Aufgaben:Aufgabe 4.10: Binär und quaternär: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt: | + | Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt: |
− | *Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer). | + | *Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer). |
− | *Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$ | + | *Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole $($mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4)$ sind statistisch unabhängig. |
− | *Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden. | + | *Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden. |
*Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole: | *Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole: | ||
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− | {Berechnen Sie den AKF | + | {Berechnen Sie den AKF–Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals. |
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− | {Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF? | + | {Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF? |
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− | $b_0\ =$ { 1.915 3% } $\ \rm V$ | + | $b_0\ = \ $ { 1.915 3% } $\ \rm V$ |
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− | Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig. | + | '''(2)''' Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. |
+ | *Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$: | ||
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+ | :$${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E} \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [ q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$ | ||
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+ | *Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. | ||
+ | *Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig. | ||
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− | '''(3)''' Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch | + | |
+ | '''(3)''' Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch Null, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. | ||
+ | *Für den quadratischen Mittelwert erhält man: | ||
:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$ | :$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$ | ||
− | Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch. | + | *Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch. |
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+ | '''(4)''' Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>. | ||
− | + | Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln: | |
− | *die Periodendauer $T_0$ | + | *die Periodendauer $T_0$: diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich; |
− | * der lineare Mittelwert | + | * der lineare Mittelwert: Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$ und |
− | * die Varianz | + | * die Varianz: Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$. |
Nicht ermittelt werden können: | Nicht ermittelt werden können: | ||
− | * die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion | + | * die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$ ist $f_q(q) \ne f_b(b)$; |
− | * die Momente höherer Ordnung | + | * die Momente höherer Ordnung: für deren Berechnung benötigt man die WDF; |
− | * alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften. | + | * alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften sind aus der AKF nicht erkennbar. |
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Aktuelle Version vom 20. März 2022, 18:30 Uhr
Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:
- Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
- Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole $($mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4)$ sind statistisch unabhängig.
- Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
- Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
- $${\rm Pr}\big[b(t) = +b_0\big] = {\rm Pr}\big[b(t) = -b_0\big] ={1}/{2}.$$
- Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
- $${\rm Pr}\big[q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {1}/{6},$$
- $${\rm Pr}\big[q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {2}/{6}.$$
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:
- $$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
(2) Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt.
- Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:
- $${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E} \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [ q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
- Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.
- Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.
(3) Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $| \tau| > T$ ebenfalls identisch Null, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.
- Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
- $$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$
- Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.
Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
- die Periodendauer $T_0$: diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich;
- der lineare Mittelwert: Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$ und
- die Varianz: Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$.
Nicht ermittelt werden können:
- die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$ ist $f_q(q) \ne f_b(b)$;
- die Momente höherer Ordnung: für deren Berechnung benötigt man die WDF;
- alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften sind aus der AKF nicht erkennbar.