Aufgaben:Aufgabe 1.5: Idealer rechteckförmiger Tiefpass: Unterschied zwischen den Versionen

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{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}
 
{{quiz-Header|Buchseite=Lineare zeitinvariante Systeme/Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen}}
  
[[Datei:P_ID852__LZI_A_1_5.png|right|Tabelle mit Werten der si– und der Si–Funktion]]
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[[Datei:P_ID852__LZI_A_1_5.png|right|frame|Tabelle mit Werten der  $\rm si$–Funktion und der  $\rm Si$–Funktion]]
Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt, der
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Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt,
*alle Frequenzen $f < 5 \ \rm kHz$ unverfälscht durchlässt  &nbsp; ⇒  &nbsp; $H(f) = 1$,  
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*der alle Frequenzen&nbsp; $f < 5 \ \rm kHz$&nbsp; unverfälscht durchlässt  &nbsp; ⇒  &nbsp; $H(f) = 1$,  
*alle Spektralanteile über $5 \ \rm kHz$ vollständig unterdrückt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $H(f) = 0$.  
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*und alle Spektralanteile über&nbsp; $5 \ \rm kHz$&nbsp; vollständig unterdrückt  &nbsp; ⇒  &nbsp;  $H(f) = 0$.  
  
  
Exakt bei der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$ ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich $1/2$.  
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Exakt bei der Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$&nbsp; ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich&nbsp; $1/2$.  
  
 
An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt:  
 
An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt:  
*ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen Diracimpuls angenähert werden kann:  
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*ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen &bdquo;Dirac&rdquo; angenähert werden kann:  
 
:$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$
 
:$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$
*ein Diracpuls im Zeitabstand $T_{\rm A}$:  
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*ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand&nbsp; $T_{\rm A}$:  
 
:$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$
 
:$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$
:wobei das zugehörige Spektrum mit $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$ lautet:  
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:wobei das zugehörige Spektrum mit&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$&nbsp; lautet:  
 
:$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$
 
:$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$
*eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt $t = 0$:  
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*eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$:  
$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0  \\  5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\  \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t  < 0,}  \\{ t  = 0,}  \\
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:$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0  \\  5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\  \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c}  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\  {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t  < 0,}  \\{ t  = 0,}  \\
 
{ t  > 0,}  \\ \end{array}$$
 
{ t  > 0,}  \\ \end{array}$$
*ein si–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer $T$:  
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*ein&nbsp; $\rm si$–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer&nbsp; $T$:  
:$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) .$$
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:$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$
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''Hinweise:''  
 
''Hinweise:''  
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]].  
*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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*In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion''&nbsp; ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion''&nbsp; ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet:  
*In der Tabelle sind die Funktionswerte der ''Spaltfunktion'' ${\rm si}(πx)$ und der ''Integralsinusfunktion'' ${\rm Si}(πx)$ aufgelistet:  
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:$${\rm Si}(\pi  x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi  \xi  )}  \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$
:$${\rm Si}(\pi  x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi  \xi  )}  \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi .$$
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<quiz display=simple>
 
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{Welches Ausgangssignal $y_1(t)$ ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten $t = 0$ und $t = 50 \ μ \rm s$?  
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{Welches Ausgangssignal&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls&nbsp; $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten&nbsp; $t = 0$&nbsp; und&nbsp; $t = 50 \ \rm &micro; s$?  
 
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$y_1(t = 0) \ =$ { 10 3% } &nbsp;$\rm V$
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$y_1(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\rm V$
$y_1(t = 50 {\: \rm \mu s}) =$ { 6.37 3%  } &nbsp;$\rm V$
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$y_1(t = 50 {\: \rm &micro; s}) \ = \ $ { 6.37 3%  } &nbsp;$\rm V$
  
  
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls $x_2(t)$ anliegt und $T_{\rm A} = 200 \ μ \rm s$ gilt. Welcher Signalwert tritt bei $t = 0$ auf?  
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{Wie lautet das Ausgangssignal&nbsp; $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls&nbsp; $x_2(t)$&nbsp; anliegt und&nbsp; $T_{\rm A} = 200 \ &micro;  \rm s$&nbsp; gilt. Welcher Signalwert tritt bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf?  
 
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$T_{\rm A} = {\rm 200 \: \mu s} : y_2(t = 0) \ =$ { 10 3% } &nbsp;$\rm V$
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$y_2(t = 0)   \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\rm V$
  
  
{Welche Werte $y_2(t = 0)$ ergeben sich mit $T_{\rm A} = 199 \ μ \rm s$ bzw. $T_{\rm A} = 201 \ μ \rm s$?  
+
{Welche Werte&nbsp; $y_2(t = 0)$&nbsp; ergeben sich mit&nbsp; $T_{\rm A} = 199 \ \rm &micro; s$&nbsp; bzw.&nbsp; $T_{\rm A} = 201 \ \rm &micro; s$?  
 
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$T_{\rm A} = {\rm 199 \: \mu s} : y_2(t = 0) =$ { 5.025 3% } &nbsp;$\rm V$
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$T_{\rm A} = 199 \  {\rm &micro; s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0)   \ = \ $ { 5.025 3% } &nbsp;$\rm V$
$T_{\rm A} = {\rm 201 \: \mu s} : y_2(t = 0) =$ { 14.925 3%  } &nbsp;$\rm V$
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$T_{\rm A} = 201 \  {\rm &micro; s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0)   \ = \ $ { 14.925 3%  } &nbsp;$\rm V$
  
  
{Geben Sie das Ausgangssignal $y_3(t)$ für die Sprungfunktion $x_3(t)$ mit Endwert $10 \ \rm V$ an. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = 0$  auf?  
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{Geben Sie das Ausgangssignal&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; für die Sprungfunktion&nbsp; $x_3(t)$&nbsp; mit Endwert&nbsp; $10 \ \rm V$&nbsp; an. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf?  
 
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$y_3(t = 0) \ =$ { 5 3% } &nbsp;$\rm V$
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$y_3(t = 0) \ = \ $ { 5 3% } &nbsp;$\rm V$
  
  
{Zu welcher Zeit $t_{\rm max}$ ist $y_3(t)$ maximal? Wie groß ist der Maximalwert?  
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{Zu welcher Zeit&nbsp; $t_{\rm max}$&nbsp; ist&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; maximal? Wie groß ist der Maximalwert?  
 
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$t_{\rm max} \ =$ { 100 3% } &nbsp;$\rm \mu s$
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$t_{\rm max} \ = \ $ { 100 3% } &nbsp;$\rm &micro; s$
$y_3(t_{\rm max}) \ =$ { 10.895 3% } &nbsp;$\rm V$
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$y_3(t_{\rm max}) \ = \ $ { 10.895 3% } &nbsp;$\rm V$
  
  
{Wie lautet das Ausgangssignal $y_4(t)$, wenn am Eingang das si–förmige Signal $y_4(t)$ mit $T = 200 \ μ \rm s$ anliegt? Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?  
+
{Wie lautet das Ausgangssignal&nbsp; $y_4(t)$, wenn am Eingang das&nbsp; ${\rm si}$–förmige Signal&nbsp; $x_4(t)$&nbsp; mit&nbsp; ${\rm si}(πx)$ $T = 200 \ \rm &micro; s$&nbsp; anliegt? Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t = 0$?  
 
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$T = 200 {\: \rm \mu s} : y_4(t = 0) =$ { 10 3% } V
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$y_4(t = 0) \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\rm V$
  
  
{Welcher Signalwert $y_4(t = 0)$ ergibt sich für $T = 50 \ μ \rm s$?  
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{Welcher Signalwert&nbsp; $y_4(t = 0)$&nbsp; ergibt sich für&nbsp; $T = 50 \ \rm &micro; s$?  
 
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$T = 50 {\: \rm \mu s} : y_4(t = 0) =$ { 5 3% } &nbsp;$\rm V$
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$y_4(t = 0) \ = \ $ { 5 3% } &nbsp;$\rm V$
  
 
</quiz>
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''a)''' Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit $Δf =$ 10 kHz:
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'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit&nbsp; $Δf = 10 \ \rm kHz$:
$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$
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:$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$
Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor $\rm 10^{–3} Vs$:  
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*Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor&nbsp; $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:  
$$\begin{align*} y_1(t) & =  10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\\ & \Rightarrow  \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.2cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm \mu s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm
+
:$$y_1(t) =  10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$
si} \left( \frac{\pi}{2} \right)  \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.\end{align*}$$
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:$$ \Rightarrow  \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm &micro; s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm
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si} \left( {\pi}/{2} \right)  \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
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[[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts |frame| Diracpuls und Rechteckfilter]]
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'''(2)'''&nbsp; Das Spektrum&nbsp; $X_2(f)$&nbsp; beinhaltet diskrete Linien im Abstand&nbsp; $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit Gewicht&nbsp; $5 \ \rm V$.
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*Das Spektrum&nbsp; $Y_2(f)$&nbsp; besteht somit aus einer Spektrallinie bei&nbsp; $f = 0$&nbsp;  mit dem Gewicht&nbsp; $5 \ \rm V$&nbsp; und je einer bei&nbsp; $±5  \ \rm kHz$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:
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:$$ y_2(t)  = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$
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:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
  
  
'''b)''' [[Datei:P_ID856__LZI_A_1_5_b.png | rechts | Diracpuls und Rechteckfilter (ML zu Aufgabe A1.5b)]] Das Spektrum $X_2(f)$ des Diracpulses beinhaltet diskrete Linien im Abstand $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} =$ 5 kHz, jeweils mit dem Gewicht 5 V. Das Spektrum $Y_2(f)$ besteht somit aus einer Spektrallinie bei $f =$ 0 mit dem Gewicht 5 V und je einer bei ±5 kHz mit Gewicht 2.5 V. Damit gilt für das Zeitsignal:
 
$$\begin{align*} y_2(t)  &= 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) =\\  &= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).\end{align*}$$
 
Der Signalwert bei $t =$ 0 beträgt somit $\rm \underline{10 \: V}$.
 
  
 
   
 
   
'''c)''' Mit $T_{\rm A} =$ 199 μs ist $f_{\rm A} >$ 5 kHz. Wegen $H(f_{\rm A}) =$ 0 besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei $f =$ 0 mit dem Gewicht 5.025 V und man erhält den konstanten Verlauf $y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \: V}$. Wird $T_{\rm A}$ weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert (proportional zu $1/T_{\rm A}$).  
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'''(3)'''&nbsp; Mit&nbsp; $T_{\rm A} = 199 \  \rm &micro; s $&nbsp; ist&nbsp; $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen&nbsp; $H(f_{\rm A}) = 0$&nbsp;  besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; $5.025 \ \rm V$&nbsp; und man erhält den konstanten Verlauf  
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:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$
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*Wird&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert &nbsp;$($proportional zu&nbsp; $1/T_{\rm A})$.  
  
Dagegen ist mit $T_{\rm A} =$ 201 μs die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters (5 kHz), und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:  
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*Dagegen ist mit&nbsp; $T_{\rm A} = 201 \  \rm &micro; s $&nbsp;  die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters&nbsp; $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:  
$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\right].$$
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:$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$
Daraus folgt für das Zeitsignal:  
+
*Daraus folgt für das Zeitsignal:  
$$y_2(t )  =  4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} +  9.95\hspace{0.1cm}{\rm
+
:$$y_2(t )  =  4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} +  9.95\hspace{0.1cm}{\rm
 
V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t )  \hspace{0.2cm} \Rightarrow
 
V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t )  \hspace{0.2cm} \Rightarrow
 
  \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
 
  \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, solange 200 μs < $T_{\rm A}$ < 400 μs gilt. Allerdings ergeben sich je nach $T_{\rm A}$ unterschiedliche Amplituden. Für $T_{\rm A}$ ≥ 400 μs kommen weitere Spektrallinien hinzu.  
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*Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange&nbsp; $ 200 \ {\rm &micro; s} < T_{\rm A} < 400 \  {\rm &micro;  s} $&nbsp; gilt.  
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*Allerdings ergeben sich je nach&nbsp; $T_{\rm A}$&nbsp; unterschiedliche Amplituden. &nbsp; Für&nbsp; $T_{\rm A} ≥ 400 \  {\rm &micro;  s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.  
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[[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impulsantwort und Sprungantwort| rechts|frame]]
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'''(4)'''&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:
 +
:$$y_3(t = 0)  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot  \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f  \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm  d}\tau  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[  {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi  \Delta f  t  )\big].$$
 +
:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
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'''(5)'''&nbsp; Es ist offensichtlich, dass&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; dann maximal ist, wenn die&nbsp; ${\rm si}$–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten:
 +
:$$t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: &micro; s}.$$
  
'''d)''' [[Datei:P_ID854__LZI_A_1_5_d.png | Impuls– und Sprungantwort (ML zu Aufgabe A1.5d) | rechts]] Das Ausgangssignal $y_3(t)$ verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:  
+
*Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu
$$\begin{align*}y_3(t = 0&= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int\limits_{ - \infty }^{ t } {{\rm si} ( \pi \Delta f  \tau  )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau =\\ &= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi  \Delta f  t  )\right].\end{align*}$$
+
:$$y_3(t = t_{\rm max})  = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot
Zum Zeitpunkt $t =$ 0 gilt $y_3(t) \rm \underline{\: = 5 \: V}$.  
+
  {\rm Si} ( \pi )\big]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 +
 +
  0.5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
 +
*Zu späteren Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; schwingt&nbsp; $y_3(t)$&nbsp; langsam auf seinen Endwert&nbsp; $10 \ \rm V$ ein.  
  
  
'''e)''' Es ist offensichtlich, dass $y_3(t)$ dann sein Maximum erreicht, wenn die si–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss $t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: \mu s}$ gelten. Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu
+
[[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters| rechts|frame]]
$$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[  \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\cdot
+
'''(6)'''&nbsp; Die Spektralfunktion&nbsp; $X_4(f)$&nbsp; ist wie&nbsp; $H(f)$&nbsp; rechteckförmig und für&nbsp; $|f| > 2.\ \rm kHz$&nbsp; stets Null.  
  {\rm Si} ( \pi  )\right]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \left[ 0.5 +
+
*Das bedeutet, dass&nbsp; $Y_4(f ) = X_4(f)$&nbsp; gilt und somit auch&nbsp; $y_4(t) = x_4(t)$.  
  0.5895 \right] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
+
*Damit ist &nbsp;$y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.  
Zu späteren Zeiten $t$ schwingt $y_3(t)$ langsam auf seinen Endwert 10 V ein.  
 
  
  
'''f)''' [[Datei:P_ID855__LZI_A_1_5_f.png | Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters (ML zu Aufgabe A1.5f) | rechts]] Die Spektralfunktion $X_4(f)$ ist wie $H(f)$ rechteckförmig und für $|f| >$ 2.5 kHz stets 0. Das bedeutet, dass in diesem Fall $Y_4(f ) = X_4(f)$ gilt und entsprechend auch $y_4(t) = x_4(t)$. Damit ist $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: V}$.
 
  
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'''(7)'''&nbsp; Mit&nbsp; $T = 50 \ \rm &micro; s$&nbsp; hat&nbsp; $X_4(f)$&nbsp; die Breite&nbsp; $20 \ \rm kHz$&nbsp; und die Höhe&nbsp; $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$.
  
'''g)''' Mit $T =$ 50 μs ist die Breite von $X_4(f)$ gleich 20 kHz und die Höhe 0.5 · 10 $^{-3}$ V/Hz. Die Spektralfunktion $Y_4(f)$ nach Multiplikation mit $H(f)$ hat die gleiche Höhe, die Breite 10 kHz wird jedoch nun durch $H(f)$ bestimmt:  
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*Die Spektralfunktion&nbsp; $Y_4(f)$&nbsp; nach Multiplikation mit&nbsp; $H(f)$&nbsp; hat die gleiche Höhe.
$$\begin{align*}y_4(t) & = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}\frac{ {\rm V} }{ {\rm
+
*Die Breite&nbsp; $10 \ \rm kHz$&nbsp; wird nun ausschließlich durch&nbsp; $H(f)$&nbsp; bestimmt:  
Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t )\\ & \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.\end{align*}$$
+
:$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm
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Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f  t )$$
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:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.$$
 
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]
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[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme|^1.3 Systemtheoretische Tiefpassfunktionen^]]

Aktuelle Version vom 9. September 2021, 17:41 Uhr

Tabelle mit Werten der  $\rm si$–Funktion und der  $\rm Si$–Funktion

Wir betrachten einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass – auch Küpfmüller–Tiefpass genannt,

  • der alle Frequenzen  $f < 5 \ \rm kHz$  unverfälscht durchlässt   ⇒   $H(f) = 1$,
  • und alle Spektralanteile über  $5 \ \rm kHz$  vollständig unterdrückt   ⇒   $H(f) = 0$.


Exakt bei der Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 5 \ \rm kHz$  ist der Wert der Übertragungsfunktion gleich  $1/2$.

An den Eingang des Tiefpasses werden verschiedene Signale angelegt:

  • ein schmaler Rechteckimpuls geeigneter Höhe, der durch einen „Dirac” angenähert werden kann:
$$x_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot {\rm \delta}(t),$$
  • ein Diracpuls, also eine Summe von Diracimpulsen im jeweiligen Zeitabstand  $T_{\rm A}$:
$$x_2(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(t - \nu \cdot T_{\rm A}),$$
wobei das zugehörige Spektrum mit  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A}$  lautet:
$$X_2(f) = \frac{10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs}}{T_{\rm A}} \cdot\sum_{\mu = -\infty}^{+\infty}{\rm \delta}(f - \mu \cdot f_{\rm A}),$$
  • eine Sprungfunktion zum Zeitpunkt  $t = 0$:
$$x_3(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \gamma(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad\begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}{ t < 0,} \\{ t = 0,} \\ { t > 0,} \\ \end{array}$$
  • ein  $\rm si$–förmiger Impuls mit der äquivalenten Dauer  $T$:
$$x_4(t) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot {t}/{T}) \hspace{0.5cm} {\rm mit} \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) = {\rm sin}(x)/x .$$





Hinweise:

$${\rm Si}(\pi x) = \int_{ 0 }^{ x } {{\rm si} ( \pi \xi )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\xi \hspace{0.5cm}{\rm mit } \hspace{0.5cm} {\rm si}(x) =\sin(x)/x.$$



Fragebogen

1

Welches Ausgangssignal  $y_1(t)$  ergibt sich als Antwort auf den Diracimpuls  $x_1(t)$, insbesondere zu den Zeitpunkten  $t = 0$  und  $t = 50 \ \rm µ s$?

$y_1(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$
$y_1(t = 50 {\: \rm µ s}) \ = \ $

 $\rm V$

2

Wie lautet das Ausgangssignal  $y_2(t)$, wenn am Filtereingang der Diracpuls  $x_2(t)$  anliegt und  $T_{\rm A} = 200 \ µ \rm s$  gilt. Welcher Signalwert tritt bei  $t = 0$  auf?

$y_2(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$

3

Welche Werte  $y_2(t = 0)$  ergeben sich mit  $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s$  bzw.  $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s$?

$T_{\rm A} = 199 \ {\rm µ s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$
$T_{\rm A} = 201 \ {\rm µ s} \text{:}\hspace{0.4cm} y_2(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$

4

Geben Sie das Ausgangssignal  $y_3(t)$  für die Sprungfunktion  $x_3(t)$  mit Endwert  $10 \ \rm V$  an. Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = 0$  auf?

$y_3(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$

5

Zu welcher Zeit  $t_{\rm max}$  ist  $y_3(t)$  maximal? Wie groß ist der Maximalwert?

$t_{\rm max} \ = \ $

 $\rm µ s$
$y_3(t_{\rm max}) \ = \ $

 $\rm V$

6

Wie lautet das Ausgangssignal  $y_4(t)$, wenn am Eingang das  ${\rm si}$–förmige Signal  $x_4(t)$  mit  ${\rm si}(πx)$ $T = 200 \ \rm µ s$  anliegt? Welcher Wert ergibt sich für  $t = 0$?

$y_4(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$

7

Welcher Signalwert  $y_4(t = 0)$  ergibt sich für  $T = 50 \ \rm µ s$?

$y_4(t = 0) \ = \ $

 $\rm V$


Musterlösung

(1)  Die Impulsantwort des idealen Tiefpasses lautet mit  $Δf = 10 \ \rm kHz$:

$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ).$$
  • Das Ausgangssignal unterscheidet sich hiervon um den Gewichtungsfaktor  $\rm 10^{–3} \ \rm Vs$:
$$y_1(t) = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm Vs} \cdot 10^{4}\hspace{0.1cm}{\rm Hz} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_1(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=10\hspace{0.1cm}{\rm V}},\hspace{0.5cm}y_1(t = 50\hspace{0.1cm}{\rm µ s}) =10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si} \left( {\pi}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline{= 6.37\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$


Diracpuls und Rechteckfilter

(2)  Das Spektrum  $X_2(f)$  beinhaltet diskrete Linien im Abstand  $f_{\rm A} = 1/T_{\rm A} = 5 \ \rm kHz$, jeweils mit Gewicht  $5 \ \rm V$.

  • Das Spektrum  $Y_2(f)$  besteht somit aus einer Spektrallinie bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $5 \ \rm V$  und je einer bei  $±5 \ \rm kHz$  mit dem Gewicht  $2.5 \ \rm V$. Damit gilt für das Zeitsignal:
$$ y_2(t) = 5 \hspace{0.1cm}{\rm V} + 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot{\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}^2(\pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ).$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 10\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$



(3)  Mit  $T_{\rm A} = 199 \ \rm µ s $  ist  $f_{\rm A} > 5 \ \rm kHz$. Wegen  $H(f_{\rm A}) = 0$  besteht somit das Spektrum aus nur einer Spektrallinie bei  $f = 0$  mit dem Gewicht  $5.025 \ \rm V$  und man erhält den konstanten Verlauf

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_2(t) \rm \underline{\: = 5.025 \ \rm V}.$$
  • Wird  $T_{\rm A}$  weiter verringert, so ergibt sich am Ausgang weiterhin ein Gleichsignal, aber mit größerem Signalwert  $($proportional zu  $1/T_{\rm A})$.
  • Dagegen ist mit  $T_{\rm A} = 201 \ \rm µ s $  die Abtastfrequenz etwas kleiner als die Grenzfrequenz des Filters  $(5 \ \rm kHz)$, und die Spektralfunktion des Ausgangssignals lautet:
$$Y_2(f) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {\rm \delta}(f ) + {\rm \delta}(f + f_{\rm A}) + {\rm \delta}(f - f_{\rm A})\big].$$
  • Daraus folgt für das Zeitsignal:
$$y_2(t ) = 4.975\hspace{0.1cm}{\rm V} + 9.95\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm cos}(2 \pi \cdot f_{\rm A} \cdot t ) \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}y_2(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=14.925\hspace{0.1cm}{\rm V}}.$$
  • Am prinzipiellen Verlauf ändert sich nichts, so lange  $ 200 \ {\rm µ s} < T_{\rm A} < 400 \ {\rm µ s} $  gilt.
  • Allerdings ergeben sich je nach  $T_{\rm A}$  unterschiedliche Amplituden.   Für  $T_{\rm A} ≥ 400 \ {\rm µ s}$ kommen weitere Spektrallinien hinzu.


Impulsantwort und Sprungantwort

(4)  Das Ausgangssignal  $y_3(t)$  verläuft nun entsprechend der Integralsinusfunktion:

$$y_3(t = 0) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \Delta f \cdot \int_{ - \infty }^{ t } \hspace{-0.3cm} {{\rm si} ( \pi \Delta f \tau )} \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi \Delta f t )\big].$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_3(t= 0) \hspace{0.15cm} \underline{ = 5\hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$


(5)  Es ist offensichtlich, dass  $y_3(t)$  dann maximal ist, wenn die  ${\rm si}$–Funktion zum ersten Mal bei positiven Zeiten die Abszisse schneidet (siehe Skizze). Also muss gelten:

$$t_{\rm max} = 1/Δf \rm \underline{\: = 100 \: µ s}.$$
  • Der Signalwert ergibt sich entsprechend der Tabelle auf der Angabenseite zu
$$y_3(t = t_{\rm max}) = 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ {1}/{2} + {1}/{\pi}\cdot {\rm Si} ( \pi )\big]= 10\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot \big[ 0.5 + 0.5895 \big] \hspace{0.15cm}\underline{= 10.895 \hspace{0.1cm}{\rm V}} .$$
  • Zu späteren Zeiten  $t$  schwingt  $y_3(t)$  langsam auf seinen Endwert  $10 \ \rm V$ ein.


Rechteckspektren am Eingang des Rechteckfilters

(6)  Die Spektralfunktion  $X_4(f)$  ist wie  $H(f)$  rechteckförmig und für  $|f| > 2.5 \ \rm kHz$  stets Null.

  • Das bedeutet, dass  $Y_4(f ) = X_4(f)$  gilt und somit auch  $y_4(t) = x_4(t)$.
  • Damit ist  $y_4(t = 0) \rm \underline{\: = 10 \: \rm V}$.


(7)  Mit  $T = 50 \ \rm µ s$  hat  $X_4(f)$  die Breite  $20 \ \rm kHz$  und die Höhe  $0.5 · 10 ^{-3} \ \rm V/Hz$.

  • Die Spektralfunktion  $Y_4(f)$  nach Multiplikation mit  $H(f)$  hat die gleiche Höhe.
  • Die Breite  $10 \ \rm kHz$  wird nun ausschließlich durch  $H(f)$  bestimmt:
$$y_4(t) = 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm}{ {\rm V} }/{ {\rm Hz} } \cdot 10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t ) = 5\hspace{0.1cm}{\rm V} \cdot {\rm si}(\pi \Delta f t )$$
$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}y_4(t = 0) \hspace{0.15cm}\underline{=5\hspace{0.1cm}{\rm V} }.$$