Aufgaben:Aufgabe 1.7: Nahezu kausaler Gaußtiefpass: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right| | + | [[Datei:P_ID863__LZI_A_1_7.png|right|frame|Impulsantwort eines nahezu kausalen Gaußtiefpasses]] |
− | $$H(f) = {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm | + | Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang: |
− | j}2\pi f \tau}.$$ | + | :$$H(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm |
− | Die beiden Systemparameter $Δt = 1/Δf$ und $τ$ | + | j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \tau}.$$ |
+ | Die beiden Systemparameter, | ||
+ | *die äquivalente Impulsdauer $Δt = 1/Δf$ und | ||
+ | *die Verzögerungszeit $τ$, | ||
− | Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t < 0$ nicht vollkommen verschwindet. In der Teilaufgabe (3) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist: | + | |
− | $$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}< | + | können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden. |
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+ | *Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der (kausalen) Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t < 0$ nicht vollkommen verschwindet. | ||
+ | *In der Teilaufgabe '''(3)''' wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist: | ||
+ | :$$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}< | ||
\hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$ | \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$ | ||
− | In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort. | + | In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort. |
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− | *Die Aufgabe gehört | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen|Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen]]. |
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+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_systemtheoretische_Tiefpassfunktionen#Gau.C3.9F.E2.80.93Tiefpass|Gaußtiefpass]]. | ||
*Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden: | *Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden: | ||
− | $${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot | + | :$${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot |
\int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$ | \int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$ | ||
+ | [[Datei:P_ID864__LZI_A_1_7b.png |center|frame|Einige Werte der Gaußschen Fehlerfunktion]] | ||
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− | {Wie groß sind die äquivalente Bandbreite und die Laufzeit? | + | {Wie groß sind die äquivalente Bandbreite $\Delta f $ und die Laufzeit $\tau $? |
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− | $\Delta f \ =$ { 8 3% } $\ \rm MHz$ | + | $\Delta f \ = \ $ { 8 3% } $\ \rm MHz$ |
− | $\tau =$ { 250 3% } $\ \rm ns$ | + | $\tau \ = \ $ { 250 3% } $\ \rm ns$ |
− | {Es gelte $x(t) = 1 {\rm V} · \cos(2π · 6\ {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t = 0$? | + | {Es gelte $x(t) = 1 \hspace{0.05cm}{\rm V} · \cos(2π · 6\ {\rm MHz }· t)$. Wie lautet das Ausgangssignal $y(t)$? Welcher Signalwert ergibt sich zur Zeit $t = 0$? |
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− | $y(t = 0) \ =$ { -0.175--0.165 } $\ \rm V$ | + | $y(t = 0) \ = \ $ { -0.175--0.165 } $\ \rm V$ |
− | {Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) = 0$ gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler $\varepsilon_{\rm max}$ des betrachteten Modells? Definition siehe Angabenseite. | + | {Eigentlich sollte bei Kausalität $h(t < 0) = 0$ gelten. Wie groß ist der maximale relative Fehler $\varepsilon_{\rm max}$ des betrachteten Modells? <br>Definition von $\varepsilon_{\rm max}$ siehe Angabenseite. |
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− | $\varepsilon_{\rm max} \ =$ { 3.49 5% } $\ \cdot 10^{-6}$ | + | $\varepsilon_{\rm max} \ = \ $ { 3.49 5% } $\ \cdot 10^{-6}$ |
− | {Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 250 \ \rm ns$ und $t = 300 \ \rm ns$ ? | + | {Berechnen Sie die (dimensionslose) Sprungantwort $σ(t)$. Welche Werte ergeben sich zu den Zeiten $t = 250 \hspace{0.05cm} \rm ns$ und $t = 300 \hspace{0.05cm} \rm ns$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $σ(t = 250\ \rm ns) =$ { 0.5 5% } | + | $σ(t = 250\hspace{0.05cm} \rm ns)\ = \ $ { 0.5 5% } |
− | $σ(t = 300\ \rm ns) =$ { 0.841 5% } | + | $σ(t = 300\hspace{0.05cm} \rm ns) \ = \ $ { 0.841 5% } |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''(1)''' Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich $h(t = τ) \ \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$. Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 125 \ \rm ns$. Auch die Phasenlaufzeit $τ \ \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden. | + | '''(1)''' Die äquivalente Bandbreite $Δf$ ist gleich $h(t = τ) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ 8 \ MHz}$. |
+ | *Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 125 \ \rm ns$. | ||
+ | *Auch die Phasenlaufzeit $τ \hspace{0.15cm} \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden. | ||
+ | |||
'''(2)''' Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude | '''(2)''' Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude | ||
− | $$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$ | + | :$$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$ |
− | Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$: | + | *Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$: |
− | $$ | + | :$$ y(t) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ).$$ |
− | Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \ \rm \underline{= \ –0.171 \ V}$. | + | *Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ –0.171 \ V}$. |
+ | |||
'''(3)''' Die Impulsantwort lautet: | '''(3)''' Die Impulsantwort lautet: | ||
− | $$h(t) = h_{\rm GTP}(t - \tau) =\Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{t - \tau}{\Delta t})^2} .$$ | + | :$$h(t) = h_{\rm GTP}(t - \tau) =\Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{t - \tau}{\Delta t})^2} .$$ |
− | Da $h(t)$ im Bereich $t < 0$ stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei $t = 0$ auf: | + | *Da $h(t)$ im Bereich $t < 0$ stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei $t = 0$ auf: |
− | $$h(t = 0) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{ \tau}{\Delta t})^2}= \Delta f \cdot {\rm e}^{-4\pi} .$$ | + | :$$h(t = 0) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{ \tau}{\Delta t})^2}= \Delta f \cdot {\rm e}^{-4\pi} .$$ |
− | Mit $h(t = τ) = Δf$ erhält man so: | + | *Mit $h(t = τ) = Δf$ erhält man so: |
− | $$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49} \cdot 10^{-6} .$$ | + | :$$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49} \cdot 10^{-6} .$$ |
− | '''(4)''' Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit $τ$ des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses: | + | |
− | $$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int_{ -\infty }^{ t } {{\rm e}^{-\pi \left({t'}/{\Delta t}\right)^2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$ | + | '''(4)''' Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit $τ$ des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses: |
− | Nach der Substitution $t ' | + | :$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int_{ -\infty }^{ t } {{\rm e}^{-\pi \left({t\hspace{0.05cm}'}/{\Delta t}\right)^2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$ |
− | $$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } } \cdot \int_{ -\infty }^{ \sqrt{2\pi}\cdot\hspace{0.05cm} t / \Delta t } { {\rm e}^{-u^2/2} } \hspace{0.1cm}{\rm d}u = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t}{\Delta t }), | + | *Nach der Substitution $u = t\hspace{0.05cm}' \cdot {\sqrt{2\pi}}/{\Delta t}$ ergibt sich mit dem Gaußschen Fehlerintegral $ϕ(x)$: |
− | + | :$$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } } \cdot \int_{ -\infty }^{ \sqrt{2\pi}\cdot\hspace{0.05cm} t / \Delta t } { {\rm e}^{-u^2/2} } \hspace{0.1cm}{\rm d}u = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t}{\Delta t }),\hspace{1cm} | |
{\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot | {\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot | ||
\int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$ | \int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$ | ||
− | Unter Berücksichtigung der Laufzeit $τ$ erhält man für die gesamte Sprungantwort: | + | *Unter Berücksichtigung der Laufzeit $τ$ erhält man somit für die gesamte Sprungantwort: |
− | $$\sigma(t) = \sigma_{\rm GTP}(t - \tau) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t - \tau}{\Delta t }).$$ | + | :$$\sigma(t) = \sigma_{\rm GTP}(t - \tau) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t - \tau}{\Delta t }).$$ |
− | Der Wert bei $t = τ = 250 \ \rm ns$ | + | *Der Wert bei $t = τ = 250 \ \rm ns$ ist |
− | $$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns}) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{ {50\,\rm ns} }{ {125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$ | + | :$$\sigma(t = {250\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = 0) =\ \rm \underline{ϕ(0) \ = \ 0.500}.$$ |
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+ | *Entsprechend erhält man für $t = τ = 300 \ \rm ns$: | ||
+ | :$$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns}) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{ {50\,\rm ns} }{ {125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 9. September 2021, 17:43 Uhr
Messungen haben ergeben, dass ein LZI–System mit guter Näherung durch einen Gaußtiefpass angenähert werden kann, wenn man eine zusätzliche Laufzeit $τ$ berücksichtigt. Somit lautet der Frequenzgang:
- $$H(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f)^2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi f \tau}.$$
Die beiden Systemparameter,
- die äquivalente Impulsdauer $Δt = 1/Δf$ und
- die Verzögerungszeit $τ$,
können der in der Grafik dargestellten Impulsantwort $h(t)$ entnommen werden.
- Es ist offensichtlich, dass dieses Modell nicht exakt der (kausalen) Wirklichkeit entspricht, da die Impulsantwort $h(t)$ auch für $t < 0$ nicht vollkommen verschwindet.
- In der Teilaufgabe (3) wird deshalb nach dem maximalen relativen Fehler gefragt, der wie folgt definiert ist:
- $$\varepsilon_{\rm max} = \frac{\max_{t \hspace{0.02cm}< \hspace{0.1cm}0}|h(t)|}{h(t = \tau)}.$$
In Worten: Der maximale relative Fehler $ε_{\rm max}$ ist gleich dem Maximalwert der Impulsantwort $h(t)$ bei negativen Zeiten, bezogen auf den maximalen Wert $h(t = τ)$ der Impulsantwort.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Gaußtiefpass.
- Zur Berechnung von Sprung– und Rechteckantwort können Sie das Gaußsche Fehlerintegral verwenden:
- $${\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Dies ist gleichzeitig der Kehrwert der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 125 \ \rm ns$.
- Auch die Phasenlaufzeit $τ \hspace{0.15cm} \rm \underline{= \ 250 \ \rm ns}$ kann direkt aus der Grafik abgelesen werden.
(2) Ohne Berücksichtigung der Laufzeit ergäbe sich ein Cosinussignal mit der Amplitude
- $$A_y = 1\,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-\pi({ {6\,\rm MHz} }/{ {8\,\rm MHz} })^2}= 0.171\,{\rm V}.$$
- Die Laufzeit bewirkt eine Phasenverschiebung um $3π$:
- $$ y(t) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 ( t - \tau) ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 2\pi \cdot {6\,\rm MHz}\cdot {250\,\rm ns} ) = A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t - 3\pi ) = -A_y \cdot {\rm cos}(2\pi f_0 t ).$$
- Der gesuchte Wert ist somit $y(t = 0) \hspace{0.05cm} \rm \underline{= \ –0.171 \ V}$.
(3) Die Impulsantwort lautet:
- $$h(t) = h_{\rm GTP}(t - \tau) =\Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{t - \tau}{\Delta t})^2} .$$
- Da $h(t)$ im Bereich $t < 0$ stetig zunimmt, tritt der Maximalwert (bei negativen Zeiten) etwa bei $t = 0$ auf:
- $$h(t = 0) = \Delta f \cdot {\rm e}^{-\pi(\frac{ \tau}{\Delta t})^2}= \Delta f \cdot {\rm e}^{-4\pi} .$$
- Mit $h(t = τ) = Δf$ erhält man so:
- $$\varepsilon_{\rm max}= {\rm e}^{-4\pi}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 3.49} \cdot 10^{-6} .$$
(4) Wir lassen vorerst die Phasenlaufzeit $τ$ des zweiten Systems außer Betracht und berechnen die Sprungantwort des Gaußtiefpasses:
- $$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot \int_{ -\infty }^{ t } {{\rm e}^{-\pi \left({t\hspace{0.05cm}'}/{\Delta t}\right)^2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}t'.$$
- Nach der Substitution $u = t\hspace{0.05cm}' \cdot {\sqrt{2\pi}}/{\Delta t}$ ergibt sich mit dem Gaußschen Fehlerintegral $ϕ(x)$:
- $$\sigma_{\rm GTP}(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi } } \cdot \int_{ -\infty }^{ \sqrt{2\pi}\cdot\hspace{0.05cm} t / \Delta t } { {\rm e}^{-u^2/2} } \hspace{0.1cm}{\rm d}u = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t}{\Delta t }),\hspace{1cm} {\rm \phi}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \cdot \int_{ -\infty }^{ x } {{\rm e}^{-u^2/2}} \hspace{0.1cm}{\rm d}u.$$
- Unter Berücksichtigung der Laufzeit $τ$ erhält man somit für die gesamte Sprungantwort:
- $$\sigma(t) = \sigma_{\rm GTP}(t - \tau) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{t - \tau}{\Delta t }).$$
- Der Wert bei $t = τ = 250 \ \rm ns$ ist
- $$\sigma(t = {250\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = 0) =\ \rm \underline{ϕ(0) \ = \ 0.500}.$$
- Entsprechend erhält man für $t = τ = 300 \ \rm ns$:
- $$\sigma(t = {300\,\rm ns}) = \sigma_{\rm GTP}(t = {50\,\rm ns}) = {\rm \phi}(\sqrt{2\pi}\cdot \frac{ {50\,\rm ns} }{ {125\,\rm ns} })\approx {\rm \phi}(1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.841}.$$