Aufgaben:Aufgabe 2.3: cos- und sin-Anteil: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$? | + | {Berechnen Sie das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$? |
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| − | $y(t=0)$ | + | $y(t=0)\ = \ $ { 10 3% } ${\rm V}$ |
| − | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich des Signals $y(t)$ bzw. seines Spektrums $Y(f)$ zutreffend? |
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| − | + $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$. | + | + $y(t)$ hat die gleiche Periodendauer wie das Signal $x(t)$. |
| − | - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$. | + | - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$. |
| − | - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $f_1$ mit Gewicht $\rm{j} · 1\,{\rm V}$. | + | - $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $+f_1$ mit dem Gewicht $\rm{j} · 1\,{\rm V}$. |
| − | + $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$ mit Gewicht $5\,{\rm V}$. | + | + $Y(f)$ beinhaltet eine Diracfunktion bei $–\hspace{-0.1cm}2.5 \cdot f_1$ mit dem Gewicht $5\,{\rm V}$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert | + | *Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils. |
| + | *Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$. | ||
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| + | '''(3)''' Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt: | ||
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| + | :$$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$ | ||
| − | Dies führt zum Ergebnis: | + | *Dies führt zum Ergebnis: |
| − | $$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$ | + | :$$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$ |
| − | + | *Für $t = 0$ ergibt sich der Wert $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$. | |
| + | *Rechts ist das Spektrum $Y(f)$ dargestellt. | ||
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| − | '''4 | + | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>: |
| − | Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen. Der Cosinusanteil mit der Amplitude 10 V hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht 5 V | + | *Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert. |
| + | *Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ gilt. | ||
| + | *Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation. | ||
| + | *Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen. | ||
| + | *Der Cosinusanteil mit der Amplitude ${10\,\rm V}$ hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht ${5\,\rm V}$ . | ||
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[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]] | [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^2. Periodische Signale^]] | ||
Aktuelle Version vom 13. April 2021, 15:16 Uhr
Spektrum von Cosinus- und Sinusanteilen
Gegeben ist das Amplitudenspektrum $X(f)$ eines Signals $x(t)$ entsprechend der Grafik.
- Die Normierungsfrequenz sei $f_1 = 4\,\text{kHz}$.
- Damit liegen die tatsächlichen Frequenzen der Signalanteile bei $0\,\text{kHz}$, $4\,\text{kHz}$ und $10\,\text{kHz}$.
Dieses Signal $x(t)$ liegt am Eingang eines linearen Differenzierers, dessen Ausgang mit $\omega_1 = 2\pi f_1$ wie folgt dargestellt werden kann:
- $$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d} x(t)}{{\rm d} t}.$$
Hinweis:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Harmonische Schwingung.
Fragebogen
Musterlösung
Summensignal aus Cosinus- und Sinusanteilen
(1) Das Zeitsignal hat die folgende Form:
- $$x(t)={\rm 3V}-{\rm 2V}\cdot \cos(\omega_{\rm 1} \cdot t)+{\rm 4V} \cdot \sin(2.5 \cdot \omega_{\rm 1} \cdot t).$$
- Hierbei bezeichnet $\omega_1 = 2\pi f_1$ die Kreisfrequenz des Cosinusanteils.
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ hat das Signal den Wert $x(t=0)\hspace{0.15 cm}\underline{=1\,\rm V}$.
(2) Die Grundfrequenz $f_0$ ist der größte gemeinsame Teiler
- von $f_1 = 4{\,\rm kHz}$
- und $2.5 · f_1 = 10{\,\rm kHz}$.
Daraus folgt $f_0 = 2{\,\rm kHz}$ ⇒ Periodendauer $T_0 = 1/f_0 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 {\,\rm ms}}$.
Spektrum mit diskreten Anteilen
(3) Für das Ausgangssignal $y(t)$ des Differenzierers gilt:
- $$y(t)=\frac{1}{\omega_1}\cdot\frac{ {\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\frac{ {\rm -2V}}{\omega_1}\cdot\omega_1 \cdot (-\sin(\omega_1 t))+\frac{\rm 4V}{\omega_1}\cdot 2.5\omega_1\cdot {\rm cos}(2.5\omega_1t).$$
- Dies führt zum Ergebnis:
- $$y(t)={\rm 2V}\cdot\sin(\omega_1 t)+{\rm 10V}\cdot\cos(2.5\omega_1 t).$$
- Für $t = 0$ ergibt sich der Wert $y(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=10\,\rm V}$.
- Rechts ist das Spektrum $Y(f)$ dargestellt.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:
- Die Periodendauer $T_0$ wird durch die Amplitude und die Phase der beiden Anteile nicht verändert.
- Das bedeutet, dass weiterhin $T_0 = 0.5 {\,\rm ms}$ gilt.
- Der Gleichanteil verschwindet aufgrund der Differentiation.
- Der Anteil bei $f_1$ ist sinusförmig. Somit hat $X(f)$ einen (imaginären) Dirac bei $f = f_1$, jedoch mit negativem Vorzeichen.
- Der Cosinusanteil mit der Amplitude ${10\,\rm V}$ hat die beiden Diracfunktionen bei $\pm 2.5 \cdot f_1$ zur Folge, jeweils mit dem Gewicht ${5\,\rm V}$ .
