Aufgaben:Aufgabe 4.4: Koaxialkabel – Frequenzgang: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:LZI_A_4_4_vers3.png|right|Verschiedene Koaxialkabel]] | + | [[Datei:LZI_A_4_4_vers3.png|right|frame|Verschiedene Koaxialkabel]] |
− | Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge $l$ mit | + | Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge $l$ mit |
− | *dem Kerndurchmesser 2.6 mm, | + | *dem Kerndurchmesser $\text{2.6 mm}$, und |
− | *dem Außendurchmesser 9.5 mm | + | *dem Außendurchmesser $\text{9.5 mm}$ |
+ | |||
besitzt den folgenden Frequenzgang: | besitzt den folgenden Frequenzgang: | ||
− | $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot | + | :$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot |
{\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot | {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot | ||
{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
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{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$ | \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer” (Np/km) einzusetzen und die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte: | + | Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer” (Np/km) einzusetzen und die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte: |
− | $$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm}, | + | :$$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$ |
− | + | :$$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$ | |
− | + | :$$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$ | |
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− | + | Zur systemtheoretischen Beschreibung eines Koaxialkabels verwendet man | |
− | * die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB): | + | * die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB): |
− | $${ | + | :$${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| |
\hspace{0.05cm},$$ | \hspace{0.05cm},$$ | ||
− | * die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad): | + | * die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad): |
− | $$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) | + | :$$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) |
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
In der Praxis benutzt man häufig die Näherung | In der Praxis benutzt man häufig die Näherung | ||
− | $$H_{\rm K}(f) = | + | :$$H_{\rm K}(f) = |
{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
\sqrt{f}} \cdot | \sqrt{f}} \cdot | ||
{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
− | \sqrt{f}} | + | \sqrt{f}}$$ |
− | \sqrt{f}, \hspace{0. | + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot |
+ | \sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot | ||
{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$ | {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden. Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel) | + | Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden. |
− | $${ | + | |
− | lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln. | + | Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel) |
+ | :$${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$ | ||
+ | lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln. | ||
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− | + | Hinweise: | |
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Eigenschaften_von_Koaxialkabeln|Eigenschaften von Koaxialkabeln]]. |
− | + | ||
− | *Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das | + | *Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive "HTML 5/JS"–Applet [[Applets:Dämpfung_von_Kupferkabeln|Dämpfung von Kupferkabeln]] benutzen. |
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Welche Terme von $H_{\rm} | + | {Welche Terme von $H_{\rm K}(f)$ führen zu keinen Verzerrungen? Der |
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+ $\alpha_0$–Term, | + $\alpha_0$–Term, | ||
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- $\alpha_2$–Term, | - $\alpha_2$–Term, | ||
+ $\beta_1$–Term, | + $\beta_1$–Term, | ||
− | - $\beta_2$–Term | + | - $\beta_2$–Term. |
− | {Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $1\%$ gedämpft wird? | + | {Welche Länge $l_{\rm max}$ könnte ein solches Kabel besitzen, damit ein Gleichsignal um nicht mehr als $1\%$ gedämpft wird? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $l_\text{max} \ = $ { 6.173 3% } $\ \rm km$ | + | $l_\text{max} \ = \ $ { 6.173 3% } $\ \rm km$ |
− | {Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz $f = 70 \ \rm MHz$, wenn die Kabellänge $l = 2 \ \rm km$ beträgt? | + | {Welche Dämpfung (in Np) ergibt sich bei der Frequenz $f = 70 \ \rm MHz$, wenn die Kabellänge $\underline{l = 2 \ \rm km}$ beträgt? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.619 3% } $\ \rm Np$ |
− | {Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen, wenn man nur den | + | {Welche Dämpfung ergibt sich bei sonst gleichen Voraussetzungen, wenn man nur den $\alpha_2$–Term berücksichtigt? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 4.555 3% } $\ \rm Np$ |
− | {Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen Np und dB? Welcher dB–Wert ergibt sich für die unter | + | {Wie lautet die Formel für die Umrechnung zwischen $\rm Np$ und $\rm dB$? Welcher $\rm dB$–Wert ergibt sich für die unter '''(4)''' berechnete Dämpfung? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $a_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) \ = \ $ { 39.56 3% } $\ \rm dB$ |
− | {Welche | + | {Welche Aussagen sind zutreffend, wenn man sich bezüglich der Dämpfungsfunktion auf den $\alpha_2$–Wert beschränkt? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Man kann auch auf den Phasenterm mit $\beta_1$ verzichten. | + | + Man kann auch auf den Phasenterm mit $\beta_1$ verzichten. |
− | - Man kann auch auf den Phasenterm mit $\beta_2$ verzichten. | + | - Man kann auch auf den Phasenterm mit $\beta_2$ verzichten. |
− | - $ | + | - $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ gilt für ein System mit $R = 70 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$. |
− | + $ | + | + $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ gilt für ein System mit $R = 140 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$. |
− | + $ | + | + $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ gilt für ein System mit $R = 560 \ \rm Mbit/s$ und $l = 1 \ \rm km$. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>: | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 4</u>: |
− | *Der $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung. | + | *Der $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung. |
− | *Der $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit. | + | *Der $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit. |
*Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei. | *Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei. | ||
− | '''(2)''' Mit ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$ muss die folgende Gleichung erfüllt sein: | + | '''(2)''' Mit ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$ muss die folgende Gleichung erfüllt sein: |
− | $${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99 | + | :$${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99 |
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln} | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln} | ||
\hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} | \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Damit erhält man für die maximale Kabellänge: | + | *Damit erhält man für die maximale Kabellänge: |
− | $$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}} | + | :$$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}} |
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
'''(3)''' Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme: | '''(3)''' Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme: | ||
− | $${ | + | :$${a}_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot |
\sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l | \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l | ||
− | = [0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$ | + | = \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$ |
− | $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{ | + | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$ |
+ | |||
+ | |||
+ | '''(4)''' Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe '''(3)''' erhält man hier den Dämpfungswert ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$. | ||
− | |||
'''(5)''' Für eine jede positive Größe $x$ gilt: | '''(5)''' Für eine jede positive Größe $x$ gilt: | ||
− | $$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} | + | :$$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} |
= \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot | = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot | ||
(20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm | (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm | ||
Np}\hspace{0.05cm}.$$ | Np}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Der Dämpfungswert 4.555 Np ist somit identisch mit $\underline{39.56 \ \rm dB}$. | + | Der Dämpfungswert $4.555 \ {\rm Np}$ ist somit identisch mit ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$. |
− | '''(6)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>. Begründung: | + | |
− | Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang: | + | '''(6)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 4 und 5</u>. Begründung: |
− | $$H_{\rm K}(f) = | + | *Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang: |
+ | :$$H_{\rm K}(f) = | ||
{\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
\sqrt{f}} \cdot | \sqrt{f}} \cdot | ||
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{\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot | ||
\sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$ | \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Verzichtet man auf den $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi) | + | *Verzichtet man auf den $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$ kleiner. |
− | |||
− | |||
− | |||
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− | Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt: | + | *Verzichtet man auf den $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse: |
− | $${ | + | ::'''(a)''' Der Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen müsste $H_{\rm K}(f)$ minimalphasig sein. |
− | \sqrt{f}, | + | ::'''(b)''' Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht. |
+ | *Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt: | ||
+ | :$${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot | ||
+ | \sqrt{f},$$ | ||
+ | :$$ b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot | ||
{\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$ | {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Das heißt: ${ | + | *Das heißt: ${a}_{\rm K}(f)$ und ${b}_{\rm K}(f)$ eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten. |
− | *Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate $R = 140 \ \rm Mbit/s$ ⇒ $R/2 = 70 \ \rm Mbit/s$ und der Kabellänge $l = 2 \ \rm km$ gilt tatsächlich $ | + | *Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate $R = 140 \ \rm Mbit/s$ ⇒ $R/2 = 70 \ \rm Mbit/s$ und der Kabellänge $l = 2 \ \rm km$ gilt tatsächlich $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe). |
− | *Ein System mit vierfacher Bitrate$R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$ und halber Länge ( | + | *Ein System mit vierfacher Bitrate $R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$ und halber Länge $(l = 1 \ \rm km)$ führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung. |
− | *Dagegen gilt für ein System mit $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$: | + | *Dagegen gilt für ein System mit $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$: |
− | :$${ | + | :$${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz} |
\cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB} | \cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ |
Aktuelle Version vom 12. November 2021, 16:28 Uhr
Ein so genanntes Normalkoaxialkabel der Länge $l$ mit
- dem Kerndurchmesser $\text{2.6 mm}$, und
- dem Außendurchmesser $\text{9.5 mm}$
besitzt den folgenden Frequenzgang:
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_0 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
Die Dämpfungsparameter $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ sind in „Neper pro Kilometer” (Np/km) einzusetzen und die Phasenparameter $\beta_1$ und $\beta_2$ in „Radian pro Kilometer” (rad/km). Es gelten folgende Zahlenwerte:
- $$\alpha_0 = 0.00162 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{\rm km} \hspace{0.05cm},$$
- $$\alpha_1 = 0.000435 \hspace{0.15cm} {\rm Np}/{{\rm km} \cdot {\rm MHz}} \hspace{0.05cm},$$
- $$\alpha_2 = 0.2722 \hspace{0.15cm}{\rm Np}/{{\rm km} \cdot \sqrt{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
Zur systemtheoretischen Beschreibung eines Koaxialkabels verwendet man
- die Dämpfungsfunktion (in Np bzw. dB):
- $${ a}_{\rm K}(f) = - {\rm ln} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)|= - 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm}|H_{\rm K}(f)| \hspace{0.05cm},$$
- die Phasenfunktion (in rad bzw. Grad):
- $$b_{\rm K}(f) = - {\rm arc} \hspace{0.10cm}H_{\rm K}(f) \hspace{0.05cm}.$$
In der Praxis benutzt man häufig die Näherung
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f}, \hspace{0.8cm}b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
Dies ist erlaubt, da $\alpha_2$ und $\beta_2$ genau den gleichen Zahlenwert besitzen und sich nur durch verschiedene Pseudoeinheiten unterscheiden.
Mit der Definition der charakteristischen Kabeldämpfung (in Neper bzw. Dezibel)
- $${a}_{\rm \star(Np)} = {a}_{\rm K}(f = {R}/{2}) = 0.1151 \cdot {a}_{\rm \star(dB)}$$
lassen sich zudem Digitalsysteme mit unterschiedlicher Bitrate $R$ und Kabellänge $l$ einheitlich behandeln.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Eigenschaften von Koaxialkabeln.
- Sie können zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse das interaktive "HTML 5/JS"–Applet Dämpfung von Kupferkabeln benutzen.
Fragebogen
Musterlösung
- Der $\alpha_0$–Term bewirkt nur eine frequenzunabhängige Dämpfung.
- Der $\beta_1$–Term (lineare Phase) führt zu einer frequenzunabhängigen Laufzeit.
- Alle anderen Terme tragen zu den (linearen) Verzerrungen bei.
(2) Mit ${\rm a}_0 = \alpha_0 \cdot l$ muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
- $${\rm e}^{- {\rm a}_0 } \ge 0.99 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm a}_0 < {\rm ln} \hspace{0.10cm}\frac{1}{0.99}\approx 0.01\,\,{\rm (Np)} \hspace{0.05cm}.$$
- Damit erhält man für die maximale Kabellänge:
- $$l_{\rm max} = \frac{{\rm a}_0 }{\alpha_0 } = \frac{0.01\,\,{\rm Np}}{0.00162\,\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.173\,\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Für den Dämpfungsverlauf gilt bei Berücksichtigung aller Terme:
- $${a}_{\rm K}(f) = [\alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt{f}\hspace{0.05cm}] \cdot l = \big[0.00162 + 0.000435 \cdot 70 + 0.2722 \cdot \sqrt{70}\hspace{0.05cm}\big]\, \frac{\rm Np}{\rm km} \cdot 2\,{\rm km} $$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz) = \big[0.003 + 0.061 + 4.555 \hspace{0.05cm}\big]\, {\rm Np}\hspace{0.15cm}\underline{= 4.619\, {\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Entsprechend der Berechnung in der Teilaufgabe (3) erhält man hier den Dämpfungswert ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=4.555 \ \rm Np}$.
(5) Für eine jede positive Größe $x$ gilt:
- $$x_{\rm Np} = {\rm ln} \hspace{0.10cm} x = \frac{{\rm lg} \hspace{0.10cm} x}{{\rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} = \frac{1}{{20 \cdot \rm lg} \hspace{0.10cm} {\rm e}} \cdot (20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.10cm} x) = 0.1151 \cdot x_{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm dB} = 8.6859 \cdot x_{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
Der Dämpfungswert $4.555 \ {\rm Np}$ ist somit identisch mit ${a}_{\rm K}(f = 70\ \rm MHz)\hspace{0.15cm}\underline{=39.56 \ \rm dB}$.
(6) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 4 und 5. Begründung:
- Mit der Beschränkung auf den Dämpfungsterm mit $\alpha_2$ gilt für den Frequenzgang:
- $$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} l \hspace{0.05cm}\cdot f} \cdot {\rm e}^{- {\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}l\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}\cdot \sqrt{f}} \hspace{0.05cm}.$$
- Verzichtet man auf den $\beta_1$–Phasenterm, so ändert sich bezüglich den Verzerrungen nichts. Lediglich die Phasen– und die Gruppenlaufzeit würden (beide gleich) um den Wert $\tau_1 = (\beta_1 \cdot l)/(2\pi)$ kleiner.
- Verzichtet man auf den $\beta_2$–Term, so ergeben sich dagegen völlig andere Verhältnisse:
- (a) Der Frequenzgang $H_{\rm K}(f)$ erfüllt nun nicht mehr die Voraussetzung eines kausalen Systems; bei einem solchen müsste $H_{\rm K}(f)$ minimalphasig sein.
- (b) Die Impulsantwort $h_{\rm K}(t)$ ist bei reellem Frequenzgang symmetrisch um $t = 0$, was nicht den Gegebenheiten entspricht.
- Deshalb ist als eine Näherung für den Koaxialkabelfrequenzgang erlaubt:
- $${a}_{\rm K}(f) = \alpha_2 \cdot l \cdot \sqrt{f},$$
- $$ b_{\rm K}(f) = a_{\rm K}(f) \cdot {\rm rad}/{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$
- Das heißt: ${a}_{\rm K}(f)$ und ${b}_{\rm K}(f)$ eines Koaxialkabels sind in erster Näherung formgleich und unterscheiden sich lediglich in ihren Einheiten.
- Bei einem Digitalsystem mit der Bitrate $R = 140 \ \rm Mbit/s$ ⇒ $R/2 = 70 \ \rm Mbit/s$ und der Kabellänge $l = 2 \ \rm km$ gilt tatsächlich $a_\star \approx 40 \ \rm dB$ (siehe Musterlösung zur letzten Teilaufgabe).
- Ein System mit vierfacher Bitrate $R/2 = 280 \ \rm Mbit/s$ und halber Länge $(l = 1 \ \rm km)$ führt zur gleichen charakteristischen Kabeldämpfung.
- Dagegen gilt für ein System mit $R/2 = 35 \ \rm Mbit/s$ und $l = 2 \ \rm km$:
- $${a}_\star = 0.2722 \hspace{0.15cm}\frac {\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot {\rm 2\,km}\cdot\sqrt{\rm 35\,MHz} \cdot 8.6859 \,\frac {\rm dB}{\rm Np} \approx 28\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$