Aufgaben:Aufgabe 5.4: Sinusgenerator: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist: | + | Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor $\rm (DSP)$ geeignet ist: |
| − | :$$\left\langle {y_\nu } \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu T | + | :$$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu T \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$ |
| − | *Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge $\left\langle {x_\nu } \right\rangle$ eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt. Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte $y_\nu$ für Zeiten $\nu\lt 0$ identisch Null. | + | *Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt. Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte $y_\nu$ für Zeiten $\nu\lt 0$ identisch Null. |
| − | *Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation | + | *Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation $Z$-Transformation]: |
| − | :$$ | + | :$$Z \{ {\sin ( {\nu T \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 T} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right) + 1}}.$$ |
| − | *Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung $(M = 2)$ um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten: | + | *Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung $(M = 2)$ um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten: |
:$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 T} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right),\quad b_2 = - 1.$$ | :$$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 T} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right),\quad b_2 = - 1.$$ | ||
| − | + | In der Grafik ist bereits durch die hellere Umrandung markiert, dass auf die Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_2$ verzichtet werden kann. | |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Digitale_Filter|Digitale Filter]] im vorliegenden Buch. | + | |
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| + | *Das Applet [[Applets:Zur_Verdeutlichung_digitaler_Filter|"Digitale Filter"]] verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels. | ||
| + | *Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gelte: | ||
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| − | {Es gelte $a_1 = 0.5$ und $b_1 = \sqrt 3 $. Berechnen Sie die Ausgangswerte $y_\nu$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$, $\nu = 1$ und $\nu = 2$. | + | {Es gelte $a_1 = 0.5$ und $b_1 = \sqrt 3 $. Berechnen Sie die Ausgangswerte $y_\nu$ zu den Zeitpunkten $\nu = 0$, $\nu = 1$ und $\nu = 2$. |
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| − | $y_2 \ = $ { 0.866 3% } | + | $y_2 \ = \ $ { 0.866 3% } |
| − | {Wie lautet der Ausgangswert $y_\nu$ für $\nu \ge 2$ allgemein? Berechnen Sie die Werte $y_3$, ... , $y_7$ und geben Sie zur Kontrolle | + | {Wie lautet der Ausgangswert $y_\nu$ für $\nu \ge 2$ allgemein? Berechnen Sie die Werte $y_3$, ... , $y_7$ und geben Sie zur Kontrolle $y_7$ ein. |
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| − | $y_7 \ = $ { -0.515--0.485 } | + | $y_7 \ = \ $ { -0.515--0.485 } |
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| − | $T_0/T\ = $ { 12 3% } | + | $T_0/T\ = \ $ { 12 3% } |
| − | {Es gelte nun $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm | + | {Es gelte nun $T = 1 \hspace{0.05cm} \rm µ s$. Wie müssen die Koeffizienten $a_1$ und $b_1$ gewählt werden, damit eine $\text{10 kHz}$–Sinusschwingung erzeugt wird? |
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:$$y_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 0},\quad y_1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.5}.$$ | :$$y_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 0},\quad y_1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.5}.$$ | ||
| − | Bei $\nu = 2$ wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam: | + | *Bei $\nu = 2$ wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam: |
:$$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.866}.$$ | :$$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.866}.$$ | ||
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:$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2} .$$ | :$$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2} .$$ | ||
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:$$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1;$$ | :$$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1;$$ | ||
:$$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$$ | :$$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$$ | ||
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:$$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} \hspace{0.15cm} \underline{= - 0.5}.$$ | :$$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} \hspace{0.15cm} \underline{= - 0.5}.$$ | ||
| − | '''(3)''' Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe (2) erhält man für große $\nu$–Werte: $y_\nu = y_{\nu - 12} .$ | + | |
| − | Daraus folgt $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen: | + | |
| + | '''(3)''' Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man für große $\nu$–Werte: | ||
| + | :$$y_\nu = y_{\nu - 12} .$$ | ||
| + | *Daraus folgt $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen: | ||
:$$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$ | :$$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$ | ||
| − | Die Überprüfung des Koeffizienten $b_1$ bestätigt die Rechnung: | + | *Die Überprüfung des Koeffizienten $b_1$ bestätigt die Rechnung: |
| − | :$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot | + | :$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot {\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$ |
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| − | '''(4)''' Aus $f_0 = 10 \hspace{0. | + | '''(4)''' Aus $f_0 = 10 \hspace{0.15cm} \rm kHz$ folgt $T_0 = 100 \hspace{0.05cm} \rm µ s$ bzw. $T_0/T = 100$ . Damit erhält man: |
:$$a_1 = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$ | :$$a_1 = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$ | ||
:$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$ | :$$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$ | ||
Aktuelle Version vom 10. Februar 2022, 18:52 Uhr
Vorgeschlagene Filterstruktur
Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zum Beispiel zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor $\rm (DSP)$ geeignet ist:
- $$\left\langle \hspace{0.05cm}{y_\nu }\hspace{0.05cm} \right\rangle = \left\langle {\, \sin ( {\nu T \cdot \omega _0 } )\, }\right\rangle .$$
- Vorausgesetzt wird, dass die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ eine (zeitdiskrete) Diracfunktion beschreibt. Damit sind gleichzeitig alle Ausgangswerte $y_\nu$ für Zeiten $\nu\lt 0$ identisch Null.
- Die insgesamt fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der $Z$-Transformation:
- $$Z \{ {\sin ( {\nu T \omega _0 } )} \} = \frac{{z \cdot \sin \left( {\omega _0 T} \right)}}{{z^2 - 2 \cdot z \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right) + 1}}.$$
- Setzt man diese Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung $(M = 2)$ um, so erhält man die folgenden Filterkoeffizienten:
- $$a_0 = 0,\quad a_1 = \sin \left( {\omega _0 T} \right),\quad a_2 = 0, \quad b_1 = 2 \cdot \cos \left( {\omega _0 T} \right),\quad b_2 = - 1.$$
In der Grafik ist bereits durch die hellere Umrandung markiert, dass auf die Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_2$ verzichtet werden kann.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Digitale Filter im vorliegenden Buch.
- Das Applet "Digitale Filter" verdeutlicht den Themenkomplex dieses Kapitels.
- Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gelte:
- $$a_1 = 0.5,\quad b_1 = \sqrt 3 .$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die „$1$” am Eingang wirkt sich $($wegen $a_0= 0)$ am Ausgang erst zum Zeitpunkt $\nu = 1$ aus:
- $$y_0 \hspace{0.15cm} \underline{= 0},\quad y_1 \hspace{0.15cm} \underline{ = 0.5}.$$
- Bei $\nu = 2$ wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam:
- $$y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.866}.$$
(2) Für $\nu \ge 2$ ist das Filter rein rekursiv:
- $$y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2} .$$
- Insbesondere erhält man
- $$y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1;$$
- $$y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$$
- $$y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = {1}/{2};$$
- $$y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$$
- $$y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} \hspace{0.15cm} \underline{= - 0.5}.$$
(3) Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses der Teilaufgabe (2) erhält man für große $\nu$–Werte:
- $$y_\nu = y_{\nu - 12} .$$
- Daraus folgt $T_0/T\hspace{0.15cm} \underline{= 12}$. Zum gleichen Ergebnis kommt man durch folgende Überlegungen:
- $$a_1 = \sin \left( {\omega _0 \cdot T} \right) = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right)\mathop = \limits^! {1}/{2} = \sin \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) \;\;{\rm \Rightarrow} \;\;{2T}/{T_0 } = {1}/{6}\quad \Rightarrow \;\;{T_0 }/{T} = 12.$$
- Die Überprüfung des Koeffizienten $b_1$ bestätigt die Rechnung:
- $$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {{{\rm{\pi }}}/{6}} \right) = 2 \cdot {\sqrt 3 }/{2} = \sqrt 3 .$$
(4) Aus $f_0 = 10 \hspace{0.15cm} \rm kHz$ folgt $T_0 = 100 \hspace{0.05cm} \rm µ s$ bzw. $T_0/T = 100$ . Damit erhält man:
- $$a_1 = \sin \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = \sin \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.062},$$
- $$b_1 = 2 \cdot \cos \left( {2{\rm{\pi }}\cdot{T}/{T_0 }} \right) = 2 \cdot \cos \left( {3.6^ \circ } \right) \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.996}.$$
