Mobile Kommunikation/Das GWSSUS–Kanalmodell

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Verallgemeinerte Systemfunktionen zeitvarianter Systeme (1)

Während es bei linearen zeitinvarianten (LZI) Systemen mit der Übertragungsfunktion H(f) und der Impulsantwort h(τ) nur zwei das System vollständig beschreibende Funktionen gibt, sind bei zeitvarianten (LZV) Systemen insgesamt vier verschiedene Systemfunktionen möglich. Eine formale Untersscheidung dieser Funktionen hinsichtlich Zeit– und Frequenzbereichsdarstellung durch Klein– und Großbuchstaben ist damit ausgeschlossen.

Deshalb nehmen wir nun eine Nomenklaturänderung vor, die sich wie folgt formalisieren lässt:

• Die vier möglichen Systemfunktionen werden einheitlich mit η₁₂ bezeichnet.
  

• Der erste Index ist entweder ein V (Verzögerungszeit τ) oder ein F (Frequenz f).
  

• Als zweiter Index ist entweder ein Z (Zeit t) oder ein D (Dopplerfrequenz f_D) möglich.
  
  

Da beim Mobilfunk im Gegensatz zur leitungsgebundenen Übertragung die Systemfunktionen nicht deterministisch beschrieben werden können, sondern statistische Größen sind, müssen später noch entsprechende Korrelationsfunktionen betrachtet werden. Diese bezeichnen wir im Folgenden einheitlich mit φ₁₂, und verwenden gleiche Indizes wie für die Systemfunktionen η₁₂.

Diese formalisierten Bezeichnungen sind in der folgenden Grafik in blauer Schrift eingetragen. Zusätzlich sind die in anderen Kapiteln oder der Literatur verwendeten Bezeichnungen angegeben (graue Schrift). In den weiteren Kapiteln werden diese teilweise ebenfalls benutzt.

Die Bildbeschreibung folgt auf der nächsten Seite.

Verallgemeinerte Systemfunktionen zeitvarianter Systeme (2)

In der Grafik auf der letzten Seite sind die vier Systemfunktionen dargestellt. Oben erkennt man die zeitvariante Impulsantwort η_VZ(τ, t), die in Kapitel 2.2 mit h(τ, t) bezeichnet wurde. Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) ist

\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau_1, t_1) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}. \]

Zur Frequenz–Zeit–Darstellung (rechter Block) kommt man durch eine Fouriertransformation bezüglich der Verzögerung τ. Man erhält so die zeitvariante Übertragungsfunktion H(f, t) = η_FZ(f, t). Die Fouriertransformation hinsichtlich τ ist in der Grafik durch „F_τ[ · ]” angedeutet. Ausgeschrieben lautet das Fourierintegral:

\[\eta_{\rm FZ}(f, t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot {\rm exp}(- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau)\hspace{0.15cm}{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} {\rm kurz:} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.05cm} \tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \hspace{0.05cm}.\]

Die AKF dieser zeitvarianten Übertragungsfunktion lautet allgemein:

\[\varphi_{\rm FZ}(f_1, t_1, f_2, t_2) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm FZ}(f_1, t_1) \cdot \eta_{\rm FZ}^{\star}(f_2, t_2) \right ]\hspace{0.05cm}.\]

Die Scatter–Funktion η_VD(τ, f_D) entsprechend dem linken Block – manchmal auch mit s(τ, f_D) bezeichnet – beschreibt den Mobilfunkkanal im Verzögerungs–Doppler–Bereich. Sie ergibt sich aus der zeitvarianten Impulsantwort η_VZ(τ, t) durch Fouriertransformation bezüglich des zweiten Parameters t:

\[ \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VZ}(\tau, t)\]

\[\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}, \tau_2, f_{\rm D_2}) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VD}(\tau_1, f_{\rm D_1}) \cdot \eta_{\rm VD}^{\star}(\tau_2, f_{\rm D_2}) \right ] \hspace{0.05cm}.\]

Der Funktionsparameter f_D bezeichnet hierbei die Dopplerfrequenz.

Abschließend betrachten wir noch die so genannte frequenzvariante Übertragungsfunktion, also die Frequenz–Doppler–Darstellung. Entsprechend der Grafik gelangt man zu dieser auf zwei Wege:

\[\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f_{\rm D}, \hspace{0.05cm}t}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm FZ}(f, t)\hspace{0.05cm},\]

\[\eta_{\rm FD}(f, f_{\rm D}) \hspace{0.2cm} \stackrel{f, \hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.\]

Anzumerken ist, dass die angegebenen Fourier–Zusammenhänge zwischen den Systemfunktionen in der Grafik durch die äußeren, dunkelgrünen Pfeile veranschaulicht sind. Die inneren (helleren) Pfeile kennzeichnen jeweils die Verknüpfungen über die inverse Fouriertransformation.

Hinweis: Ein Interaktionsmodul zeigt den Zusammenhang zwischen Zeit– und Frequenzbereich, formelmäßig beschreibbar durch Fouriertransformation und Fourierrücktransformation:

Zeitfunktion und zugehörige Spektralfunktion Please add link and do not upload flash video.

Vereinfachungen aufgrund der GWSSUS–Voraussetzungen

Der allgemeine Zusammenhang zwischen den vier Systemfunktionen ist aufgrund nichtstationärer Effekte sehr kompliziert. Es müssen gegenüber dem allgemeinen Modell einige Einschränkungen getroffen werden, um zu einem geeigneten Modell für den Mobilfunkkanal zu gelangen, aus dem sich relevante Aussagen für praktische Anwendungen ableiten lassen.

Man kommt zum GWSSUS–Modell (Gaussian Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering) durch folgende Festlegungen:

• Der Zufallsprozess der Kanalimpulsantwort h(τ, t) = η_VZ(τ, t) wird allgemein als komplex (also Beschreibung im äquivalenten Tiefpassbereich), gaußisch (Kennung G) sowie als mittelwertfrei (Rayleigh, nicht Rice, also keine Sichtverbindung) angenommen.
  

• Der Zufallsprozess sei schwach stationär, das heißt, seine Kenngrößen ändern sich mit der Zeit nur geringfügig, und die AKF φ_VZ(τ₁, t₁, τ₂, t₂) der zeitvarianten Impulsantwort hängt nicht mehr von den absoluten Zeiten t₁ und t₂ ab, sondern nur noch von der Zeitdifferenz <nobr>Δt = t₂ – t₁.</nobr> Darauf weist die Kennung WSS   ⇒   Wide Sense Stationary hin.
  

• Die einzelnen Echos aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind unkorreliert, was durch die Kennung US   ⇒   Uncorrelated Scattering ausgedrückt wird.
  

Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften lässt sich der Mobilfunkkanal entsprechend der hier angegebenen Grafik beschreiben. Auf die einzelnen Leistungsdichtespektren (blau beschriftet) und die Korrelationsfunktion (mit roter Schrift) wird auf den nächsten Seiten noch im Detail eingegangen.

AKF und LDS der zeitvarianten Impulsantwort (1)

Zunächst betrachten wir die Autokorrelationsfunktion (AKF) der zeitvarianten Impulsantwort  ⇒  <nobr>h(τ, t) = η_VZ(τ, t)</nobr> etwas genauer. Dabei zeigt sich:

• Aufgrund der WSS–Eigenschaft lässt sich mit Δt = t₂ – t₁ schreiben:

\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, t_1, \tau_2, t_2) = \varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t)\hspace{0.05cm}.\]

• Da die Echos als unabhängig voneinander vorausgesetzt wurden (US–Eigenschaft), kann man die Impulsantwort bezüglich den Verzögerungen τ₁, τ₂ als unkorreliert annehmen. Dann gilt:

\[\varphi_{\rm VZ}(\tau_1, \tau_2, \Delta t) = 0 \hspace{0.35cm}{\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.35cm} \tau_1 \ne \tau_2\hspace{0.05cm}. \]

• Ersetzt man nun τ₁ durch τ und τ₂ durch τ + Δτ, so lässt sich diese Autokorrelationsfunktion in folgender Weise darstellen:

\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}. \]

• Wegen der Ausblendeigenschaft der Diracfunktion verschwindet die AKF für τ₁ ≠ τ₂  ⇒  <nobr>Δt ≠ 0.</nobr> Φ_VZ(τ, Δt) nennt man das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum, das von der Verzögerung τ (= τ₁ = τ₂) und zusätzlich von der Zeitdifferenz Δt = t₁ – t₂ abhängt.
  
  

Beachten Sie, dass hier Autokorrelationsfunktion φ_VZ(Δτ, Δt) und Leistungsdichtespektrum Φ_VZ(τ, Δt) nicht wie sonst üblich über die Fouriertransformation zusammenhängen, sondern nach obiger Gleichung über eine Diracfunktion verknüpft sind. Nicht alle Symmetrieeigenschaften, die aus dem Wiener–Chintchine–Theorem folgen, sind somit auch hier gegeben. Insbesondere ist es durchaus möglich und sogar sehr wahrscheinlich, dass ein solches Leistungsdichtespektrum eine ungerade Funktion ist.

In der Übersicht ist das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum Φ_VZ(τ, Δt) oben in der Mitte zu erkennen. Da η_VZ(τ, t) wie jede beliebige Impulsantwort die Einheit [1/s] aufweist, hat die Autokorrelationsfunktion

\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = {\rm E} \left [ \eta_{\rm VZ}(\tau, t) \cdot \eta_{\rm VZ}^{\star}(\tau + \Delta \tau, t + \Delta t) \right ]\]

die Einheit [1/s²]. Da aber auch die Diracfunktion mit Zeitargument, δ(Δτ), die Einheit [1/s] aufweist, besitzt das Verzögerungs–Zeit–Kreuzleistungsdichtespektrum Φ_VZ(τ, Δt) ebenfalls die Einheit [1/s]:

\[\varphi_{\rm VZ}(\Delta \tau, \Delta t) = \delta(\Delta \tau) \cdot {\it \Phi}_{\rm VZ}(\tau, \Delta t) \hspace{0.05cm}.\]