Aufgaben:Aufgabe 4.9: Höherstufige Modulation: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse | + | Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$: |
− | + | * $C_\text{Gauß}$: Shannonsche Grenzkurve, | |
− | + | * $C_\text{BPSK}$: gültig für "Binary Phase Shift Keying" $\rm (BPSK)$. | |
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+ | Die beiden weiteren Kurvenverläufe $C_\text{rot}$ und $C_\text{braun}$ sollen in den Teilaufgaben '''(3)''' und '''(4)''' analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden. | ||
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− | In der Literatur wird manchmal die BPSK auch mit 2–ASK | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang|AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang]]. |
− | Dieser Sachverhalt | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Informationstheorie/AWGN–Kanalkapazität_bei_wertdiskretem_Eingang#Die_Kanalkapazit.C3.A4t_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax83-QINU.60.22.27.7F_als_Funktion_von_.7F.27.22.60UNIQ-MathJax84-QINU.60.22.27.7F|Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$]]. |
+ | *Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log<sub>2</sub>” verwendet. | ||
+ | *Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben. | ||
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+ | [[Datei:P_ID2953__Inf_A_4_9_Zusatz.png|right|frame|Vorgeschlagene Signalraumkonstellationen]] | ||
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+ | '''Anmerkungen zur Nomenklatur''': | ||
+ | *In der Literatur wird manchmal die „BPSK” auch mit „2–ASK” bezeichnet: | ||
+ | :$$x ∈ X = \{+1,\ -1\}.$$ | ||
+ | *Dagegen verstehen wir hier als „ASK” den unipolaren Fall: | ||
+ | :$$x ∈ X = \{0,\ 1 \}.$$ | ||
+ | *Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb: | ||
+ | :$$C_\text{ASK} < C_\text{BPSK}.$$ | ||
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+ | :Dieser Sachverhalt ist allerdings unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe. | ||
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− | { | + | {Welche Gleichung liegt der Shannon–Grenzkurve $C_{\rm Gauß}$ zugrunde? |
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+ | - Es gilt $C_{\rm Gauß} = C_1= {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$, | ||
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+ | - Es gilt $C_{\rm Gauß} = C_3= {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + E_{\rm S}/{N_0})$. | ||
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+ | + $C_{\rm BPSK}$ kann nicht in geschlossener Form angegeben werden. | ||
+ | + $C_{\rm BPSK}$ ist größer als Null, wenn $E_{\rm S}/{N_0} > 0$ vorausgesetzt wird. | ||
+ | - Für $E_{\rm S}/{N_0} < \ln (2)$ ist $C_{\rm BPSK} ≡ 0$. | ||
+ | + Im gesamten Bereich gilt $C_{\rm BPSK} < C_{\rm Gauß} $. | ||
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+ | {Welche Aussagen treffen für die rote Kurve $C_{\rm rot}$ zu? | ||
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− | - | + | - Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = |X| = 2$. |
− | + | + | + Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = |X| = 4$. |
+ | + $C_{\rm rot}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–ASK. | ||
+ | - $C_{\rm rot}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 4–QAM. | ||
+ | + Für alle $E_{\rm S}/{N_0} > 0$ liegt $C_{\rm rot}$ zwischen „grün” und „braun”. | ||
− | { | + | {Welche Aussagen treffen für die braune Kurve $C_{\rm braun}$ zu? <br>Hinweis: $p_{\rm B}$ bezeichnet hierbei die Bitfehlerwahrscheinlichkeit. |
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− | $\ | + | + Für die zugehörige Zufallsgröße $X$ gilt $M_X = |X| = 8$. |
+ | + $C_{\rm braun}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–ASK. | ||
+ | - $C_{\rm braun}$ ist gleichzeitig die Kanalkapazität der 8–PSK. | ||
+ | - $p_{\rm B} ≡ 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich. | ||
+ | + $p_{\rm B} ≡ 0$ ist mit 8–ASK, $R = 2$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ möglich. | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>Vorschlag 2</u>, wie die Rechnung für $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt: |
− | + | :$$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$ | |
− | + | *Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte: | |
− | '''4.''' | + | :$$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$ |
− | '''5.''' | + | :$$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$ |
− | ''' | + | *Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall "Zweier unabhängiger Gaußkanäle" mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal. |
− | ''' | + | |
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+ | '''(2)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>: | ||
+ | *Würde man $E_{\rm S}$ durch $E_{\rm B}$ ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig. | ||
+ | *Für $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$ gilt nämlich $C_{\rm Gauß} ≡ 0$ und damit auch $C_{\rm BPSK} ≡ 0$. | ||
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+ | '''(3)''' Richtig sind die <u>Aussagen 2, 3 und 5</u>: | ||
+ | *Der rote Kurvenzug $C_{\rm rot}$ liegt stets oberhalb von $C_{\rm BPSK}$, aber unterhalb von $C_{\rm braun}$ und der Shannon–Grenzkurve $C_{\rm Gauß}$. | ||
+ | *Die Aussagen gelten auch, wenn Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse $E_{\rm S}/{N_0}$–Wertenicht zu unterscheiden sind. | ||
+ | *Aus dem Grenzwert $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$ für $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$ ergibt sich der Symbolumfang $M_X = |X| = 4$. <br>Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK. $M_X = |X| = 2$ würde für die BPSK gelten. | ||
+ | *Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert „$\rm 2 \ bit/Kanalzugriff$”. Für kleine $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität $C_{\rm 4–QAM}$ oberhalb der roten Kurve, da $C_{\rm rot}$ von der Gauß–Grenzkurve $C_2$ begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$ aber von $C_3$. Die Bezeichnungen $C_2$ und $C_3$ beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe '''(1)'''. | ||
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+ | [[Datei:P_ID2954__Inf_A_4_9e.png|right|frame|Kanalkapazitätsgrenzen für <br>BPSK, 4–ASK und 8–ASK]] | ||
+ | <br><br> | ||
+ | '''(4)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 5</u>: | ||
+ | *Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen. | ||
+ | *Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit $K = 2$ Dimensionen – liegt für kleine $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve ⇒ die Antwort 3 ist falsch. | ||
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+ | In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet. | ||
+ | * Der violette Punkt liegt über der $C_{\rm 8–ASK}$. $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ reichen nicht, um die 8–ASK fehlerfrei zu decodieren ⇒ $R > C_{\rm 8–ASK}$ ⇒ Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt ⇒ Antwort 4 ist falsch. | ||
+ | * Reduziert man aber die Coderate bei gleichem $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ auf $R = 2 < C_{\rm 8–ASK}$ ⇒ gelber Punkt, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt ⇒ Antwort 5 ist richtig. | ||
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− | [[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^4.3 | + | [[Category:Aufgaben zu Informationstheorie|^4.3 AWGN & wertdiskreter Eingang^]] |
Aktuelle Version vom 4. November 2021, 14:44 Uhr
Die Grafik zeigt AWGN–Kanalkapazitätskurven über der Abszisse $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$:
- $C_\text{Gauß}$: Shannonsche Grenzkurve,
- $C_\text{BPSK}$: gültig für "Binary Phase Shift Keying" $\rm (BPSK)$.
Die beiden weiteren Kurvenverläufe $C_\text{rot}$ und $C_\text{braun}$ sollen in den Teilaufgaben (3) und (4) analysiert und möglichen Modulationsverfahren zugeordnet werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm S}/{N_0}$.
- Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log2” verwendet.
- Die im Fragebogen genannten Modulationsverfahren werden anhand ihrer Signalraumkonstellation beschrieben.
Anmerkungen zur Nomenklatur:
- In der Literatur wird manchmal die „BPSK” auch mit „2–ASK” bezeichnet:
- $$x ∈ X = \{+1,\ -1\}.$$
- Dagegen verstehen wir hier als „ASK” den unipolaren Fall:
- $$x ∈ X = \{0,\ 1 \}.$$
- Nach unserer Nomenklatur gilt deshalb:
- $$C_\text{ASK} < C_\text{BPSK}.$$
- Dieser Sachverhalt ist allerdings unerheblich für die Lösung der vorliegenden Aufgabe.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist der Vorschlag 2, wie die Rechnung für $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 15 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm S}/{N_0} = 31.62$ zeigt:
- $$C_2(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 2 \cdot 31.62 ) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 64.25 ) \approx 3\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}. $$
- Die beiden anderen Lösungsvorschläge liefern folgende Zahlenwerte:
- $$C_3(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + 31.62 ) \approx 5.03\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm},$$
- $$ C_1(15\hspace{0.1cm}{\rm dB}) \ = \ C_3/2 \approx 2.51\,{\rm bit/Kanalzugriff}\hspace{0.05cm}.$$
- Der Lösungsvorschlag 3 entspricht dabei dem Fall "Zweier unabhängiger Gaußkanäle" mit jeweils halber Sendeleistung pro Kanal.
(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4:
- Würde man $E_{\rm S}$ durch $E_{\rm B}$ ersetzen, so wäre auch die Aussage 3 richtig.
- Für $E_{\rm B}/{N_0} < \ln (2)$ gilt nämlich $C_{\rm Gauß} ≡ 0$ und damit auch $C_{\rm BPSK} ≡ 0$.
(3) Richtig sind die Aussagen 2, 3 und 5:
- Der rote Kurvenzug $C_{\rm rot}$ liegt stets oberhalb von $C_{\rm BPSK}$, aber unterhalb von $C_{\rm braun}$ und der Shannon–Grenzkurve $C_{\rm Gauß}$.
- Die Aussagen gelten auch, wenn Kurven innerhalb der Zeichengenauigkeit für gewisse $E_{\rm S}/{N_0}$–Wertenicht zu unterscheiden sind.
- Aus dem Grenzwert $C_{\rm rot}= 2 \ \rm bit/Kanalzugriff$ für $E_{\rm S}/{N_0} → ∞$ ergibt sich der Symbolumfang $M_X = |X| = 4$.
Die rote Kurve beschreibt also die 4–ASK. $M_X = |X| = 2$ würde für die BPSK gelten. - Die 4–QAM führt genau zum gleichen Endwert „$\rm 2 \ bit/Kanalzugriff$”. Für kleine $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte liegt aber die Kanalkapazität $C_{\rm 4–QAM}$ oberhalb der roten Kurve, da $C_{\rm rot}$ von der Gauß–Grenzkurve $C_2$ begrenzt wird, $C_{\rm 4–QAM}$ aber von $C_3$. Die Bezeichnungen $C_2$ und $C_3$ beziehen sich hierbei auf die Teilaufgabe (1).
(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 5:
- Aus dem braunen Kurvenverlauf erkennt man die Richtigkeit der beiden ersten Aussagen.
- Die 8–PSK mit I– und Q–Komponente – also mit $K = 2$ Dimensionen – liegt für kleine $E_{\rm S}/{N_0}$–Werte etwas oberhalb der braunen Kurve ⇒ die Antwort 3 ist falsch.
In der Grafik sind auch die beiden 8–ASK–Systeme gemäß den Vorschlägen 4 und 5 als Punkte eingezeichnet.
- Der violette Punkt liegt über der $C_{\rm 8–ASK}$. $R = 2.5$ und $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ reichen nicht, um die 8–ASK fehlerfrei zu decodieren ⇒ $R > C_{\rm 8–ASK}$ ⇒ Kanalcodierungstheorem wird nicht erfüllt ⇒ Antwort 4 ist falsch.
- Reduziert man aber die Coderate bei gleichem $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0}) = 10 \ \rm dB$ auf $R = 2 < C_{\rm 8–ASK}$ ⇒ gelber Punkt, so wird das Kanalcodierungstheorem erfüllt ⇒ Antwort 5 ist richtig.