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| − | {{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Klassifizierung der Verzerrungen
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| − | [[Datei:P_ID879__LZI_A_2_1.png|right|]]
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| − | :Wir betrachten die skizzierte Anordnung mit dem Eingangssignal <i>x</i>(<i>t</i>) und dem Ausgangssignal <i>z</i>(<i>t</i>):
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| − | :Das System <i>S</i><sub>1</sub> ist durch folgende Gleichung beschreibbar:
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| − | :$$y(t) = x(t) + {1 \, \rm V}^{\rm -1} \cdot x^2(t) .$$
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| − | :Über das System <i>S</i><sub>2</sub> mit Eingangssignal <i>y</i>(<i>t</i>) und Ausgangssignal <i>z</i>(<i>t</i>) ist nichts weiter bekannt.
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| − | :Das System <i>S</i><sub>3</sub> ist die Zusammenschaltung von <i>S</i><sub>1</sub> und <i>S</i><sub>2</sub>.
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| − | :An den Eingang wird folgendes Signal angelegt (<i>f</i><sub>0</sub> = 5 kHz):
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| − | :$$x(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) .$$
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| − | :Damit erhält man am Ausgang des Gesamtsystems <i>S</i><sub>3</sub>:
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| − | :$$z(t) = {1 \, \rm V} \cdot {\rm sin}(2\pi f_0 t ) .$$
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| − | :<b>Hinweis:</b> Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 2.1. Gegeben ist die folgende trigonometrische Beziehung:
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| − | :$$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left[ 1 + \cos(2\alpha)\right]
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| − | .$$
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| − | ===Fragebogen===
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| − | <quiz display=simple>
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| − | {Wie lautet das Signal <i>y</i>(<i>t</i>)? Welcher Signalwert ergibt sich zum Nullzeitpunkt?
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| − | |type="{}"}
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| − | $y(t = 0)$ = { 6 1% } $V$
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| − | {Welche richtigen Schlüsse könnte ein Beobachter ziehen, der nur die Signale <i>x</i>(<i>t</i>) und <i>z</i>(<i>t</i>) kennt und keine Information über den Aufbau von <i>S</i><sub>3</sub> besitzt?
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| − | |type="[]"}
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| − | - <i>S</i><sub>3</sub> ist ein ideales System.
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| − | + <i>S</i><sub>3</sub> ist ein verzerrungsfreies System.
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| − | + <i>S</i><sub>3</sub> ist ein linear verzerrendes System.
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| − | - <i>S</i><sub>3</sub> ist ein nichtlinear verzerrendes System.
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| − | {Welche Schlüsse müsste der Beobachter ziehen, wenn ihm alle Informationen von der Angabenseite bekannt sind?
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| − | |type="[]"}
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| − | - <i>S</i><sub>2</sub> ist ein verzerrungsfreies System.
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| − | + <i>S</i><sub>2</sub> ist ein linear verzerrendes System.
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| − | - <i>S</i><sub>2</sub> ist ein nichtlinear verzerrendes System.
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| − | {Welches Signal <i>z</i>(<i>t</i>) könnte sich mit der Eingangsfrequenz <i>f</i><sub>0</sub> = 10 kHz ergeben?
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| − | |type="[]"}
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| − | + Das Signal <i>z</i>(<i>t</i>) = 0.
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| − | - Ein Signal der Form <i>z</i>(<i>t</i>) = <i>A</i> · cos(2π · 10 kHz · <i>t</i>), <i>A</i> ≠ 0.
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| − | + Ein Signal der Form <i>z</i>(<i>t</i>) = <i>A</i> · cos(2π · 20 kHz · <i>t</i>), <i>A</i> ≠ 0.
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| − | </quiz>
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| − | ===Musterlösung===
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| − | {{ML-Kopf}}
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| − | :<b>1.</b> Aufgrund der Kennlinie mit linearem und quadratischem Anteil gilt:
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| − | :$$y(t) = {2 \, \rm V} \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ) + {1 \,
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| − | \rm V}^{\rm -1} \cdot ({2 \, \rm V})^2 \cdot {\rm cos}^2(2\pi f_0
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| − | t ) \\ = {2 \, \rm V} \cdot \left[ 1 + {\rm cos}(2\pi f_0 t
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| − | ) +{\rm cos}(4\pi f_0 t ) \right].$$
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| − | :Zum Zeitpunkt <i>t</i> = 0 tritt somit der <u>Signalwert 6 V</u> auf.
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| − | :<b>2.</b> Ein ideales System kommt wegen <i>z</i>(<i>t</i>) ≠ <i>x</i>(<i>t</i>) nicht in Frage. <u>Die Alternativen 2 und 3 sind möglich</u>. Bei nur einer Frequenz (<i>f</i><sub>0</sub> = 5 kHz) ist keine Aussage möglich, ob eine zweite Frequenzkomponente ebenfalls um <i>α</i> = 0.5 gedämpft und um <i>τ</i> = <i>T</i><sub>0</sub>/4 = 50 μs verzögert würde. Die letzte Alternative müsste der Beobachter – obwohl teilweise zutreffend – logischerweise verneinen.
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| − | :<b>3.</b> Er würde erkennen, dass <i>S</i><sub>2</sub> ein linear verzerrendes System ist ⇒ <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Bei einem verzerrungsfreien System müsste <i>z</i>(<i>t</i>) zusätzlich noch eine Gleich– und eine 10 kHz–Komponente beinhalten, bei einem nichtlinear verzerrenden System noch größere Frequenzanteile (bei Vielfachen von 10 kHz).
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| − | :<b>4.</b> In diesem Fall würde <i>Y</i>(<i>f</i>) Spektrallinien bei <i>f</i> = 0, <i>f</i> = 10 kHz und <i>f</i> = 20 kHz aufweisen. Die auf der Angabenseite beschriebene Messung mit <i>f</i><sub>0</sub> = 5 kHz hat gezeigt, dass <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i> = 0) und <i>H</i><sub>2</sub>(<i>f</i> = 10 kHz) jeweils 0 sein werden. Die einzig mögliche Signalform ist somit
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| − | :$$z(t) = {2 \, \rm V} \cdot H_2 (f = {20 \, \rm kHz})\cdot {\rm
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| − | cos}(2\pi \cdot {20 \, \rm kHz} \cdot t ) .$$
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| − | :Möglich sind also die erste und die letzte der genannten Alternativen, je nachdem, ob das System <i>S</i><sub>2</sub> die Frequenz 20 kHz unterdrückt oder durchlässt ⇒ <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
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| − | {{ML-Fuß}}
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| − | [[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^2.1 Klassifizierung der Verzerrungen^]]
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