Lineare zeitinvariante Systeme/Eigenschaften von Koaxialkabeln

1. Lineare zeitinvariante Systeme
2. Eigenschaften elektrischer Leitungen
3. Eigenschaften von Koaxialkabeln

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Übertragungsmaß von Koaxialkabeln

Koaxialkabel bestehen aus einem Innenleiter und – durch ein Dielektrikum getrennt – einem Außenleiter.  Es wurden zwei unterschiedliche Kabeltypen standardisiert,  wobei zur Kennzeichnung die Durchmesser von Innen– und Außenleiter genannt werden:

• das  „Normalkoaxialkabel”,  dessen Innenleiter einen Durchmesser von  $\text{2.6 mm}$  besitzt und dessen Außendurchmesser  $\text{9.5 mm}$  beträgt,
• das  „Kleinkoaxialkabel” mit den Abmessungen  $\text{1.2 mm}$  und  $\text{4.4 mm}$.

Der Kabelfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  ergibt sich aus der Kabellänge  $l$  und dem Übertragungsmaß

$$\gamma(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}+ {\rm j}\cdot (\beta_1 \cdot f + \beta_2 \cdot \sqrt {f})\hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-\gamma(f)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = {\rm e}^{-\alpha(f)\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l}\hspace{0.05cm}.$$

Die kabelspezifischen Konstanten für das  Normalkoaxialkabel  $\text{(2.6/9.5 mm)}$  sind:

$$\begin{align*}\alpha_0 & = 0.00162\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000435\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}, \\ \beta_1 & = 21.78\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.2722\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } } \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Entsprechend lauten die kilometrischen Dämpfungs– und Phasenkonstanten für das  Kleinkoaxialkabel  $\text{(1.2/4.4 mm)}$:

$$\begin{align*}\alpha_0 & = 0.00783\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.000443\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.5984\, \frac{ {\rm Np} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}, \\ \beta_1 & = 22.18\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.5984\, \frac{ {\rm rad} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } } \hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Diese Werte können aus den geometrischen Abmessungen der Kabel berechnet werden und wurden durch Messungen am Fernmeldetechnischen Zentralamt in Darmstadt bestätigt – siehe [Wel77].  Sie gelten für eine Temperatur von  $20^\circ\ \text{C (293 K)}$  und Frequenzen größer als  $\text{200 kHz}$. 

Es besteht folgender Zusammenhang zu den  Leitungsbelägen:

• Die vom frequenzunabhängigem Anteil  $R\hspace{0.05cm}’$  herrührenden Ohmschen Verluste werden durch den Parameter  $α_0$  modelliert und verursachen eine  (bei Koaxialkabeln geringe)  frequenzunabhängige Dämpfung.
• Der Anteil  $α_1 · f$  des Dämpfungsmaßes ist auf die Ableitungsverluste  $(G\hspace{0.08cm}’)$  zurückzuführen und der frequenzproportionale Term  $β_1 · f$  bewirkt nur eine Laufzeit, aber keine Verzerrungen.
• Die Anteile  $α_2$  und  $β_2$  gehen auf den  Skineffekt zurück,  der bewirkt, dass bei höherfrequentem Wechselstrom die Stromdichte im Leiterinneren niedriger ist als an der Oberfläche.  Dadurch steigt der Widerstandsbelag  $R\hspace{0.05cm}’$  einer elektrischen Leitung mit der Wurzel aus der Frequenz an.

Charakteristische Kabeldämpfung

Die Grafik zeigt den frequenzabhängigen Dämpfungsverlauf für das Normalkoaxialkabel und das Kleinkoaxialkabel.  Links dargestellt ist das Dämpfungsmaß für die zwei Koaxialkabeltypen im Frequenzbereich bis  $\text{500 MHz}$:

Dämpfungsmaß  (links)  und charakteristische Dämpfung  (rechts)  von Koaxialkabeln $FEHLER$

$${\alpha}_{\rm K}(f) \hspace{-0.05cm} = \alpha_0 \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} \alpha_1 \cdot f \hspace{-0.05cm}+ \hspace{-0.05cm} \alpha_2 \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\sqrt {f} \hspace{0.01cm} \hspace{0.01cm}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_{\rm K}(f) =\alpha_{\rm K}(f) \cdot l $$

Anmerkungen zur hier gewählten Darstellung

• Um den Unterschied zwischen Dämpfungsmaß  „alpha”  und Dämpfungsfunktion  „a”  (nach Multiplikation mit der Länge)  besser erkennbar zu machen, ist die Dämpfungsfunktion hier mit  ${\rm a}_{\rm K}(f)$  geschrieben und nicht (kursiv) als  ${a}_{\rm K}(f)$.
• Die Ordinatenbeschriftung ist hier in „Np/km” angegeben.  Oft erfolgt sie auch in „dB/km”, wobei folgende Umrechnung gilt:

$$\ln(10)/20 = 0.11513\text{...} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 1 \ \rm dB = 0.11513\text{... Np.} $$

Interpretation der linken Grafik

• Man erkennt aus den dargestellten Kurven, dass der Fehler bei Vernachlässigung des frequenzunabhängigen Anteils  $α_0$  und des frequenzproportionalen Terms  $(α_1\cdot f)$  noch tolerabel ist. 
• Im Folgenden gehen wir deshalb von der folgenden vereinfachten Dämpfungsfunktion aus:

$${\rm a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot \sqrt {f} \cdot l = {\rm a}_{\rm \star}\cdot \sqrt { {2f}/{R}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = {\rm e}^{- {\rm a}_{\rm K}(f)}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} {\rm a}_{\rm K}(f)\hspace{0.15cm}{\rm in }\hspace{0.15cm}{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

$\text{Definition:}$  Als  charakteristische Kabeldämpfung  $\rm a_∗$  bezeichnen wir die Dämpfung eines Koaxialkabels bei der halben Bitrate allein aufgrund des  $α_2$–Terms   ⇒   „Skineffekt”,  also unter Vernachlässigung des  $α_0$–  und des  $α_1$–Terms:

$${\rm a}_{\rm \star} = {\rm a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = \alpha_2 \cdot \sqrt {{R}/{2}} \cdot l\hspace{0.05cm}.$$

Diese Größe eignet sich insbesondere für den Vergleich verschiedener leitungsgebundener Übertragungssysteme mit unterschiedlichen

• Koaxialkabelkabeltypen  (zum Beispiel Normal– oder Kleinkoaxialkabel),  jeweils gekennzeichnet durch den Parameter  $\alpha_2$,
• Bitraten  $(R)$  und
• Kabellängen  $(l)$.

Interpretation der rechten Grafik

Das rechte Diagramm zeigt die charakteristische Kabeldämpfung  $\rm a_∗$  in „Neper”  (Np) in Abhängigkeit der Bitrate  $R$  und der Kabellänge  $l$

• beim Normalkoaxialkabel  (linke Ordinatenbeschriftung) und
• beim Kleinkoaxialkabel  (rechte Ordinatenbeschriftung).

In dieser Grafik eingezeichnet sind die vom  "CCITT"  (Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique)  in den 1970–Jahren vorgeschlagenen PCM–Systeme der Hierarchiestufen  $3$  bis  $5$. Man erkennt:

• Bei all diesen Systemen zur PCM–Sprachübertragung nimmt die charakteristische Kabeldämpfung Werte zwischen  $7 \ \rm Np \ \ (≈ 61 \ dB)$  und  $10.6 \ \rm Np \ \ (≈ 92 \ dB)$  an.
• Das System  $\text{PCM 480}$  – ausgelegt für 480 gleichzeitige Telefonate – mit der Bitrate  $R ≈ 35 \ \rm Mbit/s$  wurde sowohl für das Normalkoaxialkabel  $($mit  $l = 9.3 \ \rm km)$  als auch für das Kleinkoaxialkabel  $($mit  $l = 4 \ \rm km)$  spezifiziert. Die   $\rm a_∗$–Werte  $10.4\ \rm Np$  bzw.  $9.9\ \rm Np$  liegen in der gleichen Größenordnung.
• Das Übertragungssystem  $\text{PCM 1920}$  der vierten Hierarchiestufe  (spezifiziert für das Normalkoaxialkabel)  mit  $R ≈ 140 \ \rm Mbit/s$  und  $l = 4.65 \ \rm km$ wird durch  $\rm a_∗ = 10.6 \ \rm Np$  bzw.  $10.6 \ {\rm Np}· 8.688 \ \rm dB/Np ≈ 92\ \rm dB$  parametrisiert.
• Obwohl das System  $\text{PCM 7680}$  demgegenüber zwar die vierfache Bitrate  $R ≈ 560 \ \rm Mbit/s$  aufweist, ist die charakteristische Kabeldämpfung mit  $\rm a_∗ ≈ 61 \ dB$  aufgrund des besseren Mediums „Normalkoaxialkabel” und der um den Faktor  $3$  kürzeren Kabelabschnitte  $(l = 1.55 \ \rm km)$  deutlich geringer.
• Aus diesen Zahlenwerten geht auch hervor, dass bei Koaxialkabelsystemen die Kabellänge  $l$  kritischer ist als die Bitrate  $R$.  Will man die Kabellänge verdoppeln, muss man die Bitrate um den Faktor  $4$  herabsetzen.

Die hier beschriebene Thematik können Sie sich mit dem interaktiven Applet  Dämpfung von Kupferkabeln  verdeutlichen.

Impulsantwort eines Koaxialkabels

Zur Berechnung der Impulsantwort können von den fünf Anteilen des Übertragungsmaßes die beiden ersten Dämpfungsanteile vernachlässigt werden  (die Begründung finden Sie im vorherigen Abschnitt).  Wir gehen also von folgender Gleichung aus:

$$\gamma(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + {\rm j} \cdot \beta_1 \cdot f +\alpha_2 \cdot \sqrt {f}+ {\rm j}\cdot \beta_2 \cdot \sqrt {f} \approx {\rm j} \cdot \beta_1 \cdot f +\alpha_2 \cdot \sqrt {f}+ {\rm j}\cdot \beta_2 \cdot \sqrt {f} \hspace{0.05cm}.$$

Unter Berücksichtigung

• der Kabellänge  $l$,
• der charakteristischen Kabeldämpfung  $\rm a_∗$  und
• der Tatsache, dass  $α_2$  (in Np) und  $β_2$  (in rad) zahlenmäßig gleich sind,

gilt somit für den Frequenzgang des Koaxialkabels:

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} b_1 f} \cdot {\rm e}^{-{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \sqrt{2f/R} }\cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.02cm} \sqrt{2f/R}}= {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} b_1 f} \cdot {\rm e}^{-2{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \sqrt{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f/R}} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei sind folgende Abkürzungen verwendet:

$$b_1\hspace{0.1cm}{(\rm in }\hspace{0.15cm}{\rm rad)}= \beta_1 \cdot l \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} {\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.1cm}{(\rm in }\hspace{0.15cm}{\rm Np)}= \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$$

Zur Zeitbereichsdarstellung kommt man durch Anwendung der  Fourierrücktransformation  und des  Faltungssatzes:

$$h_{\rm K}(t) = \mathcal{F}^{-1} \left \{ {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} b_1 f}\right \} \star\mathcal{F}^{-1} \left \{ {\rm e}^{-2{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \sqrt{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f/R} }\right \} \hspace{0.05cm}.$$

Zu berücksichtigen ist hierbei:

• Der erste Term liefert die um die Phasenlaufzeit  $τ_{\rm P} = b_1/2π$  verschobene Diracfunktion  $δ(t – τ_{\rm P})$.
• Der zweite Term lässt sich analytisch geschlossen angeben.  Wir schreiben hierfür  $h_{\rm K}(t + τ_P)$,  sodass die Phasenlaufzeit  $τ_{\rm P}$  nicht weiter berücksichtigt werden muss.

$$h_{\rm K}(t + \tau_{\rm P}) = \frac {{\rm a}_{\rm \star}}{\pi \cdot \sqrt{2 \cdot R \cdot t^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {{\rm a}_{\rm \star}^2}{ {2\pi \cdot R\cdot t}} \right ]\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}{\rm in\hspace{0.15cm} Np}\hspace{0.05cm}.$$

• Da auch die Bitrate  $R$  bereits bei der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_∗$  berücksichtigt wurde,  lässt sich diese Gleichung mit der normierten Zeit  $t\hspace{0.05cm}' = t/T$  einfach darstellen:

$$h_{\rm K}(t\hspace{0.05cm}' + \tau_{\rm P}\hspace{0.05cm} ') = \frac {1}{T} \cdot \frac {{\rm a}_{\rm \star}}{\pi \cdot \sqrt{2 \cdot t\hspace{0.05cm}'\hspace{0.05cm}^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {{\rm a}_{\rm \star}^2}{ {2\pi \cdot t\hspace{0.05cm}'}} \right ]\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm}{\rm in\hspace{0.15cm} Np}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $T = 1/R$  die Symboldauer eines Binärsystems und es gilt  $τ_{\rm P} \hspace{0.05cm}' = τ_{\rm P}/T$.

$\text{Beispiel 1:}$  Die Ergebnisse dieser Seite werden durch die folgende Grafik beispielhaft verdeutlicht.

Impulsantwort eines Koaxialkabels mit der charakterischten Dämpfung  $\rm a_∗ = 60 \ dB$

• Dargestellt ist die normierte Impulsantwort  $T · h_{\rm K}(t)$  eines Koaxialkabels mit  $\rm a_∗ = 60 \ dB \ \ (6.9\ Np)$.
• Die Dämpfungsmaßparameter  $α_0$  und  $α_1$  können somit vernachlässigt werden, wie auf der letzten Seite gezeigt wurde.
• Für die linke Grafik wurde zudem der Parameter  $β_1 = 0$  gesetzt.

Wegen der Parametrisierung durch den hierfür geeigneten Koeffizienten  $\rm a_∗$  und der Normierung der Zeit auf die Symboldauer  $T$  gilt die linke Kurve für Systeme mit Klein– bzw. Normalkoaxialkabel, verschiedene Längen und unterschiedliche Bitraten gleichermaßen,  zum Beispiel für

• das Normalkoaxialkabel  $\text{2.6/9.5 mm}$,  Bitrate  $R = 140 \ \rm Mbit/s$,  Kabellänge  $l = 3 \ \rm km$   ⇒   System  $\rm A$,
• das Kleinkoaxialkabel  $\text{1.2/4.4 mm}$,  Bitrate  $R = 35 \ \rm Mbit/s$, Kabellänge  $l = 2.8 \ \rm km$   ⇒   System  $\rm B$.

Man erkennt, dass sich selbst bei dieser moderaten Kabeldämpfung  $\rm a_∗ = 60 \ \rm dB$  die Impulsantwort aufgrund des Skineffektes  $(α_2 = β_2 ≠ 0)$  schon über mehr als  $200$  Symboldauern erstreckt.  Da das Integral über  $h_{\rm K}(t)$  gleich  $H_{\rm K}(f = 0) = 1$  ist,  wird der Maximalwert sehr klein:

$${\rm Max}\big [h_{\rm K}(t)\big ] \approx 0.03.$$

In der rechten Grafik sind die Auswirkungen des Phasenparameters  $β_1$  zu sehen.  Beachten Sie die unterschiedlichen Zeitmaßstäbe der linken und der rechten Skizze:

• Beim System  $\rm A$  $(β_1 = 21.78 \ \rm rad/(km · MHz)$,  $T = 7.14\ \rm ns)$  führt  $β_1$  zu einer Laufzeit von

$$\tau_{\rm A}= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =\frac {21.78\, { {\rm rad} }/{ {(\rm km \cdot MHz)} }\cdot 3\,{\rm km} }{2\pi} = 10.4\,{\rm µ s}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau_{\rm A}\hspace{0.05cm}' = {\tau_{\rm A} }/{T} \approx 1457\hspace{0.05cm}.$$

• Dagegen erhält man für das System  $\rm B$  $(β_1 = 22.18 \ \rm rad/(km · MHz)$,  $T = 30 \ \rm ns)$:

$$\tau_{\rm B}= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} =\frac {22.18\, { {\rm rad} }/{ {(\rm km \cdot MHz)} }\cdot 2.8\,{\rm km} }{2\pi} = 9.9\,{\rm µ s}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau_{\rm B}\hspace{0.05cm}' ={\tau_{\rm B} }/{T} \approx 330\hspace{0.05cm}.$$

Obwohl hier  $τ_{\rm A} ≈ τ_{\rm B}$  gilt, ergeben sich wegen der Zeitnormierung auf  $T = 1/R$  völlig unterschiedliche Verhältnisse.

$\text{Fazit:}$  Bei der Simulation und Optimierung von Nachrichtensystemen verzichtet man meist auf den Phasenterm mit  $b_1 = β_1 · l$,  da dieser ausschließlich eine  (oft nicht störende)  Laufzeit zur Folge hat, aber keine Signalverzerrung.

Empfangsgrundimpuls

Mit dem Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  und der Impulsantwort  $h_{\rm K}(t)$  ergibt sich für den Empfangsgrundimpuls:

$$g_r(t) = g_s(t) \star h_{\rm K}(t)\hspace{0.05cm}.$$

Verwendet man am Sender einen NRZ–Rechteckimpuls  $g_s(t)$  mit Amplitude  $s_0$  und Dauer  $Δt_s = T$,  so ergibt sich für den Grundimpuls am Ausgang des Koaxialkabels:

$$g_r(t) = 2 s_0 \cdot \left [ {\rm Q} \left (\frac {{\rm a}_{\rm \star}/\sqrt {\pi}}{ \sqrt{ (t/T - 0.5)}}\right ) - {\rm Q} \left (\frac {{\rm a}_{\rm \star}/\sqrt {\pi}}{ \sqrt{ (t/T + 0.5)}}\right ) \right ]\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet  $\rm a_∗$  die charakteristische Kabeldämpfung in Neper und  ${\rm Q}(x)$  die  komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion.

$\text{Beispiel 2:}$  Die Abbildung zeigt für die charakteristischen Kabeldämpfungen   $\rm a_∗ = 40 \ \rm dB$, ... ,  $100 \ \rm dB$   (kleinere  $\rm a_∗$–Werte sind nicht praxisrelevant)  jeweils

Impulsantwort und Rechteckantwort  (Empfangsgrundimpuls)  des Koaxialkabels

• die normierte Koaxialkabelimpulsantwort  $T · h_{\rm K}(t)$  
  ⇒   Impulsantwort  (durchgezogene Kurven),
• den auf die Sendeamplitude  $s_0$  normierten Empfangsgrundimpuls  $g_r(t)$  
  ⇒   Rechteckantwort  (gepunktete Linie).

Man erkennt:

• Mit  $\rm a_∗ = 40 \ \rm dB$  ist die normierte Rechteckantwort  $g_r(t)/s_0$  an der Spitze geringfügig  (etwa um den Faktor $0.95)$  kleiner als die normierte Impulsantwort  $T · h_{\rm K}(t)$.  Hier gibt es eine kleine Differenz zwischen Impulsantwort und Rechteckantwort.
• Dagegen sind für den Fall  $a_∗ ≥ 60 \ \rm dB$  die Rechteckantwort und die Impulsantwort innerhalb der Zeichengenauigkeit nicht zu unterscheiden.
• Bei einem RZ–Sendegrundimpuls wäre die obige Gleichung noch mit dem Tastverhältnis  $Δt_s/T$  zu multiplizieren.  In diesem Fall ist  $g_r(t)/s_0$  mindestens um diesen Faktor kleiner als  $T · h_{\rm K}(t)$.
• Die so modifizierte Gleichung stellt auch eine gute Näherung für andere Sendegrundimpulse dar, so lange  $\rm a_∗≥ 60 \ \rm dB$  hinreichend groß ist.  $Δt_s$  gibt dann die äquivalente Impulsdauer  des Sendegrundimpulses an.

Wir weisen Sie auf das interaktive SWF–Applet  Zeitverhalten von Kupferkabeln  hin,  das die hier behandelte Thematik zum Inhalt hat.

Besonderheiten von Koaxialkabelsystemen

Geht man von binärer Übertragung mit NRZ–Rechteckimpulsen  $($Symboldauer $T)$  und einem koaxialen Übertragungskanal aus,  so ergibt sich das folgende Systemmodell:

Binäres Übertragungssystem mit Koaxialkabel

Insbesondere ist zu beachten:

• Bei einer Simulation lässt man zweckmäßigerweise die Laufzeit des Koaxialkabels außer Betracht.
• Dann gilt für den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t)$  mit $({\rm a}_{\rm \star}$ in Neper$)$  näherungsweise:

$$g_r(t) \approx s_0 \cdot T \cdot h_{\rm K}(t) = \frac {s_0 \cdot {\rm a}_{\rm \star}/\pi}{ \sqrt{2 \cdot(t/T)^3}}\cdot {\rm e}^{ -{{\rm a}_{\rm \star}^2}/( {2\pi \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t/T}) } \hspace{0.05cm}.$$

• Wegen der guten Abschirmung der Koaxialkabel gegenüber anderen Störungen ist das  thermische Rauschen  die dominante Störursache. 
• Das Störsignal  $n(t)$  ist in diesem Fall gaußverteilt und weiß und wird durch die (zweiseitige) Rauschleistungsdichte  $N_0/2$  beschrieben.
• Der weitaus größte Rauschanteil entsteht in der Eingangsstufe des Empfängers.  Man addiert deshalb zweckmäßigerweise das Rauschsignal  $n(t)$  an der Schnittstelle  „Kabel ⇒ Empfänger”.  Mit den Amplitudenkoeffizienten  $a_{\nu}$  gilt dann für das Empfangssignal:

$$r(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+ \infty}a_{\nu}\cdot g_r(t - \nu \cdot T)+ n(t) \hspace{0.05cm} .$$

• Dieser Rauschadditionspunkt ist auch deshalb sinnvoll,  da durch den Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  alle entlang des Kabels akkumulierten Rauschstörungen entscheidend gedämpft werden.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.4: Koaxialkabel – Frequenzgang

Aufgabe 4.5: Koaxialkabel – Impulsantwort

Aufgabe 4.5Z: Nochmals Impulsantwort