Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen

1. Digitalsignalübertragung
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen

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Gaußförmiges Empfangsfilter (1)

Zur quantitativen Berücksichtigung der Impulsinterferenzen wird folgende Konfiguration angenommen:

• Rechteckförmiger NRZ–Sendegrundimpuls g_s(t) mit der Höhe s₀ und der Dauer T,
  

• Gaußförmiges Empfangsfilter mit der Grenzfrequenz f_G:

\[H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f) = {\rm exp}\left [- \frac{\pi \cdot f^2}{(2f_{\rm G})^2} \right ] \hspace{0.2cm} \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.2cm}h_{\rm E}(t) = h_{\rm G}(t) = {\rm exp}\left [- \pi \cdot (2 f_{\rm G} t)^2\right ] \hspace{0.05cm}.\]

• AWGN–Kanal, das heißt, es gilt H_K(f) = 1 und Φ_n(f) = N₀/2.
  
  

Für das gesamte Kapitel 3.2 wird somit von nachfolgendem Blockschaltbild ausgegangen.

Aufgrund der getroffenen Voraussetzungen gilt für den Detektionsgrundimpuls:

\[g_d(t) = g_s(t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot s_0 \cdot \int_{t-T/2}^{t+T/2} {\rm exp}\left [- \pi \cdot (2 \cdot f_{\rm G}\cdot \tau )^2\right ] \,{\rm d} \tau \hspace{0.05cm}.\]

Die Integration führt zu folgendem Ergebnis:

\[g_d(t) = s_0 \cdot \left [ {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm Q} \left ( 2 \cdot \sqrt {2 \pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2} )\right ) \right ]\hspace{0.05cm},\]

\[g_d(t) = {s_0}/{2} \cdot \left [ {\rm erfc} \left ( 2 \cdot \sqrt {\pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t - {T}/{2})\right )- {\rm erfc} \left ( 2 \cdot \sqrt {\pi} \cdot f_{\rm G}\cdot ( t + {T}/{2} )\right ) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Hierbei sind zwei Varianten der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion verwendet, nämlich

\[\rm Q (\it x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d {\it u} \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} {\rm erfc} (\it x) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi}}\int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}}\,d \it u \hspace{0.05cm}.\]

Das Modul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion liefert die Zahlenwerte von Q(x) und erfc(x).

Die Rauschleistung am Ausgang des gaußförmigen Empfangsfilters H_G(f) ist gleich

\[\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0\cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.\]

Aus diesen beiden Gleichungen erkennt man bereits:

• Je kleiner die Grenzfrequenz f_G des Gauß–Tiefpasses ist, desto kleiner ist der Rauscheffektivwert σ_d und umso besser ist demzufolge das Rauschverhalten.
  

• Eine kleine Grenzfrequenz führt aber zu einer starken Abweichung des Detektionsgrundimpulses g_d(t) von der Rechteckform und damit zu nicht vernachlässigbaren Impulsinterferenzen.
  
  

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