Aufgaben:Aufgabe 2.4Z: Dreiecksignal: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten das mit $T_0$ periodische Signal ${x(t)}$ entsprechend | + | Wir betrachten das mit $T_0$ periodische Signal ${x(t)}$ entsprechend nebenstehender Skizze, wobei für den zweiten Signalparameter $T_1 ≤ T_0/2$ gelten soll. Dieses Signal ist dimensionslos und auf $1$ begrenzt. |
| − | In der Teilaufgabe (3) wird die auf nur $N = 3$ Koeffizienten basierende Fourierreihendarstellung $x_3(t)$ verwendet. | + | In der Teilaufgabe '''(3)''' wird die auf nur $N = 3$ Koeffizienten basierende Fourierreihendarstellung $x_3(t)$ verwendet. |
Die Differenz zwischen der abgebrochenen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signal lautet: | Die Differenz zwischen der abgebrochenen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signal lautet: | ||
:$$\varepsilon_3(t)=x_3(t)-x(t).$$ | :$$\varepsilon_3(t)=x_3(t)-x(t).$$ | ||
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:$$\int u \cdot \cos(au)\,{\rm d}u = \frac{\cos(au)}{a^2} + \frac{u \cdot \sin(au)}{a}.$$ | :$$\int u \cdot \cos(au)\,{\rm d}u = \frac{\cos(au)}{a^2} + \frac{u \cdot \sin(au)}{a}.$$ | ||
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| − | {Welche der folgenden Aussagen treffen für alle zulässigen $T_0$ und $T_1$ zu? | + | {Welche der folgenden Aussagen treffen für alle zulässigen $T_0$ und $T_1$ zu? |
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| − | + Der Gleichanteil beträgt $A_0 = T_1/T_0$. | + | + Der Gleichanteil beträgt $A_0 = T_1/T_0$. |
| − | + Alle Sinuskoeffizienten $B_n$ sind Null. | + | + Alle Sinuskoeffizienten $B_n$ sind Null. |
| − | - Alle Cosinuskoeffizienten $A_n$ mit geradzahligem $n$ sind Null. | + | - Alle Cosinuskoeffizienten $A_n$ mit geradzahligem $n$ sind Null. |
| − | {Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten $A_n$ in allgemeiner Form. Welche Werte ergeben sich für $A_1$, $A_2$ und $A_3$ mit $T_1/T_0 = 0.25$? | + | {Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten $A_n$ in allgemeiner Form. Welche Werte ergeben sich für $A_1$, $A_2$ und $A_3$ mit $T_1/T_0 = 0.25$? |
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| − | $A_1$ | + | $A_1\ = \ $ { 0.405 3% } |
| − | $A_2$ | + | $A_2\ = \ $ { 0.202 3% } |
| − | $A_3$ | + | $A_3\ = \ $ { 0.045 3% } |
| − | {Schreiben Sie die Funktion ${x(t)}$ als Fourierreihe und brechen Sie diese nach $N = 3$ Koeffizienten ab. Wie groß ist der Fehler $\varepsilon_3(t = 0)$? | + | {Schreiben Sie die Funktion ${x(t)}$ als Fourierreihe und brechen Sie diese nach $N = 3$ Koeffizienten ab. Wie groß ist der Fehler $\varepsilon_3(t = 0)$? |
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| − | $\varepsilon_3(t = 0)$ | + | $\varepsilon_3(t = 0)\ = \ $ { -0.11--0.09 } |
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: |
| − | *Der Gleichanteil ist tatsächlich $T_1/T_0$. Da ${x(t)}$ eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$. | + | *Der Gleichanteil ist tatsächlich $T_1/T_0$. Da ${x(t)}$ eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$. |
| − | *Die geradzahligen Cosinuskoeffizienten $A_{2n}$ verschwinden nur dann, wenn $T_1 = T_0/2$ ist. In diesem Fall ist die Bedingung ${x(t)} = 2A_0 | + | *Die geradzahligen Cosinuskoeffizienten $A_{2n}$ verschwinden nur dann, wenn $T_1 = T_0/2$ ist. |
| + | *In diesem Fall ist die Bedingung ${x(t)} = 2A_0 - x(t - T_0/2)$ erfüllt $($mit $A_0 = 0.5)$. | ||
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:$$A_n=2 \cdot \frac{2}{T_0}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}(1-\frac{t}{T_1})\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\, {\rm d}t.$$ | :$$A_n=2 \cdot \frac{2}{T_0}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}(1-\frac{t}{T_1})\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\, {\rm d}t.$$ | ||
| − | Dies führt zu zwei Teilintegralen $I_1$ und $I_2$. Das erste lautet: | + | *Dies führt zu zwei Teilintegralen $I_1$ und $I_2$. Das erste lautet: |
:$$I_1=\frac{4}{T_0} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_0^{T_1}\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{2}{\pi n}\sin(2\pi n\frac{T_1}{T_0}).$$ | :$$I_1=\frac{4}{T_0} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_0^{T_1}\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{2}{\pi n}\sin(2\pi n\frac{T_1}{T_0}).$$ | ||
| − | Für das zweite Integral gilt mit dem Integral auf der Angabenseite: | + | *Für das zweite Integral gilt mit dem Integral auf der Angabenseite: |
:$$I_2=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}t\cdot\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{0.1cm}\left[\frac{T^2_0 \cdot \cos(2\pi nt/T_0)}{4\pi^2n^2}+\frac{T_0 \cdot t \cdot \sin(2\pi nt/T_0)}{2\pi n}\right]^{T_1}_0.$$ | :$$I_2=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}t\cdot\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{0.1cm}\left[\frac{T^2_0 \cdot \cos(2\pi nt/T_0)}{4\pi^2n^2}+\frac{T_0 \cdot t \cdot \sin(2\pi nt/T_0)}{2\pi n}\right]^{T_1}_0.$$ | ||
| − | Dieses letzte Integral kann wie folgt zusammengefasst werden: | + | *Dieses letzte Integral kann wie folgt zusammengefasst werden: |
:$$I_2=\frac{-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2T_1/T_0}+\frac{1}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}-I_1.$$ | :$$I_2=\frac{-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2T_1/T_0}+\frac{1}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}-I_1.$$ | ||
| − | Daraus folgt mit $1 | + | *Daraus folgt mit $1 - \cos(2\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha)$: |
:$$A_n=I_1+I_2=\frac{1-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}=\frac{2\sin^2 (\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}.$$ | :$$A_n=I_1+I_2=\frac{1-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}=\frac{2\sin^2 (\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}.$$ | ||
| − | Für $T_1/T_0 = 0.25$ erhält man: | + | *Für $T_1/T_0 = 0.25$ erhält man: |
:$$A_n=\frac{8\sin^2 (\pi n/4)}{\pi^2 n^2}.$$ | :$$A_n=\frac{8\sin^2 (\pi n/4)}{\pi^2 n^2}.$$ | ||
| − | Insbesondere gilt: | + | *Insbesondere gilt: |
| − | :$$A_1=\frac{8}{\pi^2}\sin^2(\pi/4)=\frac{4}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.405}, | + | :$$A_1=\frac{8}{\pi^2}\sin^2(\pi/4)=\frac{4}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.405},\hspace{0.5cm} |
| − | + | A_2=\frac{2}{\pi^2}\sin^2(\pi/2)=\frac{2}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.202},\hspace{0.5cm} | |
| − | + | A_3=\frac{8}{9\pi^2}\sin^2(3\pi/4)=\frac{4}{9\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.045}.$$ | |
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| − | '''3 | + | '''(3)''' Es gilt: |
:$$x_3(t)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\left[\cos(\omega_0 t)+\frac{1}{2}\cos(2\omega_0 t)+\frac{1}{9}\cos(3\omega_0 t)\right].$$ | :$$x_3(t)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\left[\cos(\omega_0 t)+\frac{1}{2}\cos(2\omega_0 t)+\frac{1}{9}\cos(3\omega_0 t)\right].$$ | ||
| − | Zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich hieraus: | + | *Zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich hieraus: |
:$$x_3(t=0)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\cdot \frac{29}{18}\approx 0.9 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\varepsilon_3(t=0)=x_3(t=0)-x(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1}.$$ | :$$x_3(t=0)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\cdot \frac{29}{18}\approx 0.9 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\varepsilon_3(t=0)=x_3(t=0)-x(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1}.$$ | ||
| − | + | * Für die Zeit $t = 0$ und bei Vielfachen der Periodendauer $T_0$ (jeweils Spitze der Dreiecksfunktionen) ist die Abweichung betragsmäßig am größten. | |
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Aktuelle Version vom 15. April 2021, 13:37 Uhr
Vorgegebenes Dreiecksignal
Wir betrachten das mit $T_0$ periodische Signal ${x(t)}$ entsprechend nebenstehender Skizze, wobei für den zweiten Signalparameter $T_1 ≤ T_0/2$ gelten soll. Dieses Signal ist dimensionslos und auf $1$ begrenzt.
In der Teilaufgabe (3) wird die auf nur $N = 3$ Koeffizienten basierende Fourierreihendarstellung $x_3(t)$ verwendet.
Die Differenz zwischen der abgebrochenen Fourierreihe und dem tatsächlichen Signal lautet:
- $$\varepsilon_3(t)=x_3(t)-x(t).$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fourierreihe.
- Eine kompakte Zusammenfassung der Thematik finden Sie in den beiden Lernvideos
- Zur Lösung der Aufgabe können Sie das folgende bestimmte Integral benutzen $(n$ sei ganzzahlig$)$:
- $$\int u \cdot \cos(au)\,{\rm d}u = \frac{\cos(au)}{a^2} + \frac{u \cdot \sin(au)}{a}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Der Gleichanteil ist tatsächlich $T_1/T_0$. Da ${x(t)}$ eine gerade Funktion ist, sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.
- Die geradzahligen Cosinuskoeffizienten $A_{2n}$ verschwinden nur dann, wenn $T_1 = T_0/2$ ist.
- In diesem Fall ist die Bedingung ${x(t)} = 2A_0 - x(t - T_0/2)$ erfüllt $($mit $A_0 = 0.5)$.
(2) Unter Ausnutzung der Symmetrieeigenschaft ${x(-t)} = {x(t)}$ erhält man:
- $$A_n=2 \cdot \frac{2}{T_0}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}(1-\frac{t}{T_1})\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\, {\rm d}t.$$
- Dies führt zu zwei Teilintegralen $I_1$ und $I_2$. Das erste lautet:
- $$I_1=\frac{4}{T_0} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_0^{T_1}\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{2}{\pi n}\sin(2\pi n\frac{T_1}{T_0}).$$
- Für das zweite Integral gilt mit dem Integral auf der Angabenseite:
- $$I_2=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{-0.1cm}\int_0^{T_1}t\cdot\cos(2\pi n\frac{t}{T_0})\,{\rm d}t=\frac{-4}{T_0\cdot T_1}\cdot \hspace{0.1cm}\left[\frac{T^2_0 \cdot \cos(2\pi nt/T_0)}{4\pi^2n^2}+\frac{T_0 \cdot t \cdot \sin(2\pi nt/T_0)}{2\pi n}\right]^{T_1}_0.$$
- Dieses letzte Integral kann wie folgt zusammengefasst werden:
- $$I_2=\frac{-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2T_1/T_0}+\frac{1}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}-I_1.$$
- Daraus folgt mit $1 - \cos(2\alpha) = 2 \cdot \sin^2(\alpha)$:
- $$A_n=I_1+I_2=\frac{1-\cos(2\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}=\frac{2\sin^2 (\pi nT_1/T_0)}{\pi^2 n^2 T_1/T_0}.$$
- Für $T_1/T_0 = 0.25$ erhält man:
- $$A_n=\frac{8\sin^2 (\pi n/4)}{\pi^2 n^2}.$$
- Insbesondere gilt:
- $$A_1=\frac{8}{\pi^2}\sin^2(\pi/4)=\frac{4}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.405},\hspace{0.5cm} A_2=\frac{2}{\pi^2}\sin^2(\pi/2)=\frac{2}{\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.202},\hspace{0.5cm} A_3=\frac{8}{9\pi^2}\sin^2(3\pi/4)=\frac{4}{9\pi^2}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.045}.$$
(3) Es gilt:
- $$x_3(t)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\left[\cos(\omega_0 t)+\frac{1}{2}\cos(2\omega_0 t)+\frac{1}{9}\cos(3\omega_0 t)\right].$$
- Zum Zeitpunkt $t = 0$ ergibt sich hieraus:
- $$x_3(t=0)=\frac{1}{4}+\frac{4}{\pi^2}\cdot \frac{29}{18}\approx 0.9 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\varepsilon_3(t=0)=x_3(t=0)-x(t=0)\hspace{0.15cm}\underline{=-0.1}.$$
- Für die Zeit $t = 0$ und bei Vielfachen der Periodendauer $T_0$ (jeweils Spitze der Dreiecksfunktionen) ist die Abweichung betragsmäßig am größten.
