1 angenommen.
• Aus jeder Tiefpassfunktion lassen sich entsprechende Hochpassfunktionen ableiten, wie auf der letzten Theorieseite dieses Abschnitts gezeigt wird.

Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (1)

Definition: Man bezeichnet einen Tiefpass als ideal, wenn sein Frequenzgang wie folgt lautet: $$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}1 \\ 0.5 \\\hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < \Delta f/2,} \\{\left| \hspace{0.005cm}f\hspace{0.05cm} \right| = \Delta f/2,} \\{\left|\hspace{0.005cm} f \hspace{0.05cm} \right| > \Delta f/2.} \\\end{array}$$ Wir verwenden teilweise auch die Bezeichnung „Küpfmüller-Tiefpass” (KTP) in Erinnerung an den Pionier der Systemtheorie, Karl Küpfmüller.

Die Grafik zeigt einen solchen idealen Tiefpass im Frequenz– und Zeitbereich.

Man erkennt aus diesem Kurvenverläufen:

• Aufgrund des abrupten, unendlich steilen Flankenabfalls ist hier die 3dB–Grenzfrequenz $f_G$ genau halb so groß wie die systemtheoretische Bandbreite $Δf$.
• Alle Spektralanteile mit $f$ < $f_G$ werden unverfälscht durchgelassen (Durchlassbereich), alle Anteile mit $f$ > $f_G$ vollständig unterdrückt (Sperrbereich). Bei $f$ = $f_G$ gilt $H(f)$ = 0.5.

Hinweis: Die Beschreibung im Zeitbereich finden Sie nachfolgend.

Idealer Tiefpass – Küpfmüller–Tiefpass (2)

Kommen wir nun zur Beschreibung des idealen Tiefpasses im Zeitbereich:

• Die Impulsantwort ergibt sich entsprechend der Fourierrücktransformation zu

$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t)\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$

• Die beidseitig bis ins Unendliche ausgedehnte Zeitfunktion weist äquidistante Nulldurchgänge im Abstand $Δt$ = 1/ $Δf$ auf (siehe rechte untere

Grafik).

• Der asymptotische Abfall erfolgt umgekehrt proportional mit der Zeit:

$$|h(t)| = \frac{\Delta f}{\pi \cdot \Delta f \cdot |t|} \cdot \left |{\rm sin}(\pi \cdot \Delta f\cdot t )\right | \le \frac{1}{\pi \cdot |t|}.$$

• Daraus folgt, dass die Impulsantwort erst für Zeiten $t$ > $t_{1‰}$ = 318 · $Δt$ mit Sicherheit kleiner als 1‰ des Impulsmaximums ist.
• Die Sprungantwort ergibt sich aus der Impulsantwort durch Integration und lautet:

$${\rm \sigma}(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ t } {h ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot {\rm Si}(\pi \cdot\Delta f \cdot t ).$$

• Hierbei ist die so genannte Integral–Sinusfunktion

$${\rm Si}(x) = \int\limits_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi = x - \frac{x^3}{3 \cdot 3!} + \frac{x^5}{5 \cdot 5!} - \frac{x^7}{7 \cdot 7!}+ ...$$

verwendet, die folgende Eigenschaften besitzt:

$${\rm Si}(0) = 0, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(\infty) = \frac{\pi}{2}, \hspace{0.3cm}{\rm Si}(-x) = -{\rm Si}(x).$$

Hinweis: In manchen Büchern wird statt der Funktion $si(x)$ die ähnliche Funktion $sinc(x)$ verwendet: $${\rm si}(x) = \frac{\sin(x)}{x}\hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = {\rm si}(\pi x).$$ In diesem Fall lautet die Impulsantwort des idealen Tiefpasses $h(t)$ = $Δf · sinc(Δf · t).$

Spalttiefpass

Definition: Man bezeichnet ein LZI–System als Spalttiefpass, wenn der Frequenzgang die folgende Form hat: $$H(f) = {\rm si}(\pi \frac{f}{ \Delta f})\hspace{0.7cm}{\rm{mit}}\hspace{0.7cm}{\rm si}(x) =\frac{\sin(x)}{x}.$$

Aus der linken Grafik ist zu erkennen, dass der Frequenzgang $H_{STP}(f)$ des Spalttiefpasses formgleich mit der Impulsantwort $h_{KTP}(t)$ des Küpfmüllertiefpasses ist.

Nach dem Vertauschungssatz muss deshalb auch die Impulsantwort $h_{STP}(t)$ des Spalttiefpasses die gleiche Form wie der Frequenzgang $H_{KTP}(f)$ des idealen Tiefpasses aufweisen. Mit $Δt$ = 1/ $Δf$ gilt somit: $$h(t) = \left\{ \begin{array}{l} \hspace{0.25cm}\Delta f \\ \Delta f/2 \\ \hspace{0.25cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {\left| \hspace{0.005cm} t\hspace{0.05cm} \right| < \Delta t/2,} \\ {\left| \hspace{0.005cm}t\hspace{0.05cm} \right| = \Delta t/2,} \\ {\left|\hspace{0.005cm} t \hspace{0.05cm} \right| > \Delta t/2.} \\ \end{array}$$ Anhand obiger Grafik sind folgende Aussagen ableitbar:

• Auch der Spalttiefpass ist in dieser Form akausal. Durch eine zusätzliche Laufzeit von $Δt/2$ wird das System jedoch kausal und damit realisierbar.
• Der Spalttiefpass wirkt als Integrator über die Zeitdauer $Δt$:

$$y(t) = x (t) * h (t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int\limits_{ t - \Delta t/2 }^{ t + \Delta t/2 } {x ( \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

• Ist $x(t)$ eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_0$ = $k · Δf$ ( $k$ ganzzahlig), so wird genau über $k$ Perioden integriert und es gilt $y(t)$ = 0. Dies zeigen auch die Nullstellen von $H(f)$.