Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation

1. Modulationsverfahren
2. Amplitudenmodulation und AM–Demodulation
3. Hüllkurvendemodulation

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Funktionsweise bei idealen Bedingungen

Wir gehen zunächst von folgenden Voraussetzungen aus:

• Das Quellensignal $q(t)$ sei gleichsignalfrei und betragsmäßig auf $q_{\rm max}$ begrenzt.
• Die Übertragung basiert auf dem Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger”. Zur einfacheren Darstellung wird die Trägerphase ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit $\mathbf{ϕ_{\rm T} } =$ 0 gesetzt:

$$s(t) = \left(q(t) + A_{\rm T}\right) \cdot \cos (\omega_{\rm T}\cdot t )\hspace{0.05cm}.$$

• Der Modulationsgrad sei $m$ ≤ 1. Aus der Definition $m = q_{\rm max}/A_{\rm T}$ folgt somit auch $q(t) + A_{\rm T}$ ≥ 0.
• Der Kanal sei ideal, das heißt, es gibt keine Verzerrungen, keine Dämpfung, keine Laufzeit und keine (Rausch–) Störungen. Mit $H_{\rm K}(f) =$ 1 und $n(t) =$ 0 erhält man somit für das Empfangssignal:

$$r(t) = s(t) = a(t) \cdot \cos (\omega_{\rm T}\cdot t )\hspace{0.05cm}.$$

• In dieser Gleichung bezeichnet $a(t)$ die Hüllkurve von $r(t)$. Die Phasenfunktion $\mathbf{ϕ}(t)$ ist 0.

Ein Hüllkurvendemodulator detektiert die Hüllkurve $a(t)$ seines Eingangssignals $r(t)$ und gibt diese nach Eliminierung des Gleichanteils $A_{\rm T}$ als Sinkensignal aus: $$v(t) = a(t) - A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$ Die Entfernung des Gleichanteils $A_{\rm T}$ kann beispielsweise durch einen Hochpass realisiert werden, der alle Frequenzen bis auf $f =$ 0 ungehindert passieren lässt.

Sind alle obigen Voraussetzungen erfüllt, so gilt $υ(t) = q(t)$. Das bedeutet, dass mit einem (idealen) Hüllkurvendemodulator durchaus ein ideales Nachrichtenübertragungssystem realisiert werden kann.

Unten sehen Sie das Empfangssignal $r(t) = s(t)$, wobei „ZSB–AM mit Träger” zugrunde liegt (Modulationsgrad $m =$ 0.5). Die vom Hüllkurvendemodulator auszuwertende Hüllkurve $a(t)$ ist gleich der Summe aus dem Quellensignal $q(t)$ und dem beim Sender zugesetzten Gleichanteil $A_{\rm T}$.

Für das Demodulatorausgangssignal nach Eliminierung des Gleichanteils $A_{\rm T}$ mit einem Hochpass gilt $υ(t) = q(t)$, vorausgesetzt, dass das Quellensignal $q(t)$ keinen Gleichanteil beinhaltet hat. Ein solcher würde durch den Hochpass ebenfalls entfernt.

Realisierung eines Hüllkurvendemodulators (1)

Die nebenstehende Schaltung zeigt eine einfache Realisierungsmöglichkeit des Hüllkurvendemodulators.

Darunter sehen Sie die Signale $r(t)$ und $w(t)$ zur Verdeutlichung des Prinzips.

Betrachten Sie zunächst den mit $T = T_{\rm opt}$ bezeichneten mittleren Signalausschnitt.

Der erste Schaltungsteil – bestehend aus einer Diode und der Parallelschaltung eines Widerstands $R$ und einer Kapazität $C$ – erfüllt folgende Aufgaben:

• Ist das grau gezeichnete Signal $r(t)$ größer als die Spannung $w(t)$ an $R$ und $C$, so leitet die Diode, es gilt $w(t) = r(t)$ und die Kapazität $C$ wird aufgeladen. Diese Bereiche sind grün markiert.
• Gilt $r(t) < w(t)$ wie zu den violett markierten Zeiten, so sperrt die Diode und die Kapazität entlädt sich über den Widerstand $R$. Das Signal fällt exponentiell mit der Zeitkonstanten $T = R · C$ ab.
• Ab den mit Kreisen markierten Zeitpunkten gilt wieder $r(t) > w(t)$ und die Kapazität wird wieder aufgeladen. Man erkennt aus der Skizze, dass $w(t)$ in etwa mit der Hüllkurve $a(t)$ übereinstimmt.
• Die Abweichungen zwischen $w(t)$ und $a(t)$ sind um so geringer, je größer die Trägerfrequenz im Vergleich zur Nachrichtenfrequenz ist. Als Richtwert wird oft $f_{\rm T} ≥ 100 · B_{\rm NF}$ angegeben.
• Gleichzeitig sollte die Zeitkonstante $T$ stets sehr viel größer als $1/f_{\rm T}$ und sehr viel kleiner als $1/B_{\rm NF}$ sein. Ein guter Kompromiss ist das geometrische Mittel zwischen beiden Grenzen:

$$1/f_{\rm T}\hspace{0.1cm} \ll \hspace{0.1cm} T \hspace{0.1cm} \ll \hspace{0.1cm} 1/B_{\rm NF} \hspace{0.05cm}, \hspace{2cm} T_{\rm opt} = {1}/{\sqrt{f_{\rm T} \cdot B_{\rm NF}}} \hspace{0.05cm}.$$

• Ist die Zeitkonstante $T$ zu klein wie im linken Bereich obiger Skizze, so wird der Kondensator stets zu schnell entladen und die Differenz $w(t) – a(t)$ unnötig groß.
• Auch ein zu großer Wert $T > T_{\rm opt}$ führt zu einer Verschlechterung, wie im rechten Signalausschnitt dargestellt. In diesem Fall kann $w(t)$ der Hüllkurve $a(t)$ nicht mehr folgen.

Bei einer NF–Bandbreite von 5 kHz sollte die Trägerfrequenz mindestens 500 kHz gewählt werden. Die Zeitkonstante $T$ muss sehr viel größer als $1/f_{\rm T} =$ 2 μs und gleichzeitig sehr viel kleiner als $1/B_{\rm NF} =$ 200 μs sein. Der optimale Wert entsprechend der Kompromissformel ist dann: $$T_{\rm opt} = {1}/{\sqrt{5 \cdot 10^5 \, {\rm Hz}\cdot 5 \cdot 10^3 \, {\rm Hz}}} = 20 \, \mu s \hspace{0.05cm}.$$

Realisierung eines Hüllkurvendemodulators (2)

Die folgende Grafik verdeutlicht die Wirkungsweise des Hüllkurvendemodulators im Frequenzbereich:

Das Spektrum $W(f)$ des Signals $w(t)$ an der $RC$–Parallelschaltung unterscheidet sich vom Spektrum $Q(f)$ des Quellensignals wie folgt:

• Aufgrund des beim Sender zugesetzten Trägersignals $z(t)$ beinhaltet die Spektralfunktion $W(f)$ eine Diraclinie bei $f =$ 0 mit dem Gewicht $A_{\rm T}$ (Trägeramplitude).
• $W(f)$ weist zudem auch Spektralanteile im Bereich um die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ auf, die sich mit dem gezackten Zeitverlauf $w(t)$ erklären lassen (siehe Grafik im letzten Abschnitt).
• Auch im NF–Bereich unterscheidet sich $W(f)$ gegenüber $Q(f)$ geringfügig. Der Fehler wird dabei um so geringer sein, je größer die Trägerfrequenz im Vergleich zur NF-Bandbreite ist.

Während die zwei erstgenannten Signalverfälschungen durch den Hochpass und den Tiefpass eliminiert werden, bleibt die geringfügige Abweichung zwischen dem Sinkensignal $υ(t)$ und dem Quellensignal $q(t)$ im Bereich 0 $< f < B_{\rm NF}$ erhalten, wie aus dem Vergleich von $V(f)$ und $Q(f)$ hervorgeht.

Anwendung der Hüllkurvendemodulation bei $m > 1$

Die nachfolgende Grafik zeigt die ZSB–AM–Signale für $m =$ 0.5 und $m =$ 2.

Aus dieser Darstellung erkennt man folgende Unterschiede:

• Solange der Modulationsgrad $m$ ≤ 1 ist, gilt für die Hüllkurve des Bandpass–Signals:

$$a(t) = q(t) + A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$

Hier ist mit dem Hüllkurvendemodulator eine ideale Demodulation möglich: $υ(t) = q(t)$.

• Dagegen gilt bei $m$ > 1 folgender Zusammenhang:

$$a(t) = | q(t) + A_{\rm T}|\hspace{0.05cm}.$$

Hier führt die Hüllkurvendemodulation stets zu nichtlinearen Verzerrungen. Das Sinkensignal $υ(t)$ wird nun auch neue Frequenzen beinhalten, die in $q(t)$ nicht vorhanden waren.

• Für den Gleichanteil (Erwartungswert) der Hüllkurve gilt:

$${\rm E}[a(t)] \ne A_{\rm T}\hspace{0.05cm}.$$

Da nun dieser Gleichanteil ${\rm E}[a(t)]$ anstelle von $A_{\rm T}$ durch den Hochpass entfernt wird, kommt es zusätzlich zu einer Pegelverschiebung.

Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten TP–Signals (1)

Insbesondere dann, wenn das Quellensignal $q(t)$ als Summe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden kann, ist eine Signalbeschreibung mit dem äquivalenten TP–Signal $|r_{\rm TP}(t)|$ äußerst vorteilhaft. Dieses wurde im Kapitel 4.3 des Buches „Signaldarstellung” ausführlich beschrieben.

Lässt man Rauschen/Störungen außer Betracht, so kann für das Empfangssignal geschrieben werden: $$r(t) = a(t) \cdot \cos (\omega_{\rm T}\cdot t + \phi(t))\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung gilt für jede Form der Amplitudenmodulation bei unterschiedlichen Randbedingungen:

• Zweiseitenband (ZSB) oder Einseitenband (ESB),
• mit oder ohne Träger,
• idealer Kanal oder linear verzerrender Kanal.

Das dazugehörige äquivalente TP–Signal ist im allgemeinen Fall komplex und lautet: $$r_{\rm TP}(t) = a(t) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \cdot \hspace{0.05cm} \phi(t)}\hspace{0.05cm}.$$

Die in den Gleichungen enthaltenen Zeitfunktionen $a(t)$ und $\mathbf{ϕ}(t)$ sind bei beiden Darstellungen identisch:

• $a(t)$ beschreibt die Hüllkurve (zeitabhängige Amplitude) des physikalischen Signals $r(t)$ bzw. den Betrag $|r_{\rm TP}(t)|$ des äquivalenten TP–Signals. Dieser wird bei Hüllkurvendemodulation detektiert.
• $\mathbf{ϕ}(t)$ ist die zeitabhängige Phase. Diese Funktion beinhaltet alle Informationen über die Lage der Nulldurchgänge von $r(t)$ und gibt an, ob eine zusätzliche Phasenmodulation wirksam ist.

Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten TP–Signals (2)

Im Fall der Zweiseitenband–Amplitudenmodulation gilt bei idealem Kanal:

• Die Ortskurve – darunter versteht man die zeitabhängige Darstellung des Signals $r_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene – ist eine horizontale Gerade auf der reellen Achse.
• Daraus folgt weiter, dass die Phasenfunktion nur die zwei Werte 0 und π (180°) annehmen kann. Bei $m$ ≤ 1 ist ${\mathbf ϕ}(t) ≡$ 0 und die Hüllkurvendemodulation ist verzerrungsfrei anwendbar.
• Dagegen liegt bei einem Modulationsgrad $m$ > 1 ein Teil der Ortskurve in der linken Halbebene, und es kommt es bei Anwendung der Hüllkurvendemodulation zu nichtlinearen Verzerrungen.

Das Quellensignal $q(t)$ kann alle Werte zwischen ±1 V annehmen. Durch Zusetzen eines Gleichanteils von $A_{\rm T} =$ 2 V ergibt sich eine ZSB–AM mit dem Modulationsgrad $m =$ 0.5, deren Ortskurve in der linken Grafik zu sehen ist. Zu allen Zeiten liegt $r_{\rm TP}(t)$ in der rechten Halbebene und die Zeigerlänge verändert sich entsprechend dem Nachrichtensignal $q(t)$.

Die rechte Grafik beschreibt die Ortskurve für $A_{\rm T} =$ 0.5 V bzw. $m =$ 2. Nun kann $r_{\rm TP}(t)$ alle reellen Werte zwischen –0.5 V und 1.5 V annehmen. Da der Hüllkurvendemodulator jedoch nicht zwischen positiven und negativen Werten unterscheiden kann, kommt es zu nichtlinearen Verzerrungen.

Die entsprechenden physikalischen Signale $q(t), r(t)$ sowie $υ(t)$ zu diesem Beispiel finden Sie in der Grafik in diesem Kapitel im dritten Abschnitt.

Sonderfall eines cosinusförmigen Nachrichtensignals

Zur quantitativen Erfassung der nichtlinearen Verzerrungen aufgrund eines Modulationsgrades größer 1 gehen wir nun von folgendem Szenario aus:

• cosinusförmiges Quellensignal:

$$q(t) = A_N \cdot \cos(\omega_{\rm N} \cdot t);$$

• ZSB–AM mit Träger:

$$s(t) = \left ( q(t) + A_{\rm T} \right ) \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\cos(\omega_{\rm N} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}t),$$ $$r(t) = s(t);$$

• Modulationsgrad:

$$m = A_{\rm N}/A_{\rm T} = 1.25;$$

• ideale Hüllkurvendemodulation:

$$a(t) = | q(t) + A_{\rm T}|; $$

• Eliminierung des Gleichanteils durch Tiefpass:

$$r(t) = a(t) - {\rm E}[a(t)]|.$$

Die Grafiken zeigen die Signale $q(t), r(t), a(t), υ(t)$ sowie das Fehlersignal $ε(t) = υ(t) – q(t)$ aufgrund von nichtlinearen Verzerrungen für die Signalparameter $A_{\rm N} =$ 5 V, $f_{\rm N} =$ 2 kHz, $A_{\rm T} =$ 4 V und $f_{\rm T} =$ 100 kHz. Anhand der Grafiken sind folgende Aussagen möglich:

• Ein Vergleich der Signale $q(t)$ und $a(t)$ zeigt, dass im vorliegenden Beispiel zu etwa 80% aller Zeiten die Hüllkurve $a(t)$ das Quellensignal $q(t)$ richtig wiedergibt.
• Das Sinkensignal $υ(t)$ unterscheidet sich von der Hüllkurve $a(t)$ durch dessen Erwartungswert ${\rm Ε}[a(t)]$, der durch den Tiefpass des Hüllkurvendemodulators entfernt wird.
• Da ${\rm Ε}[a(t)] =$ 4.27 V nicht mit $A_{\rm T} =$ 4 V übereinstimmt, unterscheidet sich $υ(t)$ von $q(t)$ auch in den Bereichen, in denen $a(t)$ richtig detektiert wird, und zwar um den konstanten Wert 0.27 V.
• Aus dem cosinusförmigen Quellensignal wird ein Signal $υ(t)$ mit Oberwellen:

$$v(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(\omega_{\rm N} t ) +A_{\rm 2} \cdot \cos(2\omega_{\rm N} t )+A_{\rm 3} \cdot \cos(3\omega_{\rm N} t )+ ...$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} = 4.48\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 2} = 0.46\,{\rm V},\hspace{0.3cm}A_{\rm 3} = -0.37\,{\rm V},\hspace{0.3cm} A_{\rm 4} = 0.26\,{\rm V},\hspace{0.1cm}...$$

• Damit erhält man für die einzelnen Klirrfaktoren sowie den Gesamtklirrfaktor:

$$K_2 ={|A_{\rm 2}|}/{A_{\rm 1}} = 0.102,\hspace{0.3cm}K_3 = {|A_{\rm 3}|}/{A_{\rm 1}} = 0.082,\hspace{0.3cm}K_4 = {|A_{\rm 4}|}/{A_{\rm 1}} = 0.058,\hspace{0.1cm}...$$ $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2 + K_4^2 + ... } \approx 15 \%.$$

• Im Kapitel 1.2 wurde gezeigt, dass damit auch das SNR $ρ_υ = 1/K^2$ ≈ 44 festliegt. $ρ_υ$ kann im Gegensatz zum Klirrfaktor $K$ auch dann als Qualitätskriterium herangezogen werden, wenn $q(t)$ mehr als eine Frequenz beinhaltet ⇒ Herleitung im Buch Lineare zeitinvariante Systeme.

Berücksichtigung von Kanalverzerrungen (1)

Für die folgenden Betrachtungen setzen wir das Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” sowie ein cosinusförmiges Quellensignal $q(t)$ voraus. Die Amplituden von Nachrichten– und Trägersignal seien $A_{\rm N} =$ 4 V und $A_{\rm T} =$ 5 V ⇒ Modulationsgrad $m =$ 0.8. Damit ist (ideale) Hüllkurvendemodulation prinzipiell anwendbar.

Die nachfolgende Grafik zeigt von oben nach unten

• die Spektren $S_{\rm TP}(f)$ und $R_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten TP–Signals, die als reell angenommen werden,
• die äquivalenten Tiefpass–Signale $s_{\rm TP}(t)$ und $r_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene, und schließlich
• die physikalischen Signale $s(t)$ und $r(t)$.

• Die linke Bildhälfte zeigt die Senderseite und gibt gleichzeitig die Verhältnisse am Empfänger bei idealem Kanal an. Wegen des Modulationsgrades $m$ ≤ 1 erkennt man in der Hüllkurve $a(t)$ das Quellensignal $q(t)$. Hüllkurvendemodulation ist also ohne Verzerrungen anwendbar.
• Die rechte Hälfte berücksichtigt unsymmetrische Kanalverzerrungen. Der Träger wird mit $α_{\rm T} =$ 0.8 gedämpft, das obere Seitenband sogar mit $α_{\rm O} =$ 0.5. Nun verläuft die Hüllkurve $a(t) ≠ q(t) + A_{\rm T}$ nicht mehr cosinusförmig ⇒ Hüllkurvendemodulation führt hier zu nichtlinearen Verzerrungen.

Die detaillierten Bildbeschreibungen folgen in den nächsten beiden Abschnitten.

Berücksichtigung von Kanalverzerrungen (2)

Es gelte weiterhin $A_{\rm N} =$ 4 V und $A_{\rm T} =$ 5 V ⇒ Modulationsgrad $m =$ 0.8. Die Grafik verdeutlicht den Einsatz eines idealen Hüllkurvendemodulators bei idealem Kanal, wobei die Identitäten $$R_{\rm TP}(f) = S_{\rm TP}(f) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} r_{\rm TP}(t) = s_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} r(t) = s(t) \hspace{0.05cm}.$$ berücksichtigt sind.

Man erkennt aus diesen Darstellungen:

• Der den Träger beschreibende rote Zeiger der Länge $A_{\rm T}$ liegt fest. Das obere Seitenband (blau) dreht in mathematisch positiver Richtung, das untere Seitenband (grün) entgegengesetzt.
• Da der blaue und der grüne Zeiger beide mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit $ω_{\rm N}$ drehen, aber in entgegengesetzte Richtungen, ist die vektorielle Summe aller Zeiger zu allen Zeiten reell.
• Ist der Modulationsgrad $m$ ≤ 1, so gilt für alle Zeiten $r_{\rm TP}(t)$ ≥ 0 und $\mathbf{ϕ}(t) =$ 0. Das bedeutet, dass die Nulldurchgänge von $r(t)$ genau mit denen des Trägersignals $z(t)$ übereinstimmen.
• Die Hüllkurve $a(t)$ des physikalischen Signals $r(t)$ ist gleich der resultierenden Zeigerlänge, also gleich dem Betrag von $r_{\rm TP}(t)$. Da der Modulationsgrad kleiner 1 ist, gilt $a(t) = q(t) + A_{\rm T}$.
• Bei den gegebenen Amplitudenwerten liegt die Ortskurve $r_{\rm TP}(t)$ auf der reellen Achse zwischen den Endpunkten $A_{\rm T} – A_{\rm N} =$ 1 V und $A_{\rm T} + A_{\rm N} =$ 9 V.
• Die Ortskurve auf der reellen Achse in der rechten Halbebene ist ein Indiz dafür, dass durch einen Hüllkurvendemodulator das Nachrichtensignal verzerrungsfrei extrahiert werden kann.