Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Spektrum des Dreieckimpulses: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Betrachtet wird ein Dreieckimpuls ${x(t)}$, der im Bereich $–T ≤ t ≤ T$ durch folgende Gleichung beschrieben wird: | + | Betrachtet wird ein Dreieckimpuls ${x(t)}$, der im Bereich $–T ≤ t ≤ T$ durch folgende Gleichung beschrieben wird: |
:$$x(t) = A \cdot \left( {1 - {\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}/{T}} \right).$$ | :$$x(t) = A \cdot \left( {1 - {\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}/{T}} \right).$$ | ||
| − | Die Impulsamplitude sei $A = 1\, \text{V}$, der Zeitparameter $T = 1 \text{ms}$. Für alle Zeiten $| t | > T$ ist ${x(t)} = 0$. | + | Die Impulsamplitude sei $A = 1\, \text{V}$, der Zeitparameter $T = 1 \text{ ms}$. Für alle Zeiten $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ ist ${x(t)} = 0$. |
| − | Zur Berechnung der | + | Zur Berechnung der Spektralfunktion ${X(f)}$ können Sie folgende Eigenschaften ausnutzen: |
* Die Zeitfunktion ist gerade und damit die Spektralfunktion reell: | * Die Zeitfunktion ist gerade und damit die Spektralfunktion reell: | ||
| − | :$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)} \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft} {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{ \infty } {x(t)} \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$ | + | :$$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)} \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft}\ {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{ \infty } {x(t)} \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right)\ {\rm d}t.$$ |
| − | * Für $| t | > T$ besitzt ${x(t)}$ keine Anteile: | + | * Für $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ besitzt ${x(t)}$ keine Anteile: |
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| − | :$$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right){\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }} + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }, | + | :$$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right)\ {\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }} + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }, $$ |
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| − | {Berechnen Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 500 \,\text{Hz}$? | + | {Berechnen Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$. Welcher Spektralwert ergibt sich bei der Frequenz $f = 500 \,\text{Hz}$? |
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| − | $X(f = 500 \,\text{Hz})$ | + | $X(f = 500 \,\text{Hz}) \ = \ $ { 0.405 3% } $\text{mV/Hz}$ |
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| − | $f_0$ | + | $f_0 \ = \ $ { 1 3% } $\text{kHz}$ |
| − | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? |
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| − | + Bei allen Vielfachen von $f_0$ hat das Spektrum Nullstellen. | + | + Bei allen Vielfachen von $f_0$ hat das Spektrum Nullstellen. |
| − | - Bei der Frequenz $f = 1.5 \cdot f_0$ ist die Spektralfunktion negativ. | + | - Bei der Frequenz $f = 1.5 \cdot f_0$ ist die Spektralfunktion negativ. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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:$$X(f) = 2A \cdot \int_0^T {\left( {1 -{t}/{T}} \right)} \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$ | :$$X(f) = 2A \cdot \int_0^T {\left( {1 -{t}/{T}} \right)} \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$ | ||
| − | Dieses Integral setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: | + | *Dieses Integral setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: |
:$$X_1 (f) = 2A \cdot \int_0^T {\cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{2A}{\omega } \cdot \sin \left( {\omega T} \right),$$ | :$$X_1 (f) = 2A \cdot \int_0^T {\cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{2A}{\omega } \cdot \sin \left( {\omega T} \right),$$ | ||
:$$X_2 (f) = - \frac{2A}{T} \cdot \int_0^T {t \cdot \cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = - \frac{2A}{T} \cdot \left. {\left[ {\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}}{\omega ^2 } + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]} \right|_0^T .$$ | :$$X_2 (f) = - \frac{2A}{T} \cdot \int_0^T {t \cdot \cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = - \frac{2A}{T} \cdot \left. {\left[ {\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}}{\omega ^2 } + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]} \right|_0^T .$$ | ||
| − | Unter Berücksichtigung von oberer und unterer Grenze erhält man: | + | *Unter Berücksichtigung von oberer und unterer Grenze erhält man: |
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| − | Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich: | + | *Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich: |
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| − | Bei der Frequenz $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$ ist das Argument der Cosinusfunktion gleich $\pi$ | + | *Bei der Frequenz $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$ ist das Argument der Cosinusfunktion gleich $\pi$ und die Cosinusfunktion selbst gleich $-1$. Daraus folgt: |
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| + | '''(2)''' Mit der trigonometrischen Umformung ${1}/{2} \cdot (1 - \cos (2 \alpha)) = \sin^2(\alpha)$ erhält man für die Spektralfunktion: | ||
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:$$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin^2(\pi f T)}{\pi^2 \cdot {f^2 \cdot T^2}} = A \cdot T \cdot {{{\rm si}^2(\pi f T)}}.$$ | :$$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin^2(\pi f T)}{\pi^2 \cdot {f^2 \cdot T^2}} = A \cdot T \cdot {{{\rm si}^2(\pi f T)}}.$$ | ||
| − | Bei der Frequenz $f = 0$ ist die si-Funktion gleich $1$. Daraus folgt: | + | *Bei der Frequenz $f = 0$ ist die $\rm si$-Funktion gleich $1$. Daraus folgt: |
:$$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm mV/Hz}}.$$ | :$$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm mV/Hz}}.$$ | ||
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| − | *Die | + | *Daraus folgt $f_0 \cdot T = 1$ bzw. $f_0 = 1/T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \ \text{kHz}}$. |
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| + | '''(4)''' Richtig ist die <u>erste Aussage</u>: | ||
| + | *Das Spektrum ${X(f)}$ ist bei Vielfachen von $f_0$ $(f = n \cdot f_0)$ gleich ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$. | ||
| + | * Die zweite Aussage ist falsch: Bei keiner Frequenz $f$ ist ${X(f)} < 0$ (siehe Skizze). | ||
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Aktuelle Version vom 21. April 2021, 14:16 Uhr
Dreieckimpuls
Betrachtet wird ein Dreieckimpuls ${x(t)}$, der im Bereich $–T ≤ t ≤ T$ durch folgende Gleichung beschrieben wird:
- $$x(t) = A \cdot \left( {1 - {\left| \hspace{0.05cm}t \hspace{0.05cm}\right|}/{T}} \right).$$
Die Impulsamplitude sei $A = 1\, \text{V}$, der Zeitparameter $T = 1 \text{ ms}$. Für alle Zeiten $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ ist ${x(t)} = 0$.
Zur Berechnung der Spektralfunktion ${X(f)}$ können Sie folgende Eigenschaften ausnutzen:
- Die Zeitfunktion ist gerade und damit die Spektralfunktion reell:
- $$X\left( f \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)} \cdot {\rm e}^{{\rm j}2\pi ft}\ {\rm d}t = 2 \cdot \int_0^{ \infty } {x(t)} \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right)\ {\rm d}t.$$
- Für $|\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} | > T$ besitzt ${x(t)}$ keine Anteile:
- $$X\left( f \right) = 2 \cdot \int_0^T {x(t)} \cdot \cos \left( {2\pi ft} \right){\rm d}t.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fouriertransformation und –rücktransformation.
- Weitere Informationen zu dieser Thematik liefert das Lernvideo Kontinuierliche und diskrete Spektren.
- Zur Lösung dieser Aufgabe können Sie auf die folgenden Formeln zurückgreifen:
- $$\int {t \cdot \cos \left( {\omega _0 t} \right)\ {\rm d}t = \frac{{\cos \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 ^2 }} + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega _0 t} \right)}}{\omega _0 }, $$
- $$\sin ^2 \left( \alpha \right) = {1}/{2} \cdot \left( {1 - \cos \left( {2\alpha } \right)} \right).$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Unter Ausnutzung der genannten Symmetrieeigenschaften gilt mit der Abkürzung $\omega = 2\pi f$:
- $$X(f) = 2A \cdot \int_0^T {\left( {1 -{t}/{T}} \right)} \cdot \cos \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t.$$
- Dieses Integral setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
- $$X_1 (f) = 2A \cdot \int_0^T {\cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \frac{2A}{\omega } \cdot \sin \left( {\omega T} \right),$$
- $$X_2 (f) = - \frac{2A}{T} \cdot \int_0^T {t \cdot \cos } \left( {\omega t} \right)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = - \frac{2A}{T} \cdot \left. {\left[ {\frac{{\cos \left( {\omega t} \right)}}{\omega ^2 } + \frac{{t \cdot \sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]} \right|_0^T .$$
- Unter Berücksichtigung von oberer und unterer Grenze erhält man:
- $$X_2 \left( f \right) = - \frac{2A}{T} \cdot \left[ {\frac{{\cos \left( {\omega T} \right)}}{\omega ^2 } - \frac{1}{\omega ^2 } + \frac{{T \cdot \sin \left( {\omega T} \right)}}{\omega }} \right].$$
- Addiert man die beiden Anteile, so ergibt sich:
- $$X(f) = \frac{2A}{\omega ^2 \cdot T}\cdot \big[ {1 - \cos \left( {\omega T} \right)} \big] = \frac{A}{2\pi ^2 f^2 T} \cdot \big[ {1 - \cos \left( {2\pi fT} \right)} \big].$$
- Bei der Frequenz $f = 1/(2T) = 500 \,\text{Hz}$ ist das Argument der Cosinusfunktion gleich $\pi$ und die Cosinusfunktion selbst gleich $-1$. Daraus folgt:
- $$X( {f ={1}/{2T} = 500\;{\rm Hz}} ) = \frac{4}{\pi^2} \cdot A \cdot T = \frac{4}{\pi^2} \cdot 1\;{\rm V} \cdot 10^{ - 3}\;{\rm s}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.405 \,{\rm mV/Hz}}.$$
(2) Mit der trigonometrischen Umformung ${1}/{2} \cdot (1 - \cos (2 \alpha)) = \sin^2(\alpha)$ erhält man für die Spektralfunktion:
$\rm si$-Quadrat-Spektrum
- $$X(f) = A \cdot T \cdot \frac{\sin^2(\pi f T)}{\pi^2 \cdot {f^2 \cdot T^2}} = A \cdot T \cdot {{{\rm si}^2(\pi f T)}}.$$
- Bei der Frequenz $f = 0$ ist die $\rm si$-Funktion gleich $1$. Daraus folgt:
- $$X( {f = 0} ) = A \cdot T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\,{\rm mV/Hz}}.$$
(3) Die erste Nullstelle tritt auf, wenn das Argument der $\rm si$-Funktion gleich $\pi$ ist.
- Daraus folgt $f_0 \cdot T = 1$ bzw. $f_0 = 1/T \hspace{0.15 cm}\underline{= 1 \ \text{kHz}}$.
(4) Richtig ist die erste Aussage:
- Das Spektrum ${X(f)}$ ist bei Vielfachen von $f_0$ $(f = n \cdot f_0)$ gleich ${\rm si}^2(n \cdot \pi) = 0$.
- Die zweite Aussage ist falsch: Bei keiner Frequenz $f$ ist ${X(f)} < 0$ (siehe Skizze).
