Aufgaben:Aufgabe 5.3Z: Realisierung einer PN–Sequenz: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung: $u_ν | + | Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung: $u_ν ∈ \{0, 1\}$. |
| − | $$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm} | + | *Der obere Generator mit den Koeffizienten |
| − | wird durch die Oktalkennung $(g_3, g_2, g_1, g_0)_{oktal} = (15)$ bezeichnet | + | :$$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$ |
| + | :wird durch die Oktalkennung $(g_3,\ g_2,\ g_1,\ g_0)_{\rm oktal} = (15)$ bezeichnet. | ||
| − | + | *Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich $(17)$. | |
| − | + | *Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge $〈u_ν〉$ gilt: | |
| + | :$$P = 2^G – 1.$$ | ||
| + | :Hierbei bezeichnet $G$ den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist. | ||
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| − | + | Hinweise: | |
| − | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Spreizfolgen_für_CDMA|Spreizfolgen für CDMA]]. | |
| − | + | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erzeugung_von_diskreten_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen |Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen]] im Buch „Stochastische Signaltheorie”. | |
| + | * Wir möchten Sie gerne auch auf das Lernvideo [[Erläuterung_der_PN–Generatoren_an_einem_Beispiel_(Lernvideo)|"Erläuterung der PN–Generatoren an einem Beispiel"]] hinweisen. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Wie groß ist der Grad der PN–Generatoren? | + | {Wie groß ist der Grad $G$ der beiden hier betrachteten PN–Generatoren? |
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| − | $G$ | + | $G \ = \ $ { 3 } |
| − | {Geben Sie die Periodenlänge des PN–Generators $(15) | + | {Geben Sie die Periodenlänge $P$ des PN–Generators mit der Oktalkennung $(15)$ an. |
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| − | $P$ | + | $P\ = \ $ { 7 } |
| − | {Welche der | + | {Welche der folgenden Aussagen treffen für jede M–Sequenz zu? |
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- Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich. | - Die Anzahl der Nullen und Einsen ist gleich. | ||
+ In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen. | + In jeder Periode gibt es eine Eins mehr als Nullen. | ||
| − | + Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist G. | + | + Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $G$. |
| − | + Die Folge 1 0 1 0 1 0 ... | + | + Die Folge $1 0 1 0 1 0$ ... ist nicht möglich. |
| − | {Geben Sie die Periodenlänge des | + | {Geben Sie die Periodenlänge $P$ des PN–Generators mit der Oktalkennung $(17)$ an. |
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| − | $P$ | + | $P\ = \ $ { 1 } |
{Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz? | {Welcher PN–Generator liefert eine M–Sequenz? | ||
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| − | + Generator | + | + Der Generator mit der Oktalkennung $(15)$. |
| − | - Generator | + | - Der Generator mit der Oktalkennung $(17)$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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| − | '''1 | + | '''(1)''' Der Grad $\underline{G = 3}$ ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters. |
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| + | '''(2)''' Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge $\underline{P = 7}$ ablesbar. Wegen $P = 2^G –1$ handelt es sich um eine M–Sequenz. | ||
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| + | '''(3)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 3 und 4</u>: | ||
| + | *Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $G$ (nämlich immer dann, wenn in allen $G$ Speicherzellen eine Eins steht). | ||
| + | *Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden). | ||
| + | *Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen. | ||
| + | *Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt $P = 2$. Bei einer M–Sequenz gilt $P = 2^G –1$. Für keinen Wert von $G$ ist $P = 2$ möglich. | ||
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| − | + | '''(4)''' Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator mit der Oktalkennung $(17)$ wieder eine $1$: | |
| + | :$$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils $1$ sein ⇒ $\underline{P = 1}$. | ||
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| − | '''5 | + | '''(5)''' Richtig ist die <u>Antwort 1</u>: |
| + | *Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn $P = 2^G –1$ gilt. | ||
| + | *„M” steht hierbei für „Maximal”. | ||
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Aktuelle Version vom 13. Dezember 2021, 15:00 Uhr
Zwei Realisierungen für PN–Generatoren
Die Grafik zeigt zwei mögliche Generatoren zur Erzeugung von PN–Sequenzen in unipolarer Darstellung: $u_ν ∈ \{0, 1\}$.
- Der obere Generator mit den Koeffizienten
- $$ g_0 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_1 = 0 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_2 = 1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}g_3 = 1 \hspace{0.05cm}$$
- wird durch die Oktalkennung $(g_3,\ g_2,\ g_1,\ g_0)_{\rm oktal} = (15)$ bezeichnet.
- Entsprechend ist die Oktalkennung des zweiten PN–Generators gleich $(17)$.
- Man spricht von einer M–Sequenz, wenn für die Periodenlänge der Folge $〈u_ν〉$ gilt:
- $$P = 2^G – 1.$$
- Hierbei bezeichnet $G$ den Grad des Schieberegisters, der gleich der Anzahl der Speicherzellen ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Spreizfolgen für CDMA.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Erzeugung von diskreten Zufallsgrößen im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
- Wir möchten Sie gerne auch auf das Lernvideo "Erläuterung der PN–Generatoren an einem Beispiel" hinweisen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der Grad $\underline{G = 3}$ ist gleich der Anzahl der Speicherzellen des Schieberegisters.
(2) Aus der angegebenen Folge ist die Periodenlänge $\underline{P = 7}$ ablesbar. Wegen $P = 2^G –1$ handelt es sich um eine M–Sequenz.
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 4:
- Die maximale Anzahl aufeinander folgender Einsen ist $G$ (nämlich immer dann, wenn in allen $G$ Speicherzellen eine Eins steht).
- Es ist dagegen nicht möglich, dass alle Speicherzellen mit Nullen belegt sind (da sonst nur noch Nullen erzeugt würden).
- Deshalb gibt es stets eine Eins mehr als Nullen.
- Die Periodenlänge der letzten Folge beträgt $P = 2$. Bei einer M–Sequenz gilt $P = 2^G –1$. Für keinen Wert von $G$ ist $P = 2$ möglich.
(4) Sind alle Speicherzellen mit Einsen belegt, so liefert der Generator mit der Oktalkennung $(17)$ wieder eine $1$:
- $$u_{\nu} \big [ u_{\nu-1} + u_{\nu-2} + u_{\nu-3} \big ] \,\,{\rm mod} \,\,2 =1 \hspace{0.05cm}.$$
- Da sich so an der Speicherbelegung nichts ändert, werden auch alle weiteren erzeugten Binärwerte jeweils $1$ sein ⇒ $\underline{P = 1}$.
(5) Richtig ist die Antwort 1:
- Von einer M–Sequenz spricht man nur dann, wenn $P = 2^G –1$ gilt.
- „M” steht hierbei für „Maximal”.
