Lineare zeitinvariante Systeme/Laplace–Rücktransformation: Unterschied zwischen den Versionen

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==Problemstellung und Voraussetzungen==
 
==Problemstellung und Voraussetzungen==
Dieses Kapitel behandelt die folgende Problemstellung:  
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*Bekannt ist die $p$–Spektralfunktion $Y_{\rm L}(p)$ in der Pol–Nullstellen–Form.  
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{{BlaueBox|TEXT= 
*Gesucht ist die '''Laplace–Rücktransformierte''', die die dazugehörige Zeitfunktion $y(t)$ angibt und die in diesem Tutorial wie folgt bezeichnet wird:
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$\text{Aufgabenstellung:}$&nbsp; Dieses Kapitel behandelt das folgende Problem:  
$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}
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*Bekannt ist die&nbsp; $p$–Spektralfunktion&nbsp; $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; in der Pol–Nullstellen–Form.  
  y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$
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*Gesucht ist die&nbsp; '''Laplace–Rücktransformierte''', also die dazugehörige Zeitfunktion&nbsp; $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
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:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm}
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  y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$}}
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In der Grafik sind die Voraussetzungen für diese Aufgabenstellung zusammengestellt.
 
In der Grafik sind die Voraussetzungen für diese Aufgabenstellung zusammengestellt.
  
[[Datei:P_ID1770__LZI_T_3_3_S1_neu.png | Voraussetzungen für das Kapitel &bdquo;Laplace–Rücktransformation&rdquo;]]
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[[Datei:P_ID1770__LZI_T_3_3_S1_neu.png |right|frame| Voraussetzungen für das Kapitel &bdquo;Laplace–Rücktransformation&rdquo;]]
 
 
$H_{\rm L}(p)$ beschreibt das kausale Übertragungssystem, während $Y_{\rm L}(p)$ die Laplace–Transformierte des gesuchten Ausgangssignals $y(t)$ unter Berücksichtigung des Eingangssignals $x(t)$ bezeichnet. $Y_{\rm L}(p)$ ist gekennzeichnet durch $N$ Pole, durch $Z ≤ N$ Nullstellen sowie durch die Konstante $K.$
 
*Die Pole und Nullstellen zeigen die im [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Eigenschaften_der_Pole_und_Nullstellen|letzten Kapitel]]  genannten Eigenschaften. Pole dürfen nur in der linken $p$–Halbebene oder auf der imaginären Achse liegen, Nullstellen sind auch in der rechten $p$–Halbebene erlaubt.
 
*Alle Singularitäten – dies ist der Oberbegriff für Pole und Nullstellen – sind entweder reell oder es treten Paare von konjugiert–komplexen Singularitäten auf. Mehrfache Pole und Nullstellen sind ebenfalls erlaubt.
 
*Verwendet man ein diracförmiges Eingangssignal $x(t) = δ(t)  ⇒  X_{\rm L}(p) = 1  ⇒  Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$, so beschreibt das Ausgangssignal $y(t)$ die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]  $h(t)$ des kausalen Übertragungssystems. Zur Berechnung dürfen nur die in der Grafik grün eingezeichneten Singularitäten herangezogen werden.
 
*Eine Sprungfunktion $x(t) = γ(t)  ⇒  X_{\rm L} = 1/p$ am Eingang bewirkt, dass das Ausgangssignal $y(t)$ gleich der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Sprungantwort|Sprungantwort]]  $σ(t)$ von $H_{\rm L}(p)$ ist. Zur Berechnung ist neben den Singularitäten von $H_{\rm L}(p)$ nun auch die (in der Grafik rot eingezeichnete) Polstelle bei $p =$ 0 zu berücksichtigen.
 
*Als Eingang $x(t)$ sind nur Signale möglich, für die $X_{ \rm L}(p)$ in Pol–Nullstellen–Form darstellbar ist (siehe [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Einige_wichtige_Laplace.E2.80.93Korrespondenzen|Tabelle]]  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion&rdquo;), zum Beispiel ein zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltetes Cosinus– oder Sinussignal. Deren Laplace–Transformierte sind in der obigen Grafik ebenfalls angegeben.
 
 
 
  
Bei der hier beschriebenen Vorgehensweise ist ein Rechteck  als Eingangssignal $x(t) ⇒ X_{\rm L}(p) = (1 {\rm e}^{pT})/p$ nicht möglich. Die Rechteckantwort $y(t)$ kann aber als Differenz zweier Sprungantworten indirekt berechnet werden.
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*$H_{\rm L}(p)$&nbsp; beschreibt das kausale Übertragungssystem und &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; gibt die Laplace–Transformierte des Ausgangssignals &nbsp;$y(t)$&nbsp; unter Berücksichtigung des Eingangssignals &nbsp;$x(t)$&nbsp; an. &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; ist gekennzeichnet durch &nbsp;$N$&nbsp; Pole, durch &nbsp;$Z ≤ N$&nbsp; Nullstellen sowie durch die Konstante &nbsp;$K.$
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*Die Pole und Nullstellen zeigen die im&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Eigenschaften_der_Pole_und_Nullstellen|letzten Kapitel]]&nbsp;  genannten Eigenschaften: &nbsp; Pole dürfen nur in der linken &nbsp;$p$–Halbebene oder auf der imaginären Achse liegen, Nullstellen sind dagegen auch in der rechten &nbsp;$p$–Halbebene erlaubt.
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*Alle Singularitäten – dies ist der Oberbegriff für Pole und Nullstellen – sind entweder reell oder es treten Paare von konjugiert–komplexen Singularitäten auf.&nbsp; Mehrfache Pole und Nullstellen sind erlaubt.
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*Verwendet man das Eingangssignal &nbsp;$x(t) = δ(t)$ &nbsp; ⇒ &nbsp;$  X_{\rm L}(p) = 1 $ &nbsp; ⇒ &nbsp;$ Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$,&nbsp; so beschreibt &nbsp;$y(t)$&nbsp; die [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Impulsantwort|Impulsantwort]]  &nbsp;$h(t)$&nbsp; des Übertragungssystems.&nbsp; Zur Berechnung dürfen hierfür nur die in der Grafik grün eingezeichneten Singularitäten herangezogen werden.
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*Eine Sprungfunktion &nbsp;$x(t) = γ(t) \ \  ⇒ \ \  X_{\rm L} = 1/p$&nbsp; am Eingang bewirkt, dass das Ausgangssignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; gleich der &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Systembeschreibung_im_Zeitbereich#Sprungantwort|Sprungantwort]] &nbsp; $σ(t)$ von $H_{\rm L}(p)$&nbsp; ist.&nbsp; Zur Berechnung ist neben den Singularitäten von &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; nun auch die (in der Grafik rot eingezeichnete) Polstelle bei &nbsp;$p = 0$&nbsp; zu berücksichtigen.
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*Als Eingang &nbsp;$x(t)$&nbsp; sind nur Signale möglich, für die &nbsp;$X_{ \rm L}(p)$&nbsp; in Pol–Nullstellen–Form darstellbar ist &nbsp; (siehe &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Einige_wichtige_Laplace.E2.80.93Korrespondenzen|Tabelle]]&nbsp;  im Kapitel &bdquo;Laplace–Transformation und $p$–Übertragungsfunktion&rdquo;),&nbsp; zum Beispiel ein zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$&nbsp; eingeschaltetes Cosinus– oder Sinussignal.
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*Bei der hier beschriebenen Vorgehensweise ist also ein Rechteck  als Eingangssignal &nbsp;$x(t)\ \  \ \ X_{\rm L}(p) = (1 - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T})/p$&nbsp; nicht möglich.&nbsp; Die Rechteckantwort &nbsp;$y(t)$&nbsp; kann aber als Differenz zweier Sprungantworten indirekt berechnet werden.
  
 
==Einige Ergebnisse der Funktionentheorie==
 
==Einige Ergebnisse der Funktionentheorie==
Im Gegensatz zu den [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierintegralen]], die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei Laplace die Berechnung von $y(t)$ aus $Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation –  
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*sehr viel schwieriger als die Berechnung von $Y_{\rm L}(p)$ aus $y(t)$,  
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Im Gegensatz zu den&nbsp; [[Signaldarstellung/Fouriertransformation_und_-rücktransformation#Das_erste_Fourierintegral|Fourierintegralen]], die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei &bdquo;Laplace&rdquo; die Berechnung von &nbsp;$y(t)$&nbsp; aus &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation –  
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*sehr viel schwieriger als die Berechnung von &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; aus &nbsp;$y(t)$,  
 
*auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.
 
*auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.
  
  
{{Definition}}
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{{BlaueBox|TEXT= 
Allgemein gilt für die '''Laplace–Rücktransformation''':
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$\text{Definition:}$&nbsp;
$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}  \hspace{0.15cm} \frac{1}{{\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot   \int_{\alpha-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta}^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} { Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}}\hspace{0.1cm}{\rm
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Allgemein gilt für die&nbsp; '''Laplace–Rücktransformation''':
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:$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}  \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot     \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm
 
  d}p \hspace{0.05cm} .$$
 
  d}p \hspace{0.05cm} .$$
Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse. Der Realteil $α$  muss dabei so gewählt werden, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.
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*Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.  
{{end}}
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*Der Realteil &nbsp;$α$&nbsp; ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.}}
 
 
  
Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen Re{ $p$} $= α$. Lösbar ist dieses Integral mit dem [https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].
 
  
[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png | Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
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[[Datei:P_ID1777__LZI_T_3_3_S2_neu.png |right|frame| Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral]]
  
In diesem Tutorial folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:  
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Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen &nbsp;${\rm Re}\{p\}= α$.&nbsp; Lösbar ist dieses Integral mit dem &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Jordan Jordanschen Lemma der Funktionstheorie].&nbsp; Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:  
*Das Linienintegral kann entsprechend der Skizze in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.  
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*Das Linienintegral kann in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.  
*Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion $y(t)$ für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität muss $y(t < 0)$ identisch 0 sein, was aber nach dem Hauptsatz der Funktionstheorie nur zutrifft, wenn es in der rechten $p$–Halbebene keine Pole gibt.  
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*Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion &nbsp;$y(t)$&nbsp; für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität ist &nbsp;$y(t < 0) \equiv 0$,&nbsp; sein.&nbsp; Dies trifft aber nur dann zu, wenn es in der rechten &nbsp;$p$–Halbebene keine Pole gibt.  
*Das Integral über den linken Halbkreis liefert dagegen die Zeitfunktion für $t ≥ 0$. Dieses umschließt alle Polstellen und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf den nächsten Seiten gezeigt wird.  
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*Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für &nbsp;$t ≥ 0$. Dieses umschließt alle Pole und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf den nächsten Seiten gezeigt wird.  
  
 
==Formulierung des Residuensatzes==
 
==Formulierung des Residuensatzes==
Es wird weiter vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion $Y_{\rm L}(p)$ in Pol–Nullstellen–Form durch  
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*den konstanten Faktor $K$,  
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Es wird weiter vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; in Pol–Nullstellen–Form durch  
*die $Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i} (i =$ 1, ... , $Z$) und  
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*den konstanten Faktor&nbsp; $K$,  
*die $N$ Polstellen $p_{{\rm x}i} (i =$ 1, ... , $N$)  
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*die &nbsp;$Z$&nbsp; Nullstellen &nbsp;$p_{{\rm o}i}$&nbsp; $(i = 1$, ... , $Z)$&nbsp; und  
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*die &nbsp;$N$&nbsp; Polstellen &nbsp;$p_{{\rm x}i}$&nbsp; $(i = 1$, ... , $N$)  
  
  
dargestellt werden kann. Wir setzen zudem $Z < N$ voraus.  
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dargestellt werden kann. Wir setzen zudem &nbsp;$Z < N$&nbsp; voraus.  
  
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Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit &nbsp;$I$.&nbsp; Zur Bestimung von &nbsp;$I$&nbsp; werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.&nbsp; So gilt für die&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Skizze]]&nbsp; im letzten Abschnitt&nbsp; (unter Berücksichtigung des Poles bei &nbsp;$p=0$)&nbsp; aufgrund der doppelten Polstelle: &nbsp;  $N = 5$&nbsp; und &nbsp;$I = 4$.
  
Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit $I$. Zur Bestimung von $I$ werden mehrfache Pole nur einfach gezählt. So gilt für das [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Einige_Ergebnisse_der_Funktionentheorie|Beispiel des letzten Abschnitts]] $N = 5$ und $I = 4$.
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{{BlaueBox|TEXT= 
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$\text{Residuensatz:}$&nbsp;
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Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die&nbsp; '''Laplace–Rücktransformierte'''&nbsp; von &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; für Zeiten&nbsp; $t ≥ 0$&nbsp; als die Summe von&nbsp; $I$&nbsp; Eigenschwingungen der Pole, die man als die&nbsp; '''Residuen'''&nbsp; – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
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:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$
  
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Da&nbsp; $Y_{\rm L}(p)$&nbsp; nur für kausale Signale angebbar ist,&nbsp; gilt für negative Zeiten stets &nbsp;$y(t < 0) = 0$.
  
{{Definition}}
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*Für einen Pol der Vielfachheit &nbsp;$l$&nbsp; gilt allgemein:
'''Residuensatz''': Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die Laplace–Transformierte von $Y_{\rm L}(p)$ für Zeiten $t ≥$ 0 als die Summe von $I$ Eigenschwingungen der Pole, die man als die ''Residuen'' – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:
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:$${\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{ {\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1} }{ {\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1} }\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$
$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$
+
*Als Sonderfall ergibt sich daraus mit &nbsp;$l = 1$&nbsp; für einen einfachen Pol:
 +
:$${\rm Res} \bigg\vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i} )\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$}}
  
Da $Y_{\rm L}(p)$ nur für kausale Signale angebbar ist, gilt für negative Zeiten stets $y(t < 0) = 0$.
 
  
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Auf den nächsten Seiten wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Eigenschaften_der_Pole_und_Nullstellen| $\text{Beispiel 3}$]]&nbsp;  im Kapitel &bdquo;Laplace&ndash;Transformation&rdquo; korrespondieren:
 +
*Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro;H$&nbsp; im Längszweig  sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand&nbsp; $R = 50 \ \rm Ω$&nbsp; und einer Kapazität&nbsp; $C$.
 +
*Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte,&nbsp; nämlich &nbsp;$C = 62.5 \ \rm nF$, &nbsp;$C = 8 \ \rm nF$&nbsp; und &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$.
 +
*Vorausgesetzt ist stets &nbsp;$x(t) = δ(t) \; ⇒  \; X_{\rm L}(p) = 1$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;  $y(t)$&nbsp; ist gleich der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$.
  
Für einen ''Pol der Vielfachheit'' $l$ gilt allgemein:
+
==Aperiodisch abklingende Impulsantwort==
$${\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{{\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1}}{{\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1}}\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \hspace{0.05cm} .$$
+
<br>
Als Sonderfall ergibt sich daraus mit $l = 1$ für einen ''einfachen Pol:''
+
Mit der Kapazität &nbsp;$C = 62.5 \ \rm nF$&nbsp; und den weiteren in der unteren Grafik angegebenen Zahlenwerten erhält man für die auf der Seite &nbsp;[[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Pol.E2.80.93Nullstellen.E2.80.93Darstellung_von_Schaltungen|Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen]]&nbsp;  berechnete&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion:
$${\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \hspace{0.05cm} .$$
+
[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png |right|frame| Abklingende Impulsantwort]]
{{end}}
 
  
 +
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
 +
{(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$
  
 +
Beachten Sie bitte die Normierung von &nbsp;$p$, &nbsp;$K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor &nbsp;${\rm 10^6} · 1/\rm s$.
  
Nachfolgend wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Eigenschaften_der_Pole_und_Nullstellen|Beispielen zur Frequenzbereichsbeschreibung]] korrespondieren. Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität $L = 25 \ \rm μH$ im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand $R = 50 \ \rm Ω$ und einer Kapazität $C$. Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte, nämlich $C = 62.5 \ \rm nF$, $C = 8 \ \rm nF$ und $C = 40 \ \rm nF$.
+
Die Impulsantwort setzt sich aus &nbsp;$I = N = 2$&nbsp; Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$&nbsp; sind diese gleich Null.
 +
*Das Residium des Pols bei &nbsp;$p_{{\rm x}1} =\ –0.4$&nbsp; liefert folgende Zeitfunktion:
 +
:$$h_1(t)  =  {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}1})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}$$
 +
: $$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t)  =  2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot  {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$
 +
*Für das Residium des zweiten Pols bei &nbsp;$p_{{\rm x}2} = \ –1.6$&nbsp; gilt:
 +
:$$h_2(t)  = {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}2})\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t)  = 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}= \frac {32 } {15}\cdot  {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$
  
 +
Die Grafik zeigt &nbsp;$h_1(t)$&nbsp; und &nbsp;$h_2(t)$&nbsp; sowie das Summensignal &nbsp;$h(t)$.
 +
*Berücksichtigt ist auch hier der Normierungsfaktor &nbsp;$1/T = 10^6 · \rm 1/s$,&nbsp; so dass die Zeit auf &nbsp;$T = 1 \ \rm &micro; s$&nbsp; normiert ist.
 +
*Für &nbsp;$t =0$&nbsp; ergibt sich $T \cdot h(t=0) =  {32 }/ {15} -{2 }/ {15}= 2 \hspace{0.05cm}$.&nbsp;
 +
*Für Zeiten &nbsp;$t > 2 \ \rm &micro; s$&nbsp; ist die Impulsantwort  negativ&nbsp; (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).
 +
<br clear=all>
 +
==Gedämpft oszillierende Impulsantwort==
 +
<br>
 +
Die Bauelementewerte &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$, &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro; H$ und &nbsp;$C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei &nbsp;$p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$.&nbsp;
 +
[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png |right|frame| Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
 +
*Die Nullstelle liegt bei &nbsp;$p_{\rm o} = \ –2.5$.
 +
*Es gilt &nbsp;$K = 2$&nbsp; und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor &nbsp;$1/T$&nbsp; zu multiplizieren $(T = 1\ \rm &micro; s$).
  
Vorausgesetzt ist stets $x(t) = δ(t) \; ⇒  \; X_{\rm L}(p) = 1$, so dass $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$ gilt. Damit ist die berechnete Zeitfunktion $y(t)$ gleich der Impulsantwort $h(t)$.
 
  
==Aperiodisch abklingende Impulsantwort==
+
Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
Mit der Kapazität $C = 62.5 \ \rm nF$ und den weiteren in der unteren Grafik angegebenen Zahlenwerten erhält man für die auf der Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion#Pol.E2.80.93Nullstellen.E2.80.93Darstellung_von_Schaltungen|Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen]]  berechnete Übertragungsfunktion:
+
:$$h_1(t) =   K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}} \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} $$
$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 }
+
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) =   2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}
  {(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$
+
  \cdot\hspace{0.05cm}t}$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) =  2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
 +
e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
  
Beachten Sie bitte die Normierung von $p$, $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor ${\rm 10^6} · 1/s$.
+
:$$ h_2(t) =  K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h_2(t) =  2 \cdot \frac {-1 - {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 - {\rm j}\cdot 2) - (-1 + {\rm j}\cdot 2)}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) =2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t}  $$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$
  
[[Datei: P_ID1772__LZI_T_3_3_S3a_kurz.png | Abklingende Impulsantwort]]
+
Mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]]&nbsp; ergibt sich somit für das Summensignal:
 +
:$$h(t) =  h_1(t) + h_2(t)\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) = {\rm  e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())+
 +
  + (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() - {\rm j}\cdot \sin())\big ]$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm  e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$
  
Die Impulsantwort setzt sich aus $I = N = 2$ Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$ sind diese gleich $0$.
+
Die Grafik zeigt die nun mit &nbsp;${\rm e}^{–t}$&nbsp; gedämpft oszillierende Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.
*Das Residium des Pols bei $p_{{\rm x}1} =\  –0.4$ liefert die Zeitfunktion:
+
<br clear=all>
$$\begin{align*} h_1(t) & = {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}1})\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=\\ \hspace{-0.25cm}& = 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot  {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. \end{align*}$$
+
==Aperiodischer Grenzfall==
*In gleicher Weise kann das Residium des Pols $p_{{\rm x}2} = \ –1.6$ berechnet werden:
+
<br>
$$\begin{align*} h_2(t) & =  {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}2})\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=\\ \hspace{-0.25cm}& =  2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}=  \frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. \end{align*}$$
+
Mit &nbsp;$R = 50 \ \rm Ω$, &nbsp;$L = 25 \ \rm &micro; H$&nbsp; und &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$&nbsp; ergibt sich der so genannte aperiodische Grenzfall:
 +
:$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } {(p +1)^2}  \hspace{0.05cm} .$$
  
 +
Der Kapazitätswert &nbsp;$C = 40 \ \rm nF$&nbsp; ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben. &nbsp; Diese fallen zusammen, das heißt &nbsp;$p_{\rm x} = \ –1$&nbsp; ist eine doppelte Polstelle. &nbsp; Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit &nbsp;$l = 2$:
 +
:$$h(t) =  {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}=  \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
 +
\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } =  K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\}  \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$
  
Die Grafik zeigt $h_1(t)$ und $h_2(t)$ sowie das Summensignal $h(t)$. Berücksichtigt ist der Normierungsfaktor $1/T = 10^6 · \rm 1/s$, so dass die Zeit auf $T = 1 \ \rm μs$ normiert ist. Für $t =0$ ergibt sich
+
[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png |right|frame| Impulsantwort&nbsp; (grün)&nbsp; und Sprungantwort&nbsp; (rot)&nbsp; des aperiodischen Grenzfalls]]
$$T \cdot h(t=0) =  {32 }/ {15} -{2 }/ {15}= 2 \hspace{0.05cm} .$$
 
Für Zeiten $t > 2 \ \rm μs$ ist die Impulsantwort – wenn auch nur geringfügig – negativ.
 
  
==Gedämpft oszillierende Impulsantwort==
+
Mit der Produktregel der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
Die Bauelementewerte $R = 50 \ \rm Ω$, $L = 25 \ \rm μH$ und $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$ und $$p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$. Die Nullstelle liegt bei $p_o =$ –2.5, der konstante Faktor beträgt weiterhin $K =$ 2. Alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor $1/T$ zu multiplizieren $(T =$ 1 μs).
+
:$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
 +
\hspace{0.05cm} .$$
  
[[Datei:P_ID1780__LZI_T_3_3_S3b_kurz.png | Gedämpft oszillierende Impulsantwort]]
+
*Die Grafik zeigt diese&nbsp; '''Impulsantwort'''&nbsp; als grüne Kurve in normierter Darstellung.&nbsp; Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei&nbsp; $-0.4$&nbsp; und&nbsp; $-1.6$&nbsp; nur geringfügig.  
  
Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:
+
*Das rot gezeichnete Signal &nbsp;$y(t) = 1 - {\rm  e}^{-t} + t \cdot {\rm  e}^{-t}$&nbsp; ergibt sich, wenn am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt wird.&nbsp;  
$$\begin{align*} h_1(t) &=   ...  = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t}=  2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1}
 
\cdot\hspace{0.05cm}t}=\\ \hspace{-0.25cm}& =  2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm
 
  e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,\end{align*}$$
 
$$\begin{align*}h_2(t) & =  ...  = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}=  2 \cdot \frac {-1 - {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 - {\rm j}\cdot 2) - (-1 + {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}=\\ \hspace{-0.25cm}& = & 2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm  e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . \end{align*}$$
 
  
Mit dem [[Signaldarstellung/Zum_Rechnen_mit_komplexen_Zahlen#Darstellung_nach_Betrag_und_Phase|Satz von Euler]] ergibt sich somit für das Summensignal:
 
$$\begin{align*}h(t)& =  h_1(t) + h_2(t) =\\ \hspace{-0.25cm}& =  {\rm  e}^{-t}\cdot \left [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())+
 
(1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() - {\rm j}\cdot \sin())\right ]=\\ \hspace{-0.25cm}& =  ...  ={\rm  e}^{-t}\cdot \left [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\right ]\hspace{0.05cm} . \end{align*}$$
 
  
 +
Zur Berechnung der&nbsp; '''Sprungantwort''' &nbsp; &nbsp;$\sigma(t) = y(t)$&nbsp; kann man alternativ
 +
:*bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei &nbsp;$p = 0$ &nbsp; (rot markiert) berücksichtigen, oder 
 +
:*das Integral über die Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; bilden.
  
Die Grafik zeigt im unteren Diagramm – wieder geeignet normiert – die nun mit ${\rm e}^{–t}$ gedämpft oszillierende Impulsantwort $h(t)$ für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.
 
  
==Aperiodischer Grenzfall==
+
==Partialbruchzerlegung==
Mit $R =$ 50 Ω, $L =$ 25 Ω und $C =$ 40 nF ergibt sich der aperiodische Grenzfall:
+
<br>
$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } {(p +1)^2}  \hspace{0.05cm} .$$
+
Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt &nbsp; &rArr; &nbsp; $Z$&nbsp; muss stets  kleiner als &nbsp;$N$&nbsp; sein.
  
Der Kapazitätswert $C =$ 40 nF ist der kleinstmögliche, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben. Diese fallen zusammen, das heißt $p_x =$ –1 ist eine doppelte Polstelle.
+
Gilt dagegen wie bei einem Hochpass &nbsp;$Z = N$,&nbsp; so
 +
*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes &nbsp;$p$&nbsp; ungleich Null,  
 +
*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; auch einen &nbsp;[[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracimpuls]], 
 +
*versagt der Residuensatz und es ist eine&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung '''Partialbruchzerlegung''']&nbsp; vorzunehmen.  
  
[[Datei:P_ID1774__LZI_T_3_3_S3c_kurz.png | Impulsantwort und Sprungantwort des aperiodischen Grenzfalls]]
 
  
Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit $l =$ 2:
+
Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.
$$\begin{align*}h(t)& =  {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}=  \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}
 
\left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } = \\ & = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot  {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\}  \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .\end{align*}$$
 
  
Mit der ''Produktregel'' der Differentialrechnung ergibt sich daraus:
+
[[Datei:P_ID1775__LZI_T_3_3_S5_neu.png |right|frame| Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)]]
$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right)
+
{{GraueBox|TEXT=
\hspace{0.05cm} .$$
+
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp;
 +
Die&nbsp; $p$–Übertragungsfunktion eines RC–Hochpasses erster Ordnung  kann durch Abspaltung einer Konstanten wie folgt umgewandelt werden:
 +
:$$\frac{p}{p + RC} = 1- \frac{RC}{p + RC}\hspace{0.05cm} .$$
 +
Damit lautet die Hochpass&ndash;Impulsantwort:
 +
:$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$
  
Die untere Grafik zeigt diese Impulsantwort (grüne Kurve) in normierter Darstellung. Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei –0.4 und –1.6 nur geringfügig.
 
  
Das rot gezeichnete Signal
+
Die Grafik zeigt
$$y(t) =  1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$$
+
*als rote Kurve die Hochpass&ndash;Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm HP}(t)$,
 +
* als blaue Kurve die Impulsantwort &nbsp;$h_{\rm TP}(t)$&nbsp; des äquivalenten Tiefpasses.
  
  
ergibt sich, wenn man zusätzlich eine Sprungfunktion am Eingang berücksichtigt. Zur Berechnung der Sprungantwort kann man alternativ
+
Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes&nbsp; $1$,&nbsp; während die zweite, zu subtrahierende  Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die durch den Residuensatz angebbar ist mit den Parametern
*bei der Residuenberechnung zusätzlich den Pol bei $p =$ 0 berücksichtigen, oder
+
:$$Z = 0,\hspace{0.2cm} N =1,\hspace{0.2cm} K = RC.$$ }}
*das Integral über die Impulsantwort $h(t)$ bilden.
 
  
==Partialbruchzerlegung==
+
==Aufgaben zum Kapitel==
Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss stets $Z$ kleiner als $N$ sein. Gilt dagegen wie bei einem Hochpass $Z = N$, so
 
*ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes $p$ ungleich 0,
 
*beinhaltet das zugehörige Zeitsignal $y(t)$ auch eine [[Signaldarstellung/Einige_Sonderfälle_impulsartiger_Signale#Diracimpuls|Diracfunktion]], 
 
*versagt der Residuensatz und es ist eine Partialbruchzerlegung vorzunehmen.
 
  
 +
[[Aufgaben:Aufgabe_3.5:_Schaltung_mit_R,_L_und_C| Aufgabe 3.5: Schaltung mit R, L und C]]
  
Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.
+
[[Aufgaben:3.5Z_Anwendung_des_Residuensatzes|Aufgabe 3.5Z: Anwendung des Residuensatzes]]
 
 
  
{{Beispiel}}
+
[[Aufgaben:3.6_Einschwingverhalten| Aufgabe 3.6: Einschwingverhalten]]
Die $p$–Übertragungsfunktion eines $RC$–Hochpasses erster Ordnung kann durch Abspaltung einer Konstanten wie folgt umgewandelt werden:
 
$$\frac{p}{p + RC} = 1- \frac{RC}{p + RC}\hspace{0.05cm} .$$
 
Damit lautet die Impulsantwort des Hochpasses:
 
$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$
 
  
Die Grafik zeigt als rote Kurve die Impulsantwort $h_{\rm HP}(t)$ des Hochpasses und als blaue Kurve die Impulsantwort $h_{\rm TP}(t)$ des äquivalenten Tiefpasses.
+
[[Aufgaben:3.6Z_Zwei_imaginäre_Pole|Aufgabe 3.6Z: Zwei imaginäre Pole]]
  
[[Datei:P_ID1775__LZI_T_3_3_S5_neu.png | Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)]]
+
[[Aufgaben:3.7_Hochpass-Impulsantwort| Aufgabe 3.7: Hochpass-Impulsantwort]]
  
Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes „1”, während die zweite Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt und mit $Z =$ 0, $N =$ 1 und $K = RC$ durch den Residuensatz angebbar ist.  
+
[[Aufgaben:3.7Z_Partialbruchzerlegung|Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung]]
{{end}}
 
  
==Quellenverzeichnis==
 
<references/>
 
  
 
{{Display}}
 
{{Display}}

Aktuelle Version vom 18. Oktober 2021, 10:19 Uhr

Problemstellung und Voraussetzungen


$\text{Aufgabenstellung:}$  Dieses Kapitel behandelt das folgende Problem:

  • Bekannt ist die  $p$–Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in der Pol–Nullstellen–Form.
  • Gesucht ist die  Laplace–Rücktransformierte, also die dazugehörige Zeitfunktion  $y(t)$, wobei folgende Notation gelten soll:
$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.3cm}{\rm kurz}\hspace{0.3cm} y(t) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\bullet\quad Y_{\rm L}(p)\hspace{0.05cm} .$$


In der Grafik sind die Voraussetzungen für diese Aufgabenstellung zusammengestellt.

Voraussetzungen für das Kapitel „Laplace–Rücktransformation”
  • $H_{\rm L}(p)$  beschreibt das kausale Übertragungssystem und  $Y_{\rm L}(p)$  gibt die Laplace–Transformierte des Ausgangssignals  $y(t)$  unter Berücksichtigung des Eingangssignals  $x(t)$  an.  $Y_{\rm L}(p)$  ist gekennzeichnet durch  $N$  Pole, durch  $Z ≤ N$  Nullstellen sowie durch die Konstante  $K.$
  • Die Pole und Nullstellen zeigen die im  letzten Kapitel  genannten Eigenschaften:   Pole dürfen nur in der linken  $p$–Halbebene oder auf der imaginären Achse liegen, Nullstellen sind dagegen auch in der rechten  $p$–Halbebene erlaubt.
  • Alle Singularitäten – dies ist der Oberbegriff für Pole und Nullstellen – sind entweder reell oder es treten Paare von konjugiert–komplexen Singularitäten auf.  Mehrfache Pole und Nullstellen sind erlaubt.
  • Verwendet man das Eingangssignal  $x(t) = δ(t)$   ⇒  $ X_{\rm L}(p) = 1 $   ⇒  $ Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$,  so beschreibt  $y(t)$  die Impulsantwort  $h(t)$  des Übertragungssystems.  Zur Berechnung dürfen hierfür nur die in der Grafik grün eingezeichneten Singularitäten herangezogen werden.
  • Eine Sprungfunktion  $x(t) = γ(t) \ \ ⇒ \ \ X_{\rm L} = 1/p$  am Eingang bewirkt, dass das Ausgangssignal  $y(t)$  gleich der  Sprungantwort   $σ(t)$ von $H_{\rm L}(p)$  ist.  Zur Berechnung ist neben den Singularitäten von  $H_{\rm L}(p)$  nun auch die (in der Grafik rot eingezeichnete) Polstelle bei  $p = 0$  zu berücksichtigen.
  • Als Eingang  $x(t)$  sind nur Signale möglich, für die  $X_{ \rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form darstellbar ist   (siehe  Tabelle  im Kapitel „Laplace–Transformation und $p$–Übertragungsfunktion”),  zum Beispiel ein zum Zeitpunkt  $t = 0$  eingeschaltetes Cosinus– oder Sinussignal.
  • Bei der hier beschriebenen Vorgehensweise ist also ein Rechteck als Eingangssignal  $x(t)\ \ ⇒ \ \ X_{\rm L}(p) = (1 - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} T})/p$  nicht möglich.  Die Rechteckantwort  $y(t)$  kann aber als Differenz zweier Sprungantworten indirekt berechnet werden.

Einige Ergebnisse der Funktionentheorie


Im Gegensatz zu den  Fourierintegralen, die sich in den beiden Transformationsrichtungen nur geringfügig unterscheiden, ist bei „Laplace” die Berechnung von  $y(t)$  aus  $Y_{\rm L}(p)$ – also die Rücktransformation –

  • sehr viel schwieriger als die Berechnung von  $Y_{\rm L}(p)$  aus  $y(t)$,
  • auf elementarem Weg nicht oder nur sehr umständlich lösbar.


$\text{Definition:}$  Allgemein gilt für die  Laplace–Rücktransformation:

$$y(t) = {\rm L}^{-1}\{Y_{\rm L}(p)\}= \lim_{\beta \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} \hspace{0.15cm} \frac{1}{ {\rm j} \cdot 2 \pi}\cdot \int_{ \alpha - {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta } ^{\alpha+{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi \beta} Y_{\rm L}(p) \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}\hspace{0.1cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm} .$$
  • Die Integration erfolgt parallel zur imaginären Achse.
  • Der Realteil  $α$  ist so zu wählen, dass alle Pole links vom Integrationsweg liegen.


Linienintegral sowie linkes und rechtes Kreisintegral

Die linke Grafik verdeutlicht dieses Linienintegral entlang der rot gepunkteten Vertikalen  ${\rm Re}\{p\}= α$.  Lösbar ist dieses Integral mit dem  Jordanschen Lemma der Funktionstheorie.  Hier folgt nur eine sehr kurze und einfache Zusammenfassung der Vorgehensweise:

  • Das Linienintegral kann in zwei Kreisintegrale aufgeteilt werden, wobei sämtliche Polstellen im linken Kreisintegral liegen, während das rechte Kreisintegral nur Nullstellen beinhalten darf.
  • Entsprechend der Funktionstheorie liefert das rechte Kreisintegral die Zeitfunktion  $y(t)$  für negative Zeiten. Aufgrund der Kausalität ist  $y(t < 0) \equiv 0$,  sein.  Dies trifft aber nur dann zu, wenn es in der rechten  $p$–Halbebene keine Pole gibt.
  • Das Integral über den linken Halbkreis liefert die Zeitfunktion für  $t ≥ 0$. Dieses umschließt alle Pole und ist mit dem Residuensatz in (relativ) einfacher Weise berechenbar, wie auf den nächsten Seiten gezeigt wird.

Formulierung des Residuensatzes


Es wird weiter vorausgesetzt, dass die Übertragungsfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  in Pol–Nullstellen–Form durch

  • den konstanten Faktor  $K$,
  • die  $Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  $(i = 1$, ... , $Z)$  und
  • die  $N$  Polstellen  $p_{{\rm x}i}$  $(i = 1$, ... , $N$)


dargestellt werden kann. Wir setzen zudem  $Z < N$  voraus.

Die Anzahl der unterscheidbaren Pole bezeichnen wir mit  $I$.  Zur Bestimung von  $I$  werden mehrfache Pole nur einfach gezählt.  So gilt für die  Skizze  im letzten Abschnitt  (unter Berücksichtigung des Poles bei  $p=0$)  aufgrund der doppelten Polstelle:   $N = 5$  und  $I = 4$.

$\text{Residuensatz:}$  Unter den genannten Voraussetzungen ergibt sich die  Laplace–Rücktransformierte  von  $Y_{\rm L}(p)$  für Zeiten  $t ≥ 0$  als die Summe von  $I$  Eigenschwingungen der Pole, die man als die  Residuen  – abgekürzt mit „Res” – bezeichnet:

$$y(t) = \sum_{i=1}^{I}{\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}_i}} \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\} \hspace{0.05cm} .$$

Da  $Y_{\rm L}(p)$  nur für kausale Signale angebbar ist,  gilt für negative Zeiten stets  $y(t < 0) = 0$.

  • Für einen Pol der Vielfachheit  $l$  gilt allgemein:
$${\rm Res} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{1}{(l-1)!}\cdot \frac{ {\rm d}^{\hspace{0.05cm}l-1} }{ {\rm d}p^{\hspace{0.05cm}l-1} }\hspace{0.15cm} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i})^{\hspace{0.05cm}l}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg \vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$
  • Als Sonderfall ergibt sich daraus mit  $l = 1$  für einen einfachen Pol:
$${\rm Res} \bigg\vert_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{-0.7cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x}_i} )\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg \vert _{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x}_i} } \hspace{0.05cm} .$$


Auf den nächsten Seiten wird der Residuensatz anhand dreier ausführlicher Beispiele verdeutlicht, die mit den drei Konstellationen im  $\text{Beispiel 3}$  im Kapitel „Laplace–Transformation” korrespondieren:

  • Wir betrachten also wieder den Vierpol mit einer Induktivität  $L = 25 \ \rm µH$  im Längszweig sowie im Querzweig die Serienschaltung aus einem Ohmschen Widerstand  $R = 50 \ \rm Ω$  und einer Kapazität  $C$.
  • Für Letztere betrachten wir wieder drei verschiedene Werte,  nämlich  $C = 62.5 \ \rm nF$,  $C = 8 \ \rm nF$  und  $C = 40 \ \rm nF$.
  • Vorausgesetzt ist stets  $x(t) = δ(t) \; ⇒ \; X_{\rm L}(p) = 1$   ⇒   $Y_{\rm L}(p) = H_{\rm L}(p)$   ⇒   $y(t)$  ist gleich der Impulsantwort  $h(t)$.

Aperiodisch abklingende Impulsantwort


Mit der Kapazität  $C = 62.5 \ \rm nF$  und den weiteren in der unteren Grafik angegebenen Zahlenwerten erhält man für die auf der Seite  Pol–Nullstellen–Darstellung von Schaltungen  berechnete  $p$–Übertragungsfunktion:

Abklingende Impulsantwort
$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x 1})(p - p_{\rm x 2})}= 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {(p +0.4)(p +1.6 )} \hspace{0.05cm} .$$

Beachten Sie bitte die Normierung von  $p$,  $K$ sowie aller Pole und Nullstellen mit dem Faktor  ${\rm 10^6} · 1/\rm s$.

Die Impulsantwort setzt sich aus  $I = N = 2$  Eigenschwingungen zusammen. Für $t < 0$  sind diese gleich Null.

  • Das Residium des Pols bei  $p_{{\rm x}1} =\ –0.4$  liefert folgende Zeitfunktion:
$$h_1(t) = {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}1})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +0.4}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.4}= - \frac {2 } {15}\cdot {\rm e}^{-0.4 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$
  • Für das Residium des zweiten Pols bei  $p_{{\rm x}2} = \ –1.6$  gilt:
$$h_2(t) = {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}} \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}2})\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = 2 \cdot \frac {p + 0.32 } {p +1.6}\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1.6}= \frac {32 } {15}\cdot {\rm e}^{-1.6 \hspace{0.05cm} t} \hspace{0.05cm}. $$

Die Grafik zeigt  $h_1(t)$  und  $h_2(t)$  sowie das Summensignal  $h(t)$.

  • Berücksichtigt ist auch hier der Normierungsfaktor  $1/T = 10^6 · \rm 1/s$,  so dass die Zeit auf  $T = 1 \ \rm µ s$  normiert ist.
  • Für  $t =0$  ergibt sich $T \cdot h(t=0) = {32 }/ {15} -{2 }/ {15}= 2 \hspace{0.05cm}$. 
  • Für Zeiten  $t > 2 \ \rm µ s$  ist die Impulsantwort negativ  (wenn auch nur geringfügig und in der Grafik nur schwer zu erkennen).


Gedämpft oszillierende Impulsantwort


Die Bauelementewerte  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$ und  $C = 8 \ \rm nF$ ergeben zwei konjugiert komplexe Pole bei  $p_{{\rm x}1} = \ –1 + {\rm j} · 2$  und  $p_{{\rm x}2} = \ –1 - {\rm j} · 2$. 

Gedämpft oszillierende Impulsantwort
  • Die Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = \ –2.5$.
  • Es gilt  $K = 2$  und alle Zahlenwerte sind wieder mit dem Faktor  $1/T$  zu multiplizieren $(T = 1\ \rm µ s$).


Wendet man den Residuensatz auf diese Konfiguration an, so erhält man:

$$h_1(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 1} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 1} - p_{\rm x 2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot \hspace{0.05cm}t} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {-1 + {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 + {\rm j}\cdot 2) - (-1 - {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_1(t) = 2 \cdot \frac {1.5 + {\rm j}\cdot 2} {{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 1} \cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} ,$$
$$ h_2(t) = K \cdot \frac {p_{\rm x 2} - p_{\rm o }} {p_{\rm x 2} - p_{\rm x 1}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.05cm}t} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} h_2(t) = 2 \cdot \frac {-1 - {\rm j}\cdot 2 +2.5} {(-1 - {\rm j}\cdot 2) - (-1 + {\rm j}\cdot 2)}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) =2 \cdot \frac {1.5 - {\rm j}\cdot 2} {-{\rm j}\cdot 4}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{\rm x 2} \hspace{0.03cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}= (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} $$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h_2(t) = (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot {\rm e}^{-t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2t} \hspace{0.05cm} . $$

Mit dem  Satz von Euler  ergibt sich somit für das Summensignal:

$$h(t) = h_1(t) + h_2(t)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) = {\rm e}^{-t}\cdot \big [ (1 - {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() + {\rm j}\cdot \sin())+ + (1 + {\rm j}\cdot 0.75)\cdot (\cos() - {\rm j}\cdot \sin())\big ]$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h(t) ={\rm e}^{-t}\cdot \big [ 2\cdot \cos(2t) + 1.5 \cdot \sin(2t)\big ]\hspace{0.05cm} . $$

Die Grafik zeigt die nun mit  ${\rm e}^{–t}$  gedämpft oszillierende Impulsantwort  $h(t)$  für diese Pol–Nullstellen–Konfiguration.

Aperiodischer Grenzfall


Mit  $R = 50 \ \rm Ω$,  $L = 25 \ \rm µ H$  und  $C = 40 \ \rm nF$  ergibt sich der so genannte aperiodische Grenzfall:

$$H_{\rm L}(p)= K \cdot \frac {p - p_{\rm o }} {(p - p_{\rm x })^2}= 2 \cdot \frac {p + 0.5 } {(p +1)^2} \hspace{0.05cm} .$$

Der Kapazitätswert  $C = 40 \ \rm nF$  ist der kleinstmögliche Wert, für den sich gerade noch reelle Polstellen ergeben.   Diese fallen zusammen, das heißt  $p_{\rm x} = \ –1$  ist eine doppelte Polstelle.   Die Zeitfunktion lautet somit entsprechend dem Residuensatz mit  $l = 2$:

$$h(t) = {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{-0.7cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}= \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm} \left \{H_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{ {\rm x} })^2\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } = K \cdot \frac{ {\rm d} }{ {\rm d}p}\hspace{0.15cm}\left \{ (p - p_{ {\rm o} })\cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t}\right\} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{ {\rm x} } } \hspace{0.05cm} .$$
Impulsantwort  (grün)  und Sprungantwort  (rot)  des aperiodischen Grenzfalls

Mit der Produktregel der Differentialrechnung ergibt sich daraus:

$$h(t) = K \cdot \left [ {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} + (p - p_{ {\rm o} })\cdot t \cdot {\rm e}^{p \hspace{0.05cm}t} \right ] \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1} = {\rm e}^{-t}\cdot \left ( 2 - t \right) \hspace{0.05cm} .$$
  • Die Grafik zeigt diese  Impulsantwort  als grüne Kurve in normierter Darstellung.  Sie unterscheidet sich von derjenigen mit den beiden unterschiedlichen Polen bei  $-0.4$  und  $-1.6$  nur geringfügig.
  • Das rot gezeichnete Signal  $y(t) = 1 - {\rm e}^{-t} + t \cdot {\rm e}^{-t}$  ergibt sich, wenn am Eingang zusätzlich eine Sprungfunktion berücksichtigt wird. 


Zur Berechnung der  Sprungantwort    $\sigma(t) = y(t)$  kann man alternativ

  • bei der Residuenberechnung einen zusätzlichen Pol bei  $p = 0$   (rot markiert) berücksichtigen, oder
  • das Integral über die Impulsantwort  $h(t)$  bilden.


Partialbruchzerlegung


Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt   ⇒   $Z$  muss stets kleiner als  $N$  sein.

Gilt dagegen wie bei einem Hochpass  $Z = N$,  so

  • ist der Grenzwert der Spektralfunktion für großes  $p$  ungleich Null,
  • beinhaltet das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  auch einen  Diracimpuls,
  • versagt der Residuensatz und es ist eine  Partialbruchzerlegung  vorzunehmen.


Die Vorgehensweise soll beispielhaft für einen Hochpass erster Ordnung verdeutlicht werden.

Impulsantwort von Tiefpass (blau) und Hochpass (rot)

$\text{Beispiel 1:}$  Die  $p$–Übertragungsfunktion eines RC–Hochpasses erster Ordnung kann durch Abspaltung einer Konstanten wie folgt umgewandelt werden:

$$\frac{p}{p + RC} = 1- \frac{RC}{p + RC}\hspace{0.05cm} .$$

Damit lautet die Hochpass–Impulsantwort:

$$h_{\rm HP}(t) = \delta(t) - h_{\rm TP}(t) \hspace{0.05cm} .$$


Die Grafik zeigt

  • als rote Kurve die Hochpass–Impulsantwort  $h_{\rm HP}(t)$,
  • als blaue Kurve die Impulsantwort  $h_{\rm TP}(t)$  des äquivalenten Tiefpasses.


Die Diracfunktion ist die Laplace–Transformierte des konstanten Wertes  $1$,  während die zweite, zu subtrahierende Funktion die Impulsantwort des äquivalenten Tiefpasses angibt, die durch den Residuensatz angebbar ist mit den Parametern

$$Z = 0,\hspace{0.2cm} N =1,\hspace{0.2cm} K = RC.$$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.5: Schaltung mit R, L und C

Aufgabe 3.5Z: Anwendung des Residuensatzes

Aufgabe 3.6: Einschwingverhalten

Aufgabe 3.6Z: Zwei imaginäre Pole

Aufgabe 3.7: Hochpass-Impulsantwort

Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung