Aufgaben:Aufgabe 3.9: Kennlinie für Cosinus-WDF: Unterschied zwischen den Versionen

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Gesucht ist eine stetige, monoton steigende nichtlineare Kennlinie $y =g(x)$, die aus einer zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilten Zufallsgröße $x$eine neue Zufallsgröße $y$ mit cosinusförmiger WDF generiert:
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Gesucht ist eine stetige,  monoton steigende nichtlineare Kennlinie  $y =g(x)$,  die aus einer zwischen  $-1$  und  $+1$  gleichverteilten Zufallsgröße  $x$  eine neue Zufallsgröße  $y$  mit „cosinusförmiger” WDF generiert:
 
:$$f_y(y)=A\cdot\cos({\pi}/{2}\cdot y).$$
 
:$$f_y(y)=A\cdot\cos({\pi}/{2}\cdot y).$$
  
Die Zufallsgröße $y$ kann ebenfalls nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ annehmen. Die beiden  Dichtefunktionen $f_x(x)$ und $f_y(y)$ sind nebenstehend skizziert.
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*Die Zufallsgröße  $y$  kann ebenfalls nur Werte zwischen  $-1$  und  $+1$  annehmen.  
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*Die beiden  Dichtefunktionen  $f_x(x)$  und  $f_y(y)$  sind nebenstehend skizziert.
  
  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
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*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
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*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite  [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
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{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 
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+ Außerhalb des Bereichs $-1 \le x \le +1$ kann $g(x)$.
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+ Außerhalb des Bereichs  $-1 \le x \le +1$  kann  $g(x)$  beliebig sein.
- Die Kennlinie muss symmetrisch um $x= 0$  sein:   $g(-x) = g(x)$.
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- Die Kennlinie muss symmetrisch um  $x= 0$  sein:   $g(-x) = g(x)$.
+ Die Zufallsgröße $y$ hat eine kleinere Varianz als $x$.
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+ Die Zufallsgröße  $y$  hat eine kleinere Varianz als  $x$.
  
  
{Berechnen Sie den $f_y(y)$–Wert bei$y = 0$:    $A = f_y(0)$.
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{Berechnen Sie den  $f_y(y)$–Wert bei  $y = 0$:    $A = f_y(0)$.
 
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$A \ = \ $  { 0.785 3% }
  
  
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{Bestimmen Sie die Steigung  $h\hspace{0.05cm}'(y)$  der Umkehrfunktion  $x = h(y)$,  wobei für  $|y| \le 1$  stets  $h\hspace{0.05cm}'(y) > 0$  gelten soll?  Welche Steigung gilt bei  $y = 0$ ?
 
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{Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus (3) die Funktion $x = h(y)$ unter der Nebenbedingung $h(0) = 0$. Welcher Wert ergibt sich für $y = 1$?
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{Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus  '''(3)'''  die Funktion  $x = h(y)$  unter der Nebenbedingung  $h(0) = 0$.  Welcher Wert ergibt sich für  $y = 1$ ?
 
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{Ermitteln Sie den Funktionsverlauf  $y = g(x)$  der gesuchten Kennlinie.  Welcher Funktionswert ergibt sich an der Stelle  $x = 1$ ?
 
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===Musterlösung===
 
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:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig sind <u>die Aussagen 1 und 3</u>: Da <i>x</i> nur Werte zwischen &plusmn;1 annehmen kann, ist der Verlauf der Kennlinie au&szlig;erhalb dieses Bereichs f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>y</i> ohne Belang.
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'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Aussagen 1 und 3</u>:  
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*Da&nbsp; $x$&nbsp; nur Werte zwischen&nbsp; $\pm 1$&nbsp; annehmen kann,&nbsp; ist der Verlauf der Kennlinie au&szlig;erhalb dieses Bereichs f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ohne Belang.
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*Die Bedingung&nbsp; $g(-x) = g(x)$&nbsp; muss nicht eingehalten werden.&nbsp; Es gibt beliebig viele Kennlinien,&nbsp; die die gew&uuml;nschte WDF erzeugen k&ouml;nnen.
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*Die unter Punkt&nbsp; '''(5)'''&nbsp; berechnete Kennlinie ist beispielsweise punktsymmetrisch: &nbsp; $g(-x) = -g(x)$.
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*Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen,&nbsp; dass&nbsp; $\sigma_y^2 < \sigma_x^2$&nbsp;  ist.
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:Die Bedingung <i>g</i>(&ndash;<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>) muss nicht eingehalten werden. Es gibt beliebig viele Kennlinien, die die gew&uuml;nschte WDF erzeugen k&ouml;nnen. Allerdings ist die unter Punkt e) berechnete Kennlinie punktsymmetrisch: <i>g</i>(&ndash;<i>x</i>) = &ndash;<i>g</i>(<i>x</i>).
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'''(2)'''&nbsp; Das Integral &uuml;ber die WDF muss stets gleich&nbsp; $1$&nbsp; sein.&nbsp; Daraus folgt:
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:$$\int_{-\rm 1}^{\rm 1}A\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot y)\, {\rm d} y=\frac{A\cdot \rm 4}{\pi}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A=\frac{\pi}{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.785}.$$
  
:Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen, dass <i>&sigma;<sub>y</sub></i> kleiner als <i>&sigma;<sub>x</sub></i> ist.
 
  
:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Das Integral &uuml;ber die WDF muss stets gleich 1 sein. Daraus folgt:
 
:$$\int_{-\rm 1}^{\rm 1}A\cdot \rm cos(\frac{\pi}{\rm 2}\cdot\it y)\, {\rm d} y=\frac{A\cdot \rm 4}{\pi}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A=\frac{\pi}{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.785}.$$
 
  
:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die Transformationsformel kann wie folgt umgeformt werden:
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'''(3)'''&nbsp; Die Transformationsformel kann wie folgt umgeformt werden:
 
:$$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{| g'(x)|}\Big|_{\, x=h(y)}=f_x(x)\cdot |h'(y)| \Big|_{\, x=h(y)}.$$
 
:$$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{| g'(x)|}\Big|_{\, x=h(y)}=f_x(x)\cdot |h'(y)| \Big|_{\, x=h(y)}.$$
  
:Die Umkehrfunktion <i>h</i>(<i>y</i>) einer monoton ansteigenden Kennlinie steigt ebenfalls monoton an. Deshalb kann auf die Betragsbildung verzichtet werden und man erh&auml;lt:
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*Die Umkehrfunktion&nbsp; $x = h(y)$&nbsp; einer monoton ansteigenden Kennlinie&nbsp; $y = g(x)$&nbsp; steigt ebenfalls monoton an.
:$$h'(y)=\frac{f_y(y)}{f_x(x)\Big|_{\, x=h(y)}}={\pi}/{\rm 2}\cdot \rm cos({\pi}/{2}\cdot \it y).$$
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*Deshalb kann auf die Betragsbildung verzichtet werden und man erh&auml;lt:
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:$$h\hspace{0.05cm}'(y)=\frac{f_y(y)}{f_x(x)\Big|_{\, x=h(y)}}={\pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\pi}/{2}\cdot y).$$
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*An der Stelle&nbsp; $y = 0$&nbsp; hat die Steigung den Wert&nbsp; $h\hspace{0.05cm}'(y= 0)=&pi;/2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.571}$.
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:An der Stelle <i>y</i> = 0 hat die Steigung den Wert <u>&pi;/2 &asymp; 1.571</u>.
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'''(4)'''&nbsp; Man erh&auml;lt durch (unbestimmte) Integration:
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:$$h(y)=\int h\hspace{0.05cm}'(y)\, {\rm d} y + C = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \sin(\frac{\pi}{ 2}\cdot  y) +  C.$$
  
:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Man erh&auml;lt durch (unbestimmte) Integration:
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*Die Nebenbedingung&nbsp; $h(y= 0) = 0$&nbsp; f&uuml;hrt zur Konstanten&nbsp; $C = 0$&nbsp; und damit zum Ergebnis:
:$$h(y)=\int h'(y)\, {\rm d} y + \it C = \frac{\rm \pi}{\rm 2}\cdot \frac{\rm 2}{\pi}\cdot \rm sin(\frac{\pi}{\rm 2}\cdot\it  y) + \rm \it C.$$
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:$$h(y) = \sin({\pi}/{2}\cdot y) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
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h(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= +1}.$$
  
:Die Nebenbedingung <i>h</i>(<i>y</i> = 0) = 0 f&uuml;hrt zur Konstanten <i>C</i> = 0 und damit zum Ergebnis:
 
:$$h(y) = \rm sin({\pi}/{\rm 2}\cdot \it y) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
 
h(y = \rm 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 1}.$$
 
  
:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Die Umkehrfunktion der in (d) ermittelten Funktion <i>x</i> = <i>h</i>(<i>y</i>) lautet:
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'''(5)'''&nbsp; Die Umkehrfunktion der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ermittelten Funktion&nbsp; $x = h(y)$&nbsp; lautet:
 
:$$y=g(x)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin({\it x}).$$
 
:$$y=g(x)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin({\it x}).$$
  
:Diese Kennlinie steigt im Bereich &ndash;1 &#8804; <i>x</i> &#8804; 1 von <i>y</i> = &ndash;1 bis <i>y</i> = +1 monoton an. Der gesuchte Wert ist also <i>g</i>(<i>x</i> = +1) <u>= +1</u>.
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*Diese Kennlinie steigt im Bereich&nbsp; $-1 \le x \le +1$&nbsp; von &nbsp;$y = -1$&nbsp; bis &nbsp;$y = +1$&nbsp; monoton an.  
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*Der gesuchte Wert ist also&nbsp; $g(x= 1) \hspace{0.15cm}\underline{= +1}$.
  
 
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Aktuelle Version vom 2. Februar 2022, 15:45 Uhr

Rechteck– und Cosinus–WDF

Gesucht ist eine stetige,  monoton steigende nichtlineare Kennlinie  $y =g(x)$,  die aus einer zwischen  $-1$  und  $+1$  gleichverteilten Zufallsgröße  $x$  eine neue Zufallsgröße  $y$  mit „cosinusförmiger” WDF generiert:

$$f_y(y)=A\cdot\cos({\pi}/{2}\cdot y).$$
  • Die Zufallsgröße  $y$  kann ebenfalls nur Werte zwischen  $-1$  und  $+1$  annehmen.
  • Die beiden Dichtefunktionen  $f_x(x)$  und  $f_y(y)$  sind nebenstehend skizziert.



Hinweise:



Fragebogen

1

Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

Außerhalb des Bereichs  $-1 \le x \le +1$  kann  $g(x)$  beliebig sein.
Die Kennlinie muss symmetrisch um  $x= 0$  sein:   $g(-x) = g(x)$.
Die Zufallsgröße  $y$  hat eine kleinere Varianz als  $x$.

2

Berechnen Sie den  $f_y(y)$–Wert bei  $y = 0$:   $A = f_y(0)$.

$A \ = \ $

3

Bestimmen Sie die Steigung  $h\hspace{0.05cm}'(y)$  der Umkehrfunktion  $x = h(y)$,  wobei für  $|y| \le 1$  stets  $h\hspace{0.05cm}'(y) > 0$  gelten soll?  Welche Steigung gilt bei  $y = 0$ ?

$h'(y = 0) \ = \ $

4

Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus  (3)  die Funktion  $x = h(y)$  unter der Nebenbedingung  $h(0) = 0$.  Welcher Wert ergibt sich für  $y = 1$ ?

$h(y=1) \ = \ $

5

Ermitteln Sie den Funktionsverlauf  $y = g(x)$  der gesuchten Kennlinie.  Welcher Funktionswert ergibt sich an der Stelle  $x = 1$ ?

$g(x = 1) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Richtig sind  die Aussagen 1 und 3:

  • Da  $x$  nur Werte zwischen  $\pm 1$  annehmen kann,  ist der Verlauf der Kennlinie außerhalb dieses Bereichs für die Zufallsgröße  $y$  ohne Belang.
  • Die Bedingung  $g(-x) = g(x)$  muss nicht eingehalten werden.  Es gibt beliebig viele Kennlinien,  die die gewünschte WDF erzeugen können.
  • Die unter Punkt  (5)  berechnete Kennlinie ist beispielsweise punktsymmetrisch:   $g(-x) = -g(x)$.
  • Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen,  dass  $\sigma_y^2 < \sigma_x^2$  ist.


(2)  Das Integral über die WDF muss stets gleich  $1$  sein.  Daraus folgt:

$$\int_{-\rm 1}^{\rm 1}A\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot y)\, {\rm d} y=\frac{A\cdot \rm 4}{\pi}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A=\frac{\pi}{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.785}.$$


(3)  Die Transformationsformel kann wie folgt umgeformt werden:

$$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{| g'(x)|}\Big|_{\, x=h(y)}=f_x(x)\cdot |h'(y)| \Big|_{\, x=h(y)}.$$
  • Die Umkehrfunktion  $x = h(y)$  einer monoton ansteigenden Kennlinie  $y = g(x)$  steigt ebenfalls monoton an.
  • Deshalb kann auf die Betragsbildung verzichtet werden und man erhält:
$$h\hspace{0.05cm}'(y)=\frac{f_y(y)}{f_x(x)\Big|_{\, x=h(y)}}={\pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\pi}/{2}\cdot y).$$
  • An der Stelle  $y = 0$  hat die Steigung den Wert  $h\hspace{0.05cm}'(y= 0)=π/2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.571}$.


(4)  Man erhält durch (unbestimmte) Integration:

$$h(y)=\int h\hspace{0.05cm}'(y)\, {\rm d} y + C = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \sin(\frac{\pi}{ 2}\cdot y) + C.$$
  • Die Nebenbedingung  $h(y= 0) = 0$  führt zur Konstanten  $C = 0$  und damit zum Ergebnis:
$$h(y) = \sin({\pi}/{2}\cdot y) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm} h(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= +1}.$$


(5)  Die Umkehrfunktion der in der Teilaufgabe  (4)  ermittelten Funktion  $x = h(y)$  lautet:

$$y=g(x)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin({\it x}).$$
  • Diese Kennlinie steigt im Bereich  $-1 \le x \le +1$  von  $y = -1$  bis  $y = +1$  monoton an.
  • Der gesuchte Wert ist also  $g(x= 1) \hspace{0.15cm}\underline{= +1}$.