Aufgaben:Aufgabe 4.14: Phasenverlauf der MSK: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 6. Januar 2017, 14:42 Uhr

Eine Realisierungsmöglichkeit für die MSK bietet die Offset–QPSK, wie aus dem Blockschaltbild im Theorieteil hervorgeht. Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k$ ∈ {+1, –1} in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k$ ∈ {+1, –1} vorzunehmen. Diese Umcodierung wird in der Aufgabe Z4.13 eingehend behandelt.

Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_I(t)$ und $s_Q(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach dieser Umcodierung $$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $$ aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls $$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ Dieser ist ebenso wie die Signale $s_I(t)$ und $s_Q(t)$ auf 1 normiert. Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem Kapitel 4.3 im Buch „Signaldarstellung”: $$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}$$ mit dem Betrag $$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$ und der Phase $$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$ Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu $$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$ Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.4. Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist.

Fragebogen

	Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
	Die Hüllkurve ist konstant.
	Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.

$ϕ(t = T/2)$ =

$Grad$

$ϕ(t = T)$ =

$Grad$

$ϕ(t = 2T)$ =

$Grad$

$ϕ(t = 3T)$ =

$Grad$

$ϕ(t = 4T)$ =

$Grad$

$ϕ(5T)$ =

$Grad$

$ϕ(6T)$ =

$Grad$

$ϕ(7T)$ =

$Grad$

$ϕ(8T)$ =

$Grad$

Musterlösung

1. Aus der oberen Skizze kann man $T_B = 1 μs$ ablesen.

2. Bei QPSK bzw. Offset–QPSK ist aufgrund der Seriell–Parallel–Wandlung die Symboldauer T doppelt so groß wie die Bitdauer: $$ T = 2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$

3. Entsprechend der aus der Skizze für die ersten Bit erkennbaren Zuordnung gilt: $$ a_{\rm I3} = q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q3} = q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$ $$a_{\rm I4} = q_7 \hspace{0.15cm}\underline { = -1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q4} = q_8 \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$

4. Bei der MSK ist die Symboldauer T gleich der Bitdauer: $$T = T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$ 5. Entsprechend der angegebenen Umcodiervorschrift gilt mit $a_4 = –1$: $$q_5 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_5 = a_4 \cdot q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},$$

$$q_6 = +1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_6 = -a_5 \cdot q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$

$$ q_7 = -1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_7 = a_6 \cdot q_7 \hspace{0.15cm}\underline {= -1}, $$ $$q_8 = +1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}a_8 = -a_7 \cdot q_8\hspace{0.15cm}\underline { = +1}\hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:|right|]]
+[[Datei:P_ID1740__Mod_A_4_13.png|right|]]
+Eine Realisierungsmöglichkeit für die MSK bietet die Offset–QPSK, wie aus dem Blockschaltbild im Theorieteil hervorgeht. Hierzu ist zunächst eine Umcodierung der Quellensymbole $q_k$ ∈ {+1, –1} in die ebenfalls binären Amplitudenkoeffizienten $a_k$ ∈ {+1, –1} vorzunehmen. Diese Umcodierung wird in der [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren#Realisierung_der_MSK_als_Offset.E2.80.93QPSK_.281.29 Aufgabe Z4.13] eingehend behandelt.
+Die Grafik zeigt unten die beiden äquivalenten Tiefpass–Signale $s_I(t)$ und $s_Q(t)$ in den beiden Zweigen, die sich nach dieser Umcodierung
+$$a_k = (-1)^{k+1} \cdot a_{k-1} \cdot q_k $$
+aus dem oben skizzierten Quellensignal $q(t)$ für den Inphase– und den Quadraturzweig ergeben. Berücksichtigt ist hierbei der MSK–Grundimpuls
+$$ g_{\rm MSK}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \cos (\frac{\pi \cdot t}{2 \cdot T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} -T \le t \le +T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
+Dieser ist ebenso wie die Signale $s_I(t)$ und $s_Q(t)$ auf 1 normiert. Für das äquivalente Tiefpass–Signal gilt entsprechend dem  [http://www.lntwww.de/Signaldarstellung/%C3%84quivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugeh%C3%B6rige_Spektralfunktion Kapitel 4.3] im Buch „Signaldarstellung”:
+$$ s_{\rm TP}(t) = s_{\rm I}(t) + {\rm j} \cdot s_{\rm Q}(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\phi(t)}$$
+mit dem Betrag
+$$|s_{\rm TP}(t)| = \sqrt{s_{\rm I}^2(t) + s_{\rm Q}^2(t)} $$
+und der Phase
+$$ \phi(t) = {\rm arc} \hspace{0.15cm}s_{\rm TP}(t) = {\rm arctan}\hspace{0.1cm} \frac{s_{\rm Q}(t)}{s_{\rm I}(t)} \hspace{0.05cm}.$$
+Das physikalische MSK–Sendesignal ergibt sich dann zu
+$$ s(t) = |s_{\rm TP}(t)| \cdot \cos (2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi(t)) \hspace{0.05cm}.$$
+'''Hinweis:''' Die Aufgabe gehört zum [http://www.lntwww.de/Modulationsverfahren/Nichtlineare_Modulationsverfahren Kapitel 4.4]. Gehen Sie davon aus, dass $ϕ(t = 0) = ϕ_0 = 0$ ist.
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
+{Welche Aussagen gelten für die Hüllkurve $|s_{TP}(t)|$?
 |type="[]"}
-- Falsch
+- Die Hüllkurve schwankt cosinusförmig.
-+ Richtig
++ Die Hüllkurve ist konstant.
++ Die Hüllkurve ist unabhängig von der gesendeten Folge.
+{Es gelte $T = 1 μs$. Berechnen Sie den Phasenverlauf im Intervall 0 ≤ t ≤ T. Welche Phasenwerte ergeben sich bei t = T/2 und t = T?
+|type="{}"}
+$ϕ(t = T/2)$ = { 45 3%  } $Grad$
+$ϕ(t = T)$ = { 90 3% } $Grad$
-{Input-Box Frage
+{Bestimmen Sie die Phasenwerte bei t = 2T, t = 3T und t = 4T.
 |type="{}"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+$ϕ(t = 2T)$ = { 0 3% } $Grad$
+$ϕ(t = 3T)$ = { -90 3% } $Grad$
+$ϕ(t = 4T)$ = { -180 3% } $Grad$
+{Skizzieren und interpretieren Sie den Phasenverlauf $ϕ(t)$ im Bereich von 0 bis 8T. Welche Phasenwerte ergeben sich zu den folgenden Zeiten?
+|type="{}"}
+$ϕ(5T)$ = { -90 3% } $Grad$
+$ϕ(6T)$ = { 0 3% } $Grad$
+$ϕ(7T)$ = { -90 3% } $Grad$
+$ϕ(8T)$ = {  3% } $Grad$
 </quiz>
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''
+'''1.''' Aus der oberen Skizze kann man $T_B = 1 μs$ ablesen.
-'''2.'''
-'''3.'''
+'''2.''' Bei QPSK bzw. Offset–QPSK ist aufgrund der Seriell–Parallel–Wandlung die Symboldauer T doppelt so groß wie die Bitdauer:
-'''4.'''
+$$ T = 2 \cdot T_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= 2\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$
-'''5.'''
-'''6.'''
+'''3.'''  Entsprechend der aus der Skizze für die ersten Bit erkennbaren Zuordnung gilt:
-'''7.'''
+$$ a_{\rm I3} = q_5  \hspace{0.15cm}\underline {= +1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q3} = q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$
+$$a_{\rm I4} = q_7 \hspace{0.15cm}\underline { = -1},\hspace{0.2cm}a_{\rm Q4} = q_8 \hspace{0.15cm}\underline {= +1} \hspace{0.05cm}.$$
+'''4.'''  Bei der MSK ist die Symboldauer T gleich der Bitdauer:
+$$T = T_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 1\,{\rm \mu s}} \hspace{0.05cm}.$$
+'''5.'''  Entsprechend der angegebenen Umcodiervorschrift gilt mit $a_4 = –1$:
+$$q_5 = +1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_5 = a_4 \cdot q_5 \hspace{0.15cm}\underline {= -1},$$
+ $$q_6 = +1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_6 = -a_5 \cdot q_6 \hspace{0.15cm}\underline {= +1},$$
+$$ q_7 = -1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_7 = a_6 \cdot q_7 \hspace{0.15cm}\underline {= -1}, $$
+$$q_8 = +1 \hspace{0.3cm}  \Rightarrow  \hspace{0.3cm}a_8 = -a_7 \cdot q_8\hspace{0.15cm}\underline { = +1}\hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}