Aufgaben:Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen: Unterschied zwischen den Versionen
(10 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 3: | Zeile 3: | ||
}} | }} | ||
− | [[Datei:P_ID436__Sto_A_4_14.png|right|framed|AKF und KKF bei | + | [[Datei:P_ID436__Sto_A_4_14.png|right|framed|AKF und KKF bei Rechtecksignalen]] |
− | Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$. | + | Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$. |
− | Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet. | + | Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet. |
− | *Dieses ist zwischen $(2i-1)T$ und $2i T$ | + | *Dieses ist zwischen $(2i-1)\cdot T$ und $2i \cdot T$ jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$ (im Bild rot hervorgehoben). |
− | * | + | *In den blau gezeichneten Intervallen zwischen $2i \cdot T$ und $(2i+1) \cdot T$ ist der Signalwert zweipunktverteilt $(\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$. |
− | Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten. | + | |
+ | Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten. | ||
Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt: | Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt: | ||
− | :$$s(t) = {1}/{2} \cdot [p(t) + z(t)].$$ | + | :$$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$ |
+ | |||
+ | *In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen $(2i-1) \cdot T$ und $2i \cdot T$ $(i$ ganzzahlig$)$ gilt $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl $p(t)$ als auch $z(t)$ gleich Null sind. | ||
+ | *In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ wieder mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt. | ||
+ | |||
+ | *Oder anders ausgedrückt: Die Signale $z(t)$ und $s(t)$ sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, \ +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ bzw. unipolarer $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, \ 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ Signaldarstellung. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
− | |||
− | |||
''Hinweise:'' | ''Hinweise:'' | ||
− | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte| | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion_und_Kreuzleistungsdichte|Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte]]. |
− | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]] | + | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]]. |
− | + | *Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $+7T$. | |
− | *Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $7T$. | + | |
+ | |||
Zeile 30: | Zeile 39: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Berechnen Sie die AKF $\varphi_z(\tau)$ und skizzieren Sie diese für $p = 0.25$. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$? | + | {Berechnen Sie die AKF $\varphi_z(\tau)$ und skizzieren Sie diese für $p = 0.25$. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\varphi_z(\tau= 0) \ = $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_z(\tau= 0) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$ |
− | $\varphi_z(\tau= 3T) \ = $ { 0. } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_z(\tau= 3T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$ |
− | $\varphi_z(\tau= 6T) \ = $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_z(\tau= 6T) \ = \ $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$ |
− | {Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus (1) die AKF $\varphi_p(\tau)$. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$? | + | {Berechnen Sie nun unter Zuhilfenahme des Ergebnisses aus '''(1)''' die AKF $\varphi_p(\tau)$. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\varphi_p(\tau= 0) \ = $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_p(\tau= 0) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$ |
− | $\varphi_p(\tau= 3T) \ = $ { 0. } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_p(\tau= 3T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$ |
− | $\varphi_p(\tau= 6T) \ = $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_p(\tau= 6T) \ = \ $ { 0.5 3% } $\ \rm V^2$ |
− | {Es gelte wieder $p = 0.25$. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion $\varphi_{pz}(\tau)$ | + | {Es gelte wieder $p = 0.25$. Berechnen Sie die Kreuzkorrelationsfunktion $\varphi_{pz}(\tau)$ für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$ ? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_{pz}(\tau= 0) \ = \ $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$ |
− | $\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = $ { 0. } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_{pz}(\tau= 3T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$ |
− | $\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_{pz}(\tau= 6T) \ = \ $ { -0.26--0.24 } $\ \rm V^2$ |
− | {Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein für die Summe $c(t) = a(t) + b(t)$? | + | {Welche AKF $\varphi_c(\tau)$ ergibt sich allgemein für die Summe $c(t) = a(t) + b(t)$ ? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
- $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$. | - $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_b(\tau)$. | ||
− | + $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_{ab}(\tau) + \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$ | + | + $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) + \varphi_{ab}(\tau) + \varphi_{ba}(\tau) + \varphi_b(\tau)$. |
- $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$. | - $\varphi_c(\tau) = \varphi_a(\tau) \star \varphi_b(\tau)$. | ||
− | {Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses von (4) die AKF $\varphi_s(\tau)$. Welche Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$? | + | {Berechnen Sie unter Berücksichtigung des Ergebnisses von '''(4)''' die AKF $\varphi_s(\tau)$. Welche Werte ergeben sich mit $p = 0.25$ für $\tau = 0$, $\tau = 3T$ und $\tau = 6T$ ? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\varphi_s(\tau= 0) \ = $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_s(\tau= 0) \ = \ $ { 0.125 3% } $\ \rm V^2$ |
− | $\varphi_s(\tau= 3T) \ = $ { 0. } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_s(\tau= 3T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$ |
− | $\varphi_s(\tau= 6T) \ = $ { -0.03175--0.03075 } $\ \rm V^2$ | + | $\varphi_s(\tau= 6T) \ = \ $ { -0.03175--0.03075 } $\ \rm V^2$ |
Zeile 69: | Zeile 78: | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Der AKF-Wert bei | + | '''(1)''' Der AKF-Wert bei $\tau = 0$ gibt die mittlere Leistung an: |
− | :$$\varphi_z ( \tau = 0) = | + | :$$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$ |
− | Für | + | *Für $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... ergibt sich $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$. |
− | :$$\varphi_z ( \tau | + | *Für die Zwischenwerte $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 4T$, $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... gilt: |
+ | :$$\varphi_z ( \tau) = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$ | ||
− | Hierbei steht | + | [[Datei:P_ID437__Sto_A_4_14_a.png|frame|right|Autokorrelationsfunktionen und Kreuzkorrelationsfunktion]] |
+ | *Hierbei steht $p$ für $p \cdot (+1)$ und $(p-1)$ für $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert. | ||
+ | *Mit $p = 0.25$ erhält man $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$. | ||
− | |||
− | |||
− | '''(2)''' | + | Die blaue Kurve zeigt $\varphi_z(\tau)$ für $p = 0.25$ im Bereich von $-7T \le \tau \le +7T$: |
− | :$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$ | + | *Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen. |
+ | *Für $p = 0.5$ würden die äußeren (kleineren) Dreiecke verschwinden. | ||
+ | <br clear=all> | ||
+ | '''(2)''' Die AKF $\varphi_p(\tau)$ des unipolaren periodischen Signals $p(t)$ ist in der allgemeingültigen Darstellung von '''(1)''' ⇒ AKF $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall für $p = 1$ enthalten. | ||
+ | *Man erhält nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit | ||
+ | :$$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$ | ||
:$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$ | :$$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$ | ||
− | |||
− | |||
− | :Man erhält mit | + | |
+ | '''(3)''' Auch für die Kreuzkorrelationsfunktion ergibt sich für $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... stets der Wert Null. | ||
+ | *Dagegen sind die KKF-Werte für $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 2T$, ... identisch mit denen bei $\tau = 0$: | ||
+ | :$$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}= \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$ | ||
+ | |||
+ | *Man erhält mit $p = 0.25$ folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze): | ||
:$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} | :$$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} | ||
\varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} | \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} | ||
\varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$ | \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$ | ||
− | + | *Mit $p = 1$ würde dagegen $z(t) \equiv p(t)$ gelten und damit natürlich auch $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$. | |
+ | *Für den Sonderfall $p = 0.5$ ergäbe sich keine Korrelation zwischen $p(t)$ und $z(t)$ und damit $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
− | '''(4)''' Durch Einsetzen von | + | '''(4)''' Durch Einsetzen von $c(t) = a(t) + b(t)$ in die allgemeine AKF-Definition erhält man: |
− | :$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} | + | :$$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} +\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$ |
:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$ | :$$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$ | ||
− | + | *Richtig ist somit der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. | |
+ | *Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn $a(t)$ und $b(t)$ unkorreliert sind. | ||
+ | *Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch. | ||
+ | *Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF $f_c(c)$ der Summe $c(t) = a(t) + b(t)$ betrachten und $a(t)$ und $b(t)$ statistisch unabhängig sind: | ||
:$$f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$$ | :$$f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$$ | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | '''(5)''' Mit dem Ergebnis aus '''(4)''' und unter Berücksichtigung des Faktors $1/2$ erhält man: | |
− | + | :$$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \big] . $$ | |
− | : | + | *Hierbei ist bereits berücksichtigt, dass die KKF zwischen $p(t)$ und $z(t)$ eine gerade Funktion ist, so dass auch $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$ gilt. |
− | + | *Für $\tau = 0$ erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein: | |
− | \varphi_{s} ( \tau = | + | :$$\varphi_s( \tau = 0) = {1}/{4} \cdot \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$ |
− | \varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$ | + | *Mit $p = 0.25$ ergibt sich $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$. Das Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$; sonst ist $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$. |
+ | *Für geradzahlige Vielfache von $T$ gilt: | ||
+ | :$$ \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$ | ||
+ | *Mit $p = 0.5$ erhält man hierfür den Wert $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von $T$ sind wieder Null. | ||
+ | *Damit ergibt sich der unten skizzierte AKF–Verlauf. | ||
+ | [[Datei:P_ID441__Sto_A_4_14_e.png|framed|right|AKF eines unipolaren Rechtecksignals]] | ||
+ | *Die gesuchten Zahlenwerte sind somit: | ||
+ | :$$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$ | ||
+ | :$$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$ | ||
+ | :$$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$ | ||
− | + | *Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe '''(1)''' zeigt, dass das Binärsignal $s(t)$ bis auf den Faktor $1/4$ die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal $z(t)$. | |
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.6 KKF und Kreuzleistungsdichte^]] | [[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie|^4.6 KKF und Kreuzleistungsdichte^]] |
Aktuelle Version vom 26. März 2022, 18:19 Uhr
Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $p(t)$ entsprechend der oberen Skizze mit den beiden möglichen Amplitudenwerten $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ und der Rechteckdauer $T$. Die Periodendauer beträgt somit $T_0 = 2T$.
Darunter ist das Zufallssignal $z(t)$ gezeichnet.
- Dieses ist zwischen $(2i-1)\cdot T$ und $2i \cdot T$ jeweils $z(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$ (im Bild rot hervorgehoben).
- In den blau gezeichneten Intervallen zwischen $2i \cdot T$ und $(2i+1) \cdot T$ ist der Signalwert zweipunktverteilt $(\pm 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in den blau dargestellten Intervallen $z(t)=+1 \hspace{0.05cm} \rm V$ gilt, sei allgemein gleich $p$ und unabhängig von den vorher ausgewürfelten Werten.
Das unterste Signal in nebenstehender Grafik kann aus den beiden ersten konstruiert werden. Es gilt:
- $$s(t) = {1}/{2} \cdot \big[p(t) + z(t)\big].$$
- In den rot eingezeichneten Zeitintervallen zwischen $(2i-1) \cdot T$ und $2i \cdot T$ $(i$ ganzzahlig$)$ gilt $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$, da hier sowohl $p(t)$ als auch $z(t)$ gleich Null sind.
- In den dazwischen liegenden Intervallen ist der Amplitudenwert zweipunktverteilt zwischen $0 \hspace{0.05cm} \rm V$ und $1 \hspace{0.05cm} \rm V$, wobei der Wert $1 \hspace{0.05cm} \rm V$ wieder mit der Wahrscheinlichkeit $p$ auftritt.
- Oder anders ausgedrückt: Die Signale $z(t)$ und $s(t)$ sind äquivalente Mustersignale des identischen Zufallsprozesses mit bipolarer $(-1 \hspace{0.05cm} \rm V, \ +1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ bzw. unipolarer $(0 \hspace{0.05cm} \rm V, \ 1 \hspace{0.05cm} \rm V)$ Signaldarstellung.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Autokorrelationsfunktion.
- Skizzieren Sie die gesuchten Korrelationsfunktionen jeweils im Bereich von $-7T$ bis $+7T$.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\varphi_z ( \tau = 0) = {1}/{2} \cdot (1 {\rm V})^2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2}.$$
- Für $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... ergibt sich $\varphi_z ( \tau)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
- Für die Zwischenwerte $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 4T$, $\underline{\tau = \pm 6T}$, ... gilt:
- $$\varphi_z ( \tau) = \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left(p \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm} + \hspace{0.2cm}p \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.02cm}(p-1) \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}p \hspace{0.2cm}+\hspace{0.2cm} (p-1)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm}(p-1)\right) = \hspace{0.1cm}\text{...} \hspace{0.1cm}= 0.5\, {\rm V}^2 \cdot (1-2p)^2 .$$
- Hierbei steht $p$ für $p \cdot (+1)$ und $(p-1)$ für $(1-p) \cdot (-1)$, also jeweils Wahrscheinlichkeit mal normierter Amplitudenwert.
- Mit $p = 0.25$ erhält man $\varphi_z ( \tau = \pm 6 T) \hspace{0.15cm}\underline{=0.125 \rm V^2}$.
Die blaue Kurve zeigt $\varphi_z(\tau)$ für $p = 0.25$ im Bereich von $-7T \le \tau \le +7T$:
- Aufgrund des rechteckförmigen Signalverlaufs ergibt sich eine Summe von Dreieckfunktionen.
- Für $p = 0.5$ würden die äußeren (kleineren) Dreiecke verschwinden.
(2) Die AKF $\varphi_p(\tau)$ des unipolaren periodischen Signals $p(t)$ ist in der allgemeingültigen Darstellung von (1) ⇒ AKF $\varphi_z(\tau)$ als Sonderfall für $p = 1$ enthalten.
- Man erhält nun eine periodische AKF (siehe roter Kurvenverlauf in obiger Skizze) mit
- $$\varphi_p ( \tau = 0) = \varphi_p ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_p ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 {\rm V}^2},$$
- $$\varphi_p ( \tau = \pm T) = \varphi_p ( \tau = \pm 3T) = \hspace{0.1cm} ... \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
(3) Auch für die Kreuzkorrelationsfunktion ergibt sich für $\tau = \pm T$, $\underline{\tau = \pm 3T}$, ... stets der Wert Null.
- Dagegen sind die KKF-Werte für $\tau = \pm 2T$, $\tau = \pm 2T$, ... identisch mit denen bei $\tau = 0$:
- $$\varphi_{pz} ( \tau = 0) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_{pz} ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{...} \hspace{0.1cm}= \frac {1 {\rm V}^2}{2} \left( p - (1-p)\right) = \frac {2p -1}{2}\, {\rm V}^2 .$$
- Man erhält mit $p = 0.25$ folgende Ergebnisse (siehe grüne Kurve in obiger Skizze):
- $$\varphi_{pz} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},\hspace{0.5cm} \varphi_{pz} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.25 {\rm V}^2}.$$
- Mit $p = 1$ würde dagegen $z(t) \equiv p(t)$ gelten und damit natürlich auch $\varphi_{pz}(\tau) \equiv \varphi_{p}(\tau) \equiv \varphi_{z}(\tau)$.
- Für den Sonderfall $p = 0.5$ ergäbe sich keine Korrelation zwischen $p(t)$ und $z(t)$ und damit $\varphi_{pz}(\tau) \equiv 0$.
(4) Durch Einsetzen von $c(t) = a(t) + b(t)$ in die allgemeine AKF-Definition erhält man:
- $$\varphi_c ( \tau ) = \overline{c(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} c(t + \tau)} = \overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{a(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)} +\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} a(t + \tau)} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}\overline{b(t)\hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} b(t + \tau)}. $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.5cm} \varphi_c ( \tau ) = \varphi_{a} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ab} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{ba} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm}\varphi_{a} ( \tau ). $$
- Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2.
- Der Lösungsvorschlag 1 trifft nur zu, wenn $a(t)$ und $b(t)$ unkorreliert sind.
- Der letzte Vorschlag, die Faltungsoperation, ist immer falsch.
- Eine ähnliche Gleichung würde sich nur dann ergeben, wenn wir die WDF $f_c(c)$ der Summe $c(t) = a(t) + b(t)$ betrachten und $a(t)$ und $b(t)$ statistisch unabhängig sind:
- $$f_c (c) = f_a (a) \star f_b (b) .$$
(5) Mit dem Ergebnis aus (4) und unter Berücksichtigung des Faktors $1/2$ erhält man:
- $$\varphi_s ( \tau ) = {1}/{4} \cdot \big[ \varphi_{p} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} \varphi_{z} ( \tau ) \hspace{0.1cm} + \hspace{0.1cm} 2 \cdot \varphi_{pz} ( \tau ) \big] . $$
- Hierbei ist bereits berücksichtigt, dass die KKF zwischen $p(t)$ und $z(t)$ eine gerade Funktion ist, so dass auch $\varphi_{pz}(\tau) = \varphi_{zp}(\tau)$ gilt.
- Für $\tau = 0$ erhält man deshalb mit den obigen Ergebnissen allgemein:
- $$\varphi_s( \tau = 0) = {1}/{4} \cdot \left( 0.5 {\rm V}^2 +0.5 {\rm V}^2 + 2 \cdot \frac{2p-1}{2} {\rm V}^2\right) .$$
- Mit $p = 0.25$ ergibt sich $\varphi_{pz} ( \tau = 0 ) = 0.125\rm V^2$. Das Ergebnis ist plausibel. Im Mittel ist nur in jedem achten Intervall $s(t)=1 \hspace{0.05cm} \rm V$; sonst ist $s(t)=0 \hspace{0.05cm} \rm V$.
- Für geradzahlige Vielfache von $T$ gilt:
- $$ \varphi_s ( \tau = \pm 2 T) = \varphi_s ( \tau = \pm 4 T) = \hspace{0.1cm} \text{ ...} \hspace{0.1cm} = \frac {0.5 {\rm V}^2}{4} \left( (1-2p)^2 +1 + 2 \cdot (2p -1)\right) = 0.5 \, {\rm V}^2 \hspace{0.02cm} \cdot \hspace{0.02cm} p^2.$$
- Mit $p = 0.5$ erhält man hierfür den Wert $0.03125 \hspace{0.1cm}{\rm V}^2$. Alle AKF-Werte bei ungeradzahligen Vielfachen von $T$ sind wieder Null.
- Damit ergibt sich der unten skizzierte AKF–Verlauf.
- Die gesuchten Zahlenwerte sind somit:
- $$\varphi_{s} ( \tau = 0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.125 {\rm V}^2},$$
- $$\varphi_{s} ( \tau = 3T)\hspace{0.15cm}\underline{= 0},$$
- $$\varphi_{s} ( \tau = 6T)\hspace{0.15cm}\underline{= -0.03125 {\rm V}^2}.$$
- Ein Vergleich mit der Skizze zur Teilaufgabe (1) zeigt, dass das Binärsignal $s(t)$ bis auf den Faktor $1/4$ die gleiche AKF aufweist wie das Ternärsignal $z(t)$.