Signaldarstellung/Analytisches Signal und zugehörige Spektralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition im Frequenzbereich==
 
==Definition im Frequenzbereich==
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Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum&nbsp; $X(f)$,&nbsp; das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt.&nbsp; Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist.
  
Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal $x(t)$ mit dem dazugehörigen BP–Spektrum $X(f)$, das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt. Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ sehr viel größer als die Bandbreite des BP–Signals $x(t)$ ist.
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{{BlaueBox|TEXT= 
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$\text{Definition:}$&nbsp; Das zum physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gehörige&nbsp; $\text{analytische Signal}$&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
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[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png|right|frame|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
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:$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
 +
X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$
  
{{Definition}}
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Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich&nbsp; $+1$&nbsp; und für negative&nbsp; $f$–Werte gleich&nbsp; $-1$.  
Das zum physikalischen Signal $x(t)$ gehörige '''analytische Signal''' $x_+(t)$ ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:
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*Der (beidseitige) Grenzwert liefert&nbsp; $\sign(0) = 0$.  
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*Der Index „+” soll deutlich machen, dass&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
$$X_+(f)=\left[1+{\rm sign}(f)\right] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot
 
X(f) \; \rm f\ddot{u}r\; {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\; {\it f} < 0.}}\right.$$
 
 
 
Die so genannte ''Signumfunktion'' ist dabei für positive Werte von $f$ gleich $+1$ und für negative $f$–Werte gleich $–1$. Der (beidseitige) Grenzwert liefert $\sign(0) = 0$. Der Index „+” soll deutlich machen, dass $X_+(f)$ nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.
 
 
 
{{end}}
 
  
  
[[Datei:Sig_T_4_2_S1a_Version2.png|right|Analytisches Signal im Frequenzbereich]]
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Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für&nbsp; $X_+(f)$:  
  
Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für $X_+(f)$:
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Das tatsächliche Bandpass–Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; wird
 
 
Das tatsächliche BP–Spektrum $X(f)$ wird
 
 
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
 
*bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.
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*bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.}}
 
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[[Datei:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png|right|frame|Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; und Spektrum&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; des analytischen Signals]]
 
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{{GraueBox|TEXT=  
 
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$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{{Beispiel}}
 
  
Das nachfolgende Bild zeigt links das (komplexe) Spektrum $X(f)$ des BP–Signals
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Die Grafik zeigt  
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*links das diskrete und komplexe Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Bandpass–Signals
 
   
 
   
$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
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:$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
  \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
 
  \cdot  {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V}
  \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t).$$
+
  \cdot  {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$
 
 
Rechts daneben ist das Spektrum des dazugehörigen analytischen Signals $x_{+}(t)$ dargestellt.
 
  
[[Datei:P_ID711__Sig_T_4_2_S1b_neu.png|center|Beispielspektrum des analytischen Signals]]
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*rechts das  (ebenfalls diskrete, komplexe)  Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $x_{+}(t)$.
  
{{end}}
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}}
  
  
 
==Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich==
 
==Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich==
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[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png|right|frame|Zur anschaulichen Erklärung des analytischen Signals]]
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Wir betrachten nun das Spektrum&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich&nbsp; $f = 0$&nbsp; geraden  Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; und einen ungeraden Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; auf:
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:$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$
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Alle diese Spektren sind im allgemeinen komplex.
  
[[Datei:Sig_T_4_2_S2a_Version2.png|right|Herleitung des analytischen Signals]]
+
Berücksichtigt man den&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
Wir betrachten nun das Spektrum $X_+(f)$ etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich $f = 0$ geraden und einen ungeraden Anteil auf:
+
*Der gerade Anteil&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; von&nbsp; $X_{+}(f)$&nbsp; führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil&nbsp; $X_{\rm +u}(f)$&nbsp; zu einem imaginären.
:$$X_+(f) = X_{+g}(f) + X_{+u}(f).$$
+
*Es ist offensichtlich, dass&nbsp; $X_{\rm +g}(f)$&nbsp; gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; und damit der Realteil von&nbsp; $x_{\rm +g}(t)$&nbsp; gleich dem vorgegebenen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit Bandpasseigenschaften ist.
Alle diese Spektren sind im Allgemeinen komplex.
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*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit&nbsp; $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
 
 
Berücksichtigt man den [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]] der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:
 
*Der gerade Anteil $X_{\rm +g}(f)$ von $X_{+}(f)$ führt nach der Fouriertransformation zu einem rein reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil $X_{\rm +u}(f)$ zu einem rein imaginären.
 
*Es ist offensichtlich, dass $X_{\rm +g}(f)$ gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum $X(f)$ und damit der Realteil von $x_{\rm +g}(t)$ gleich dem vorgegebenen Signal $x(t)$ mit Bandpasseigenschaften ist.
 
*Bezeichnen wir den Imaginärteil mit $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
 
 
:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
 
:$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]] gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
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*Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatz]]&nbsp; gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
 
:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
 
:$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f)
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
 
\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm
 
sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
 
sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungsoperation]], und man erhält:
+
*Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungsoperation]], und man erhält:
 
:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
 
:$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star
 
\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
 
\hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
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==Darstellung mit der Hilberttransformation==
 
==Darstellung mit der Hilberttransformation==
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An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Folgerungen_aus_dem_Zuordnungssatz#Hilbert.E2.80.93Transformation|Lineare zeitinvariante Systeme]]&nbsp; genauer behandelt wird.
  
An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch [[Lineare_zeitinvariante_Systeme|Lineare zeitinvariante Systeme]] noch eingehend behandelt wird.
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{{BlaueBox|TEXT= 
 
+
$\text{Definition:}$&nbsp; Für die&nbsp; $\text{Hilberttransformierte}$&nbsp; $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; einer Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; gilt:
{{Definition}}
 
Für die '''Hilberttransformierte''' H{ ... } einer Zeitfunktion $x(t)$ gilt:
 
 
   
 
   
$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot
+
:$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot
 
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
 
\hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t -
\tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
+
\tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
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 +
*Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes]&nbsp; ausgewertet werden.
  
Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert Cauchy–Hauptwertsatzes] ausgewertet werden. Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
+
*Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
 
   
 
   
$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$
+
:$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$}}
 
 
{{end}}
 
  
  
 
Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
 
Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:
*Man erhält aus dem realen, physikalischen BP–Signal $x(t)$ das analytische Signal $x_+(t)$, indem man zu $x(t)$ einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
+
*Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$,&nbsp; indem man zu&nbsp; $x(t)$&nbsp; einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
 
   
 
   
 
:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
 
:$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
  
*Die Hilberttransformierte $\text{H}\{x(t)\}$ verschwindet nur für das Gleichsignal $x(t)$ = const. Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal $x_+(t)$ somit stets komplex.
+
*Die Hilberttransformierte&nbsp; $\text{H}\{x(t)\}$&nbsp; verschwindet nur für den Fall&nbsp;  $x(t) = \rm const.$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Gleichsignal.&nbsp;  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; somit stets komplex.
*Aus dem analytischen Signal $x_+(t)$ kann das reale BP–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
+
*Aus dem analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; kann das physikalisch Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
 
:$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
 
:$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$
  
Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die untere Grafik nochmals verdeutlicht. Nach der linken Darstellung '''(A)''' kommt man vom physikalischen Signal $x(t)$ zum analytischen Signal $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil ${\rm j} \cdot y(t)$ hinzufügt. Hierbei ist $y(t)$ = H[$x(t)$] eine reelle Zeitfunktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch die Multiplikation des Spektrums $X(f)$ mit $-{\rm j} \cdot \sign(f)$ angeben lässt.
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{{GraueBox|TEXT= 
 
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$\text{Beispiel 2:}$&nbsp; Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:
[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|center|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
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*Nach der linken Darstellung&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; kommt man vom physikalischen Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; zum analytischen Signal&nbsp; $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil&nbsp; ${\rm j} \cdot y(t)$&nbsp; hinzufügt.  
 
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*$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$&nbsp; ist eine reelle Funktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; mit&nbsp; $- {\rm j} \cdot \sign(f)$&nbsp; angeben lässt.
Die rechte Darstellung '''(B)''' ist äquivalent zu '''(A)'''. Nun gilt $x_+(t) = x(t) + z(t)$ mit der rein imaginären Funktion $z(t)$. Ein Vergleich der beiden Bilder zeigt, dass tatsächlich $z(t) = {\rm j} \cdot y(t)$ ist.
 
  
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[[Datei:P_ID2729__Sig_T_4_2_S2b_neu.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten]]
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Die rechte Darstellung&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ist äquivalent zu&nbsp; $\rm (A)$:
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*Mit der imaginären Funktion&nbsp; $z(t)$&nbsp; erhält man:
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:$$x_+(t) = x(t) + z(t).$$
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*Ein Vergleich beider Darstellungen zeigt, dass tatsächlich gilt:
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:$$z(t) = {\rm j} \cdot y(t).$$}}
  
 
==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==
 
==Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung==
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Die Spektralfunktion&nbsp; $X(f)$&nbsp; einer harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$&nbsp; besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
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* $+f_{\rm T}$&nbsp; mit dem komplexen Gewicht&nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
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* $-f_{\rm T}$&nbsp; mit dem komplexen Gewicht&nbsp; $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
  
Die Spektralfunktion $X(f)$ einer harmonischen Schwingung $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_Tt - \varphi)$ besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen
 
* $+f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
 
* $-f_{\rm T}$ mit dem komplexen Gewicht $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.
 
  
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Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals&nbsp; $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz&nbsp; $f =-f_{\rm T})$:
  
Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals:
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:$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
 
 
$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm
 
 
T}) .$$
 
T}) .$$
 
   
 
   
Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:
+
Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]]:
 
   
 
   
$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
+
:$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t
 
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
 
\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$
  
Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$ drehenden Zeiger. Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um 90° nach links gedreht (Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
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Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit&nbsp; $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$&nbsp; drehenden Zeiger.&nbsp;
  
[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|center|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]
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Im Folgenden bezeichnen wir den zeitlichen Verlauf eines analytischen und frequenzdikreten Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; auch als&nbsp; $\text{Zeigerdiagramm}$.
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{{GraueBox|TEXT= 
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$\text{Beispiel 3:}$&nbsp; Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um&nbsp; $90^\circ$&nbsp; nach links gedreht <br>(Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).
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[[Datei:P_ID712__Sig_T_4_2_S3.png|right|frame|Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung]]
  
 
Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
 
Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:
*Zum Startzeitpunkt $t = 0$ liegt der Zeiger der Länge $A$ (Signalamplitude) mit dem Winkel $-\varphi$ in der komplexen Ebene. Im gezeichneten Beispiel gilt $\varphi$ = 45°.
+
*Zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; liegt der Zeiger der Länge&nbsp; $A$&nbsp; (Amplitude) mit dem Winkel&nbsp; $-\varphi$&nbsp; in der komplexen Ebene.&nbsp; Im gezeichneten Beispiel gilt&nbsp; $\varphi = 45^\circ$.
*Für Zeiten $t > 0$ dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) $\omega_{\rm T}$ in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
+
*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)&nbsp; $\omega_{\rm T}$&nbsp; in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius $A$ und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung $x(t)$.
+
*Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius&nbsp; $A$&nbsp; und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit&nbsp; $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung&nbsp; $x(t)$.
*Die Projektion des analytischen Signals $x_+(t)$ auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von $x(t)$.
+
*Die Projektion des analytischen Signals&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von&nbsp; $x(t)$.}}
  
  
  
 
==Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen==
 
==Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen==
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Für die weitere Beschreibung gehen wir  für das analytische Signal von folgendem diskretem Spektrum aus:
  
Für die weitere Beschreibung gehen wir  für das analytische Signal von folgendem Spektrum aus:
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[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png|right|frame|Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei harmonischen Schwingungen]]
 
   
 
   
$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}
+
:$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}
 
\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
 
\varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$
  
Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel $I = 3$. Wählt man $I$ relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung aber auch kontinuierliche Spektralfunktionen angenähert werden.
+
Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel&nbsp; $I = 3$. Wählt man&nbsp; $I$&nbsp; relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz&ndash;) kontinuierliche Spektralfunktionen&nbsp; $X_+(f)$&nbsp; angenähert werden.
 
 
[[Datei:P_ID715__Sig_T_4_2_S4.png|center|Zeigerdiagramm mehrerer Schwingungen]]
 
  
 
Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:
 
Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:
 
   
 
   
$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}(\omega_i
+
:$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i
\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
+
\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$
  
Zu dieser Grafik ist Folgendes anzumerken:
+
Zu dieser Grafik anzumerken:
*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt $t = 0$ entsprechend den Amplituden $A_i$ und Phasenlagen $\varphi_i$.
+
*Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; entsprechend den Amplituden&nbsp; $A_i$&nbsp; und den Phasenlagen&nbsp; $\varphi_i$.
*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert. Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt $t = 0$:
+
*Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert.&nbsp; Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
:$$x_+(t) = 1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ)+ 2 +1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
+
:$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1  \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
*Für Zeiten $t$ > 0 drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten $\omega_i = 2\pi f_i$. Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
+
*Für Zeiten&nbsp; $t > 0$&nbsp; drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten&nbsp; $\omega_i = 2\pi f_i$.&nbsp; Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger $x_+(t)$ tendenziell in diese Richtung bewegen. Zum Zeitpunkt $t = 1\,\text {μs}$ liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die angegebenen Parameterwerte bei
+
*Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; tendenziell in diese Richtung bewegen.&nbsp; Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1\,&micro;\text {s}$&nbsp; liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}\mu s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
+
:$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}&micro; s}) & =  1 \cdot {\rm e}^{-{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm
 
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40
 
j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40
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\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm
 
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1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$
 
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*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen harmonischen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.
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*Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.
  
  
Das Interaktionsmodul [[Zeigerdiagramm – Darstellung des analytischen Signals]] zeigt $x_+(t)$ für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.
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Das interaktive Applet&nbsp; [[Applets:Physikalisches_Signal_%26_Analytisches_Signal|Physikalisches Signal & Analytisches Signal]]&nbsp; verdeutlicht&nbsp; $x_+(t)$&nbsp; für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.
  
  
 
==Aufgaben zum Kapitel==
 
==Aufgaben zum Kapitel==
[[Aufgaben:4.3 Zeigerdiagrammdarstellung|Aufgabe 4.3:&nbsp; Zeigerdiagrammdarstellung]]
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[[Aufgaben:Aufgabe_4.3:_Zeigerdiagrammdarstellung|Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung]]
  
[[Aufgaben:4.3Z Hilbert-Transformator|Zusatzaufgabe 4.3Z:&nbsp; Hilbert-Transformator]]
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[[Aufgaben:Aufgabe_4.3Z:_Hilbert-Transformator|Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator]]
  
[[Aufgaben:4.4 Zeigerdiagramm beim ZSB-AM|Aufgabe 4.4:&nbsp; Zeigerdiagramm bei ZSB-AM]]
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[[Aufgaben:Aufgabe_4.4:_Zeigerdiagramm_bei_ZSB-AM|Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM]]
  
[[Aufgaben:4.4Z Zeigerdiagramm bei ESB-AM|Zusatzaufgabe 4.4Z:&nbsp; Zeigerdiagramm bei ESB-AM]]
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[[Aufgaben:Aufgabe_4.4Z:_Zeigerdiagramm_bei_ESB-AM|Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM]]
  
 
    
 
    

Aktuelle Version vom 6. Mai 2021, 11:53 Uhr

Definition im Frequenzbereich


Wir betrachten ein reelles bandpassartiges Signal  $x(t)$  mit dem dazugehörigen Bandpass–Spektrum  $X(f)$,  das bezüglich des Frequenznullpunktes einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt.  Es wird vorausgesetzt, dass die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  sehr viel größer als die Bandbreite des Bandpass–Signals  $x(t)$  ist.

$\text{Definition:}$  Das zum physikalischen Signal  $x(t)$  gehörige  $\text{analytische Signal}$  $x_+(t)$  ist diejenige Zeitfunktion, deren Spektrum folgende Eigenschaft erfüllt:

Analytisches Signal im Frequenzbereich
$$X_+(f)=\big[1+{\rm sign}(f)\big] \cdot X(f) = \left\{ {2 \cdot X(f) \; \hspace{0.2cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} > 0, \atop {\,\,\,\, \rm 0 \; \hspace{0.9cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} {\it f} < 0.} }\right.$$

Die so genannte $\text{Signumfunktion}$ ist dabei für positive Frequenzwerte gleich  $+1$  und für negative  $f$–Werte gleich  $-1$.

  • Der (beidseitige) Grenzwert liefert  $\sign(0) = 0$.
  • Der Index „+” soll deutlich machen, dass  $X_+(f)$  nur Anteile bei positiven Frequenzen besitzt.


Aus der Grafik erkennt man die Berechnungsvorschrift für  $X_+(f)$:

Das tatsächliche Bandpass–Spektrum  $X(f)$  wird

  • bei den positiven Frequenzen verdoppelt, und
  • bei den negativen Frequenzen zu Null gesetzt.


Spektrum  $X(f)$  und Spektrum  $X_{+}(f)$  des analytischen Signals

$\text{Beispiel 1:}$ 

Die Grafik zeigt

  • links das diskrete und komplexe Spektrum  $X(f)$  des Bandpass–Signals
$$x(t) = 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\cos} ( 2 \pi f_{\rm u} \hspace{0.03cm}t) + 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\sin} ( 2 \pi f_{\rm o} \hspace{0.03cm}t),$$
  • rechts das (ebenfalls diskrete, komplexe) Spektrum des analytischen Signals  $x_{+}(t)$.


Allgemeingültige Berechnungsvorschrift im Zeitbereich


Zur anschaulichen Erklärung des analytischen Signals

Wir betrachten nun das Spektrum  $X_+(f)$  des analytischen Signals etwas genauer und teilen dieses in einen bezüglich  $f = 0$  geraden Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  und einen ungeraden Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  auf:

$$X_+(f) = X_{\rm +g}(f) + X_{\rm +u}(f).$$

Alle diese Spektren sind im allgemeinen komplex.

Berücksichtigt man den  Zuordnungssatz  der Fouriertransformation, so sind anhand der Grafik folgende Aussagen möglich:

  • Der gerade Anteil  $X_{\rm +g}(f)$  von  $X_{+}(f)$  führt nach der Fouriertransformation zu einem reellen Zeitsignal, der ungerade Anteil  $X_{\rm +u}(f)$  zu einem imaginären.
  • Es ist offensichtlich, dass  $X_{\rm +g}(f)$  gleich dem tatsächlichen Fourierspektrum  $X(f)$  und damit der Realteil von  $x_{\rm +g}(t)$  gleich dem vorgegebenen Signal  $x(t)$  mit Bandpasseigenschaften ist.
  • Bezeichnen wir den Imaginärteil mit  $y(t)$, so lautet das analytische Signal:
$$x_+(t)= x(t) + {\rm j} \cdot y(t) .$$
  • Nach den allgemein gültigen Gesetzen der Fouriertransformation entsprechend dem  Zuordnungssatz  gilt somit für die Spektralfunktion des Imaginärteils:
$${\rm j} \cdot Y(f) = X_{\rm +u}(f)= {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}Y(f) = \frac{{\rm sign}(f)}{ {\rm j}}\cdot X(f).$$
  • Transformiert man diese Gleichung in den Zeitbereich, so wird aus der Multiplikation die  Faltungsoperation, und man erhält:
$$y(t) = \frac{1}{ {\rm \pi} t} \hspace{0.05cm}\star \hspace{0.05cm}x(t) = \frac{1}{ {\rm \pi}} \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau}}\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$

Darstellung mit der Hilberttransformation


An dieser Stelle ist es erforderlich, kurz auf eine weitere Spektraltransformation einzugehen, die im Buch  Lineare zeitinvariante Systeme  genauer behandelt wird.

$\text{Definition:}$  Für die  $\text{Hilberttransformierte}$  $ {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  einer Zeitfunktion  $x(t)$  gilt:

$$y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\} = \frac{1}{ {\rm \pi} } \cdot \hspace{0.03cm}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x(\tau)}{ {t - \tau} }\hspace{0.15cm} {\rm d}\tau.$$
  • Dieses bestimmte Integral ist nicht auf einfache, herkömmliche Art lösbar, sondern muss mit Hilfe des  Cauchy–Hauptwertsatzes  ausgewertet werden.
  • Entsprechend gilt im Frequenzbereich:
$$Y(f) = - {\rm j} \cdot {\rm sign}(f) \cdot X(f) \hspace{0.05cm} .$$


Das Ergebnis der letzten Seite lässt sich mit dieser Definition wie folgt zusammenfassen:

  • Man erhält aus dem realen, physikalischen Bandpass–Signal  $x(t)$  das analytische Signal  $x_+(t)$,  indem man zu  $x(t)$  einen Imaginärteil entsprechend der Hilberttransformierten hinzufügt:
$$x_+(t) = x(t)+{\rm j} \cdot {\rm H}\left\{x(t)\right\} .$$
  • Die Hilberttransformierte  $\text{H}\{x(t)\}$  verschwindet nur für den Fall  $x(t) = \rm const.$   ⇒   Gleichsignal.  Bei allen anderen Signalformen ist das analytische Signal  $x_+(t)$  somit stets komplex.
  • Aus dem analytischen Signal  $x_+(t)$  kann das physikalisch Bandpass–Signal in einfacher Weise durch Realteilbildung ermittelt werden:
$$x(t) = {\rm Re}\left\{x_+(t)\right\} .$$

$\text{Beispiel 2:}$  Das Prinzip der Hilbert–Transformation wird durch die folgende Grafik nochmals verdeutlicht:

  • Nach der linken Darstellung  $\rm (A)$  kommt man vom physikalischen Signal  $x(t)$  zum analytischen Signal  $x_+(t)$, indem man einen Imaginärteil  ${\rm j} \cdot y(t)$  hinzufügt.
  • $y(t) = {\rm H}\left\{x(t)\right\}$  ist eine reelle Funktion, die sich am einfachsten im Spektralbereich durch Multiplikation des Spektrums  $X(f)$  mit  $- {\rm j} \cdot \sign(f)$  angeben lässt.
Zur Verdeutlichung der Hilbert–Transformierten




Die rechte Darstellung  $\rm (B)$  ist äquivalent zu  $\rm (A)$:

  • Mit der imaginären Funktion  $z(t)$  erhält man:
$$x_+(t) = x(t) + z(t).$$
  • Ein Vergleich beider Darstellungen zeigt, dass tatsächlich gilt:
$$z(t) = {\rm j} \cdot y(t).$$

Zeigerdiagrammdarstellung der harmonischen Schwingung


Die Spektralfunktion  $X(f)$  einer harmonischen Schwingung  $x(t) = A \cdot \text{cos}(2\pi f_{\rm T}t - \varphi)$  besteht bekanntlich aus zwei Diracfunktionen bei den Frequenzen

  • $+f_{\rm T}$  mit dem komplexen Gewicht  $A/2 \cdot \text{e}^{-\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$,
  • $-f_{\rm T}$  mit dem komplexen Gewicht  $A/2 \cdot \text{e}^{+\text{j}\hspace{0.05cm}\varphi}$.


Somit lautet das Spektrum des analytischen Signals  $($also ohne die Diracfunktion bei der Frequenz  $f =-f_{\rm T})$:

$$X_+(f) = A \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\varphi}\cdot\delta (f - f_{\rm T}) .$$

Die dazugehörige Zeitfunktion erhält man durch Anwendung des  Verschiebungssatzes:

$$x_+(t) = A \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm} {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}( 2 \pi f_{\rm T} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi)}.$$

Diese Gleichung beschreibt einen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  $\omega_{\rm T} = 2\pi f_{\rm T}$  drehenden Zeiger. 

Im Folgenden bezeichnen wir den zeitlichen Verlauf eines analytischen und frequenzdikreten Signals  $x_+(t)$  auch als  $\text{Zeigerdiagramm}$.

$\text{Beispiel 3:}$  Aus Darstellungsgründen ist in der folgenden Grafik das Koordinatensystem entgegen der üblichen Darstellung um  $90^\circ$  nach links gedreht
(Realteil nach oben, Imaginärteil nach links).

Zeigerdiagramm einer harmonischen Schwingung

Anhand dieser Grafik sind folgende Aussagen möglich:

  • Zum Startzeitpunkt  $t = 0$  liegt der Zeiger der Länge  $A$  (Amplitude) mit dem Winkel  $-\varphi$  in der komplexen Ebene.  Im gezeichneten Beispiel gilt  $\varphi = 45^\circ$.
  • Für Zeiten  $t > 0$  dreht der Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz)  $\omega_{\rm T}$  in mathematisch positiver Richtung, das heißt entgegen dem Uhrzeigersinn.
  • Die Spitze des Zeigers liegt somit stets auf einem Kreis mit Radius  $A$  und benötigt für eine Umdrehung genau die Zeit  $T_0$, also die Periodendauer der harmonischen Schwingung  $x(t)$.
  • Die Projektion des analytischen Signals  $x_+(t)$  auf die reelle Achse, durch rote Punkte markiert, liefert die Augenblickswerte von  $x(t)$.


Zeigerdiagramm einer Summe harmonischer Schwingungen


Für die weitere Beschreibung gehen wir für das analytische Signal von folgendem diskretem Spektrum aus:

Zeigerdiagramm eines Verbundes aus drei harmonischen Schwingungen
$$X_+(f) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \varphi_i}\cdot\delta (f - f_{i}) .$$

Das linke Bild zeigt ein solches Spektrum für das Beispiel  $I = 3$. Wählt man  $I$  relativ groß und den Abstand zwischen benachbarten Spektrallinien entsprechend klein, so können mit obiger Gleichung auch (frequenz–) kontinuierliche Spektralfunktionen  $X_+(f)$  angenähert werden.

Im rechten Bild ist die dazugehörige Zeitfunktion angedeutet. Diese lautet allgemein:

$$x_+(t) = \sum_{i=1}^{I}A_i \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}(\omega_i \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} \varphi_i)}.$$

Zu dieser Grafik anzumerken:

  • Die Skizze zeigt die Ausgangslage der Zeiger zum Startzeitpunkt  $t = 0$  entsprechend den Amplituden  $A_i$  und den Phasenlagen  $\varphi_i$.
  • Die Spitze des resultierenden Zeigerverbundes ist durch das violette Kreuz markiert.  Man erhält durch vektorielle Addition der drei Einzelzeiger für den Zeitpunkt  $t = 0$:
$$x_+(t= 0) = \big [1 \cdot \cos(60^\circ) - 1 \cdot {\rm j} \cdot \sin(60^\circ) \big ]+ 2 \cdot \cos(0^\circ)+1 \cdot \cos(180^\circ) = 1.500 - {\rm j} \cdot 0.866.$$
  • Für Zeiten  $t > 0$  drehen die drei Zeiger mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten  $\omega_i = 2\pi f_i$.  Der rote Zeiger dreht schneller als der grüne, aber langsamer als der blaue Zeiger.
  • Da alle Zeiger entgegen dem Uhrzeigersinn drehen, wird sich auch der resultierende Zeiger  $x_+(t)$  tendenziell in diese Richtung bewegen.  Zum Zeitpunkt  $t = 1\,µ\text {s}$  liegt die Spitze des resultierenen Zeigers für die gegebenen Parameterwerte bei
$$ \begin{align*}x_+(t = 1 {\rm \hspace{0.05cm}µ s}) & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}60^\circ}\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}40 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}50 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.1cm}60 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.1cm} 0.001} = \\ & = 1 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}45.6^\circ} + 2\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}18^\circ}- 1\cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}21.6^\circ} \approx 1.673- {\rm j} \cdot 0.464.\end{align*}$$
  • Die resultierende Zeigerspitze liegt nun aber nicht wie bei einer einzigen Schwingung auf einem Kreis, sondern es entsteht eine komplizierte geometrische Figur.


Das interaktive Applet  Physikalisches Signal & Analytisches Signal  verdeutlicht  $x_+(t)$  für die Summe dreier harmonischer Schwingungen.


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 4.3: Zeigerdiagrammdarstellung

Aufgabe 4.3Z: Hilbert-Transformator

Aufgabe 4.4: Zeigerdiagramm bei ZSB-AM

Aufgabe 4.4Z: Zeigerdiagramm bei ESB-AM