Aufgaben:Aufgabe 2.5: Verzerrung und Entzerrung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y(t)$ , das durch den trapezförmigen Frequenzgang $H(f)$ gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird. Mit dem Rolloff–Faktor $r = 0.5$ sowie der äquivalenten Bandbreite $\Delta f = 16 \ \rm kHz$ lautet die dazugehörige, über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort: | + | Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y(t)$, das durch den trapezförmigen Frequenzgang $H(f)$ gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird. Mit dem Rolloff–Faktor $r = 0.5$ sowie der äquivalenten Bandbreite $\Delta f = 16 \ \rm kHz$ lautet die dazugehörige, über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort: |
− | $$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot | + | :$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot |
{\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t | {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t | ||
− | ) .$$ | + | ) = \Delta f \cdot {\rm sinc}(\Delta f \cdot t )\cdot |
+ | {\rm sinc}(r \cdot \Delta f \cdot t | ||
+ | ).$$ | ||
+ | Hierbei sind folgende ineinander umrechenbare Funktionen verwendet: | ||
+ | :$${\rm si}(x) = \sin(x)/x,\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x).$$ | ||
Als Eingangssignale stehen zur Verfügung: | Als Eingangssignale stehen zur Verfügung: | ||
*Die Summe zweier harmonischer Schwingungen: | *Die Summe zweier harmonischer Schwingungen: | ||
:$$x_1(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot | :$$x_1(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot | ||
t).$$ | t).$$ | ||
− | :Hierbei | + | :Hierbei sei $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$ und $\omega_2 \gt \omega_1$. |
* Ein periodisches Dreiecksignal: | * Ein periodisches Dreiecksignal: | ||
− | :$$x_2(t) = \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \ | + | :$$x_2(t) = \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) + {1}/{9} \cdot \cos(3\omega_0 t) |
− | + {1}/{25} \cdot \cos(5\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...\ | + | + {1}/{25} \cdot \cos(5\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}\big].$$ |
− | : | + | :Die Grundfrequenz beträgt $f_0 = 2 \ \rm kHz$ bzw. $3\ \rm kHz$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der Signalwert in beiden Fällen $1 \ \rm V$. |
− | * Ein Rechteckimpuls $x_3(t)$ mit Amplitude $A = 1 \ \rm V$ und Dauer $T = 1 \ \rm ms$. Da dessen Spektrum $X_3(f)$ bis ins Unendliche reicht, führt $H(f)$ hier immer zu linearen Verzerrungen. | + | * Ein Rechteckimpuls $x_3(t)$ mit Amplitude $A = 1 \ \rm V$ und Dauer $T = 1 \ \rm ms$. <br>Da dessen Spektrum $X_3(f)$ bis ins Unendliche reicht, führt $H(f)$ hier immer zu linearen Verzerrungen. |
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+ | Ab der Teilaufgabe '''(6)''' soll versucht werden, durch einen nachgeschalteten Entzerrer mit | ||
+ | * Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$, | ||
+ | * Eingangssignal $y(t)$, und | ||
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− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen|Lineare Verzerrungen]]. |
− | *Der im Fragenkatalog verwendete Begriff „Gesamtverzerrung” bezieht sich auf das Eingangssignal $x(t)$ und das Ausgangssignal $z(t)$. | + | * Bezug wird insbesondere genommen auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Lineare_Verzerrungen#Entzerrungsverfahren|Entzerrungsverfahren]]. |
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− | {Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal $x_1(t)$ mit $f_2 = 4 \ \rm kHz$? | + | {Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal $x_1(t)$ mit $\underline{f_2 = 4 \ \rm kHz}$? |
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+ Es wirkt wie ein ideales System. | + Es wirkt wie ein ideales System. | ||
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− | {Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal $x_1(t)$ mit $f_2 = 10 \ \rm kHz$? | + | {Welche Eigenschaften zeigt das System beim Testsignal $x_1(t)$ mit $\underline{f_2 = 10 \ \rm kHz}$? |
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− | {Wie groß ist beim Testsignal $x_2(t)$ mit $f_0 = 3 \ \rm kHz$ die Maximalabweichung $\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. An welcher Stelle $t_0$ tritt $\varepsilon_{\rm max} | + | {Wie groß ist beim Testsignal $x_2(t)$ mit $\underline{f_0 = 3 \ \rm kHz}$ die Maximalabweichung $\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t_0) - x_2(t_0)|$. <br>An welcher Stelle $t_0$ tritt $\varepsilon_{\rm max}$ zum ersten Mal auf? |
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− | + | $\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.156 3% } $\ \rm V$ | |
− | $t_0 \ = $ { 0. } $\ \rm ms$ | + | $t_0 \ = \ $ { 0. } $\ \rm ms$ |
− | {Wie groß ist die maximale Abweichung $\varepsilon_{\rm max} | + | {Wie groß ist die maximale Abweichung $\varepsilon_{\rm max}$ mit $\underline{f_0 = 2 \ \rm kHz}$? |
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− | + | $\varepsilon_\text{max} \ = \ $ { 0.114 3% } $\ \rm V$ | |
− | {Welchen Verlauf sollte der Entzerrer $H_{\rm E}(f)$ besitzen, um alle Verzerrungen von $H(f)$ bestmöglich zu kompensieren. Welcher Betragswert ergibt sich bei $f = 10 \ \rm kHz$? | + | {Welchen Verlauf sollte der Entzerrer $H_{\rm E}(f)$ besitzen, um alle Verzerrungen von $H(f)$ bestmöglich zu kompensieren. <br>Welcher Betragswert ergibt sich bei $\underline{f = 10 \ \rm kHz}$? |
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− | $|H_E(f = 10 \ \rm kHz)| \ = $ { 4 3% } | + | $|H_E(f = 10 \ \rm kHz)| \ = \ $ { 4 3% } |
− | {Bei welchen der aufgeführten Signale ist eine vollständige Entzerrung möglich? Unter vollständiger Entzerrung soll dabei $z(t) = x(t)$ verstanden werden. | + | {Bei welchen der aufgeführten Signale ist eine vollständige Entzerrung möglich? <br>Unter „vollständiger Entzerrung” soll dabei $z(t) = x(t)$ verstanden werden. |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Beim Signal $x_1(t)$ mit $f_2 = 10 \ \rm kHz$ | + | + Beim Signal $x_1(t)$ mit $f_2 = 10 \ \rm kHz$, |
− | - | + | - beim Signal $x_2(t)$, |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>: | |
+ | *Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können. | ||
+ | *Da $H(f)$ rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden. | ||
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− | + | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | |
+ | *Das Ausgangssignal ist $y_1(t) = x_1(t)$. | ||
+ | *Somit ist das System nicht nur verzerrungsfrei, sondern kann für diese Anwendung auch als ideal bezeichnet werden. | ||
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− | + | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | |
+ | *In diesem Fall erhält man für das Ausgangssignal: | ||
+ | :$$y_1(t)= 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + {1}/{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$ | ||
+ | *Während der Anteil bei $f_1$ unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit $f_2$ auf ein Viertel gedämpft. | ||
+ | *Also liegen Dämpfungsverzerrungen vor. | ||
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+ | '''(4)''' Das Ausgangssignal $y_2(t)$ hat die folgende Form, wenn man die Grundfrequenz $f_0 = 3 \ \rm kHz$ berücksichtigt: | ||
:$$y_2(t)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0 t) + | :$$y_2(t)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0 t) + | ||
\frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0 t)\right) | \frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0 t)\right) | ||
.$$ | .$$ | ||
− | + | *Der Faktor $3/8$ beschreibt $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei $15 \ \rm kHz$, $21 \ \rm kHz$, usw. werden vom System unterdrückt. | |
− | + | *Die stärksten Abweichungen zwischen $x_2(t)$ und $y_2(t)$ wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt $\underline{t= 0}$: | |
:$$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + | :$$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + | ||
− | + | {3}/{72}\right)= 0.844\,{\rm | |
− | V} | + | V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} |
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\varepsilon_{\rm max} = |y_2(t=0)- x_2(t=0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.156\,{\rm | \varepsilon_{\rm max} = |y_2(t=0)- x_2(t=0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.156\,{\rm | ||
V}}.$$ | V}}.$$ | ||
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+ | '''(5)''' Mit der Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ sowie den Übertragungswerten $H(3f_0) = 0.75$, $H(5f_0) = 0.25$, $H(7f_0) = 0$ ergibt sich: | ||
:$$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + | :$$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + | ||
\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm | \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm | ||
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V}}.$$ | V}}.$$ | ||
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+ | '''(6)''' Im Bereich bis $4 \ \rm kHz$ ist $H_{\rm E}(f) = H(f) = 1$ zu setzen. Dagegen gilt im Bereich von $4 \ \rm kHz$ bis $12 \ \rm kHz$: | ||
:$$H_{\rm E}(f)= \frac{1}{H(f)} = | :$$H_{\rm E}(f)= \frac{1}{H(f)} = | ||
− | \frac{1}{1.5 \cdot [1 - f/(12\,{\rm kHz})]} | + | \frac{1}{1.5 \cdot \big[1 - f/(12\,{\rm kHz})\big]} |
\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} | \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} | ||
H_{\rm E}(f = 10\,{\rm kHz})\hspace{0.15cm}\underline{= 4} | H_{\rm E}(f = 10\,{\rm kHz})\hspace{0.15cm}\underline{= 4} | ||
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− | + | Der Nennerausdruck beschreibt hierbei die Geradengleichung des Flankenabfalls. | |
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− | + | '''(7)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | |
+ | *Sowohl $x_2(t)$ als auch $x_3(t)$ beinhalten auch Spektralanteile bei Frequenzen größer als $12 \ \rm kHz$. | ||
+ | *Wurden diese von $H(f)$ abgeschnitten ⇒ Bandbegrenzung, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden. | ||
+ | *Das heißt, dass nur das Signal $x_1(t)$ durch $H_{\rm E}(f)$ wieder hergestellt werden kann, allerdings nur dann, wenn $f_2 < 12 \ \rm kHz$ gilt: | ||
+ | :$$z_1(t)= \underline{1} \cdot 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + \underline{4} \cdot \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$ | ||
+ | *Die jeweils ersten (unterstrichenen) Faktoren geben jeweils die Verstärkungswerte von $H_{\rm E}(f)$ an. | ||
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Aktuelle Version vom 5. Oktober 2021, 15:00 Uhr
Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y(t)$, das durch den trapezförmigen Frequenzgang $H(f)$ gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird. Mit dem Rolloff–Faktor $r = 0.5$ sowie der äquivalenten Bandbreite $\Delta f = 16 \ \rm kHz$ lautet die dazugehörige, über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort:
- $$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t ) = \Delta f \cdot {\rm sinc}(\Delta f \cdot t )\cdot {\rm sinc}(r \cdot \Delta f \cdot t ).$$
Hierbei sind folgende ineinander umrechenbare Funktionen verwendet:
- $${\rm si}(x) = \sin(x)/x,\hspace{0.5cm}{\rm sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x).$$
Als Eingangssignale stehen zur Verfügung:
- Die Summe zweier harmonischer Schwingungen:
- $$x_1(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot t).$$
- Hierbei sei $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$ und $\omega_2 \gt \omega_1$.
- Ein periodisches Dreiecksignal:
- $$x_2(t) = \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \big[\cos(\omega_0 t) + {1}/{9} \cdot \cos(3\omega_0 t) + {1}/{25} \cdot \cos(5\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}\big].$$
- Die Grundfrequenz beträgt $f_0 = 2 \ \rm kHz$ bzw. $3\ \rm kHz$. Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der Signalwert in beiden Fällen $1 \ \rm V$.
- Ein Rechteckimpuls $x_3(t)$ mit Amplitude $A = 1 \ \rm V$ und Dauer $T = 1 \ \rm ms$.
Da dessen Spektrum $X_3(f)$ bis ins Unendliche reicht, führt $H(f)$ hier immer zu linearen Verzerrungen.
Ab der Teilaufgabe (6) soll versucht werden, durch einen nachgeschalteten Entzerrer mit
- Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$,
- Eingangssignal $y(t)$, und
- Ausgangssignal $z(t)$
die eventuell von $H(f)$ erzeugten Verzerrungen zu eliminieren.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
- Bezug wird insbesondere genommen auf die Seite Entzerrungsverfahren.
- Der im Fragenkatalog verwendete Begriff „Gesamtverzerrung” bezieht sich auf das Eingangssignal $x(t)$ und das Ausgangssignal $z(t)$.
Fragebogen
Musterlösung
- Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können.
- Da $H(f)$ rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Das Ausgangssignal ist $y_1(t) = x_1(t)$.
- Somit ist das System nicht nur verzerrungsfrei, sondern kann für diese Anwendung auch als ideal bezeichnet werden.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- In diesem Fall erhält man für das Ausgangssignal:
- $$y_1(t)= 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + {1}/{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
- Während der Anteil bei $f_1$ unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit $f_2$ auf ein Viertel gedämpft.
- Also liegen Dämpfungsverzerrungen vor.
(4) Das Ausgangssignal $y_2(t)$ hat die folgende Form, wenn man die Grundfrequenz $f_0 = 3 \ \rm kHz$ berücksichtigt:
- $$y_2(t)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0 t) + \frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0 t)\right) .$$
- Der Faktor $3/8$ beschreibt $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei $15 \ \rm kHz$, $21 \ \rm kHz$, usw. werden vom System unterdrückt.
- Die stärksten Abweichungen zwischen $x_2(t)$ und $y_2(t)$ wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man für den Zeitpunkt $\underline{t= 0}$:
- $$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + {3}/{72}\right)= 0.844\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm max} = |y_2(t=0)- x_2(t=0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.156\,{\rm V}}.$$
(5) Mit der Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ sowie den Übertragungswerten $H(3f_0) = 0.75$, $H(5f_0) = 0.25$, $H(7f_0) = 0$ ergibt sich:
- $$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm V}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\varepsilon_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.114\,{\rm V}}.$$
(6) Im Bereich bis $4 \ \rm kHz$ ist $H_{\rm E}(f) = H(f) = 1$ zu setzen. Dagegen gilt im Bereich von $4 \ \rm kHz$ bis $12 \ \rm kHz$:
- $$H_{\rm E}(f)= \frac{1}{H(f)} = \frac{1}{1.5 \cdot \big[1 - f/(12\,{\rm kHz})\big]} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} H_{\rm E}(f = 10\,{\rm kHz})\hspace{0.15cm}\underline{= 4} .$$
Der Nennerausdruck beschreibt hierbei die Geradengleichung des Flankenabfalls.
(7) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Sowohl $x_2(t)$ als auch $x_3(t)$ beinhalten auch Spektralanteile bei Frequenzen größer als $12 \ \rm kHz$.
- Wurden diese von $H(f)$ abgeschnitten ⇒ Bandbegrenzung, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden.
- Das heißt, dass nur das Signal $x_1(t)$ durch $H_{\rm E}(f)$ wieder hergestellt werden kann, allerdings nur dann, wenn $f_2 < 12 \ \rm kHz$ gilt:
- $$z_1(t)= \underline{1} \cdot 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + \underline{4} \cdot \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$
- Die jeweils ersten (unterstrichenen) Faktoren geben jeweils die Verstärkungswerte von $H_{\rm E}(f)$ an.