Aufgaben:Aufgabe 1.1: Sendegrundimpulse: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | Wir untersuchen in dieser Aufgabe die zwei in der Grafik dargestellten Sendesignale $s_{\rm R}(t)$ und $s_{\rm C}(t)$ mit Rechteck– bzw. $\cos^2$–Sendegrundimpuls. Insbesondere sollen für die jeweiligen Sendegrundimpulse $g_s(t)$ folgende Kenngrößen berechnet werden: | ||
+ | *die äquivalente Impulsdauer von $g_s(t)$: | ||
+ | :$$\Delta t_{\rm S} = \frac {\int ^{+\infty} _{-\infty} \hspace{0.15cm} g_s(t)\,{\rm | ||
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+ | *die Leistung des Sendesignals $s(t)$: | ||
+ | :$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{+T_{\rm M}} \cdot \int^{+T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} s^2(t)\,{\rm | ||
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+ | Gehen Sie bei Ihren Berechnungen stets davon aus, dass die beiden möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind und dass der zeitliche Abstand zwischen benachbarten Symbolen $T = 1 \ \rm µ s$ beträgt. Dies entspricht einer Bitrate von $R = 1 \ \rm Mbit/s$. | ||
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+ | *Der (positive) Maximalwert des Sendesignals ist in beiden Fällen gleich | ||
+ | :$$s_0 = \sqrt{0.5\, {\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Unter der Annahme, dass der Sender mit einem Widerstand von $50\ \rm Ω$ abgeschlossen ist, entspricht dies dem folgenden Spannungswert: | ||
+ | :$$s_0^2 = 0.5\, {\rm W} \cdot 50\, {\rm \Omega} = 25\, {\rm V}^2 \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} s_0 =5\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | Hinweise: | ||
+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems|"Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems"]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems#Kenngr.C3.B6.C3.9Fen_des_digitalen_Senders|"Kenngrößen des digitalen Senders"]]. | ||
+ | *Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral: | ||
+ | :$$\int \cos^4(a x)\,{\rm d}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin(2 a x)+ \frac{1}{32a} \cdot \sin(4 a | ||
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+ | Handelt es sich bei $s_{\rm R}(t)$ und $s_{\rm C}(t)$ um unipolare oder bipolare Signale? | ||
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+ | {Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_{\rm S}$, normiert auf die Symboldauer $T$? | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: |
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+ | '''(2)''' Das Signal $s_{\rm R}(t)$ ist NRZ–rechteckförmig. | ||
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+ | *Hierbei ist die unter Punkt '''(3)''' hergeleitete Formel und die Symmetrie von $g_s(t)$ um den Zeitpunkt $t = 0$ berücksichtigt. | ||
+ | *Das Integral ist bei der Aufgabenbeschreibung angegeben, wobei $a = π/T$ zu setzen ist: | ||
+ | :$$E_g = 2 \cdot s_0^2 \cdot \left [ \frac{3}{8} \cdot t + \frac{T}{4\pi} \cdot \sin(2 \pi \frac{t}{T})+ \frac{T}{32\pi} \cdot | ||
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+ | *Die untere Grenze $t = 0$ liefert stets das Ergebnis $0$. Hinsichtlich der oberen Grenze ergibt sich nur für den ersten Term ein von $0$ verschiedenes Ergebnis. Also: | ||
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+ | '''(6)''' Beim bipolaren Signal $s_{\rm C}(t)$ gilt folgender Zusammenhang: | ||
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Aktuelle Version vom 28. April 2022, 08:57 Uhr
Wir untersuchen in dieser Aufgabe die zwei in der Grafik dargestellten Sendesignale $s_{\rm R}(t)$ und $s_{\rm C}(t)$ mit Rechteck– bzw. $\cos^2$–Sendegrundimpuls. Insbesondere sollen für die jeweiligen Sendegrundimpulse $g_s(t)$ folgende Kenngrößen berechnet werden:
- die äquivalente Impulsdauer von $g_s(t)$:
- $$\Delta t_{\rm S} = \frac {\int ^{+\infty} _{-\infty} \hspace{0.15cm} g_s(t)\,{\rm d}t}{{\rm Max} \hspace{0.05cm}[g_s(t)]} \hspace{0.05cm},$$
- die Energie von $g_s(t)$:
- $$E_g = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$
- die Leistung des Sendesignals $s(t)$:
- $$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{+T_{\rm M}} \cdot \int^{+T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} s^2(t)\,{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
Gehen Sie bei Ihren Berechnungen stets davon aus, dass die beiden möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind und dass der zeitliche Abstand zwischen benachbarten Symbolen $T = 1 \ \rm µ s$ beträgt. Dies entspricht einer Bitrate von $R = 1 \ \rm Mbit/s$.
- Der (positive) Maximalwert des Sendesignals ist in beiden Fällen gleich
- $$s_0 = \sqrt{0.5\, {\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$
- Unter der Annahme, dass der Sender mit einem Widerstand von $50\ \rm Ω$ abgeschlossen ist, entspricht dies dem folgenden Spannungswert:
- $$s_0^2 = 0.5\, {\rm W} \cdot 50\, {\rm \Omega} = 25\, {\rm V}^2 \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} s_0 =5\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems".
- Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt "Kenngrößen des digitalen Senders".
- Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
- $$\int \cos^4(a x)\,{\rm d}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin(2 a x)+ \frac{1}{32a} \cdot \sin(4 a x)\hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- In beiden Fällen kann das Sendesignal in folgender Form dargestellt werden:
- $$s(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)$$
- Beim Signal $s_{\rm R}(t)$ sind die Amplitudenkoeffizienten $a_ν$ entweder $0$ oder $1$. Es liegt also ein unipolares Signal vor.
- Beim bipolaren Signal $s_{\rm R}(t)$ gilt dagegen $a_ν ∈ \{–1, +1\}$.
(2) Das Signal $s_{\rm R}(t)$ ist NRZ–rechteckförmig.
- Dementsprechend sind sowohl die absolute Impulsdauer $T_{\rm S}$ als auch die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_{\rm S}$ gleich der Symboldauer $T$:
- $$T_{\rm S} / T = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\Delta t_{\rm S} / T \hspace{0.1cm}\underline{ = 1 }\hspace{0.05cm}.$$
- Der Sendegrundimpuls für das Signal $s_{\rm C}(t)$ lautet:
- $$g_s(t) = \left\{ \begin{array}{c} s_0 \cdot \cos^2(\pi \cdot \frac{t}{T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T/2 \le t \le +T/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
- Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass für den $\cos^2$–Impuls folgende Werte gelten:
- $$T_{\rm S} / T = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\Delta t_{\rm S} / T \hspace{0.1cm}\underline{ = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Für die Energie des Rechteckimpulses gilt:
- $$E_g = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm d}t = s_0^2 \cdot T = 0.5\, {\rm W} \cdot 1\, {\rm µ s} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-6}\, {\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Bei einem bipolaren Rechtecksignal würde gelten:
- $$s_{\rm R}^2(t)= s_0^2 = {\rm const.} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_s = s_0^2 \cdot \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int ^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} \,{\rm d}t = s_0^2 \hspace{0.05cm}.$$
- Da das Signal $s_{\rm R}(t)$ hier jedoch unipolar ist, gilt in der Hälfte der Zeit $s_{\rm R}(t)= 0$. Somit ergibt sich:
- $$P_{\rm S} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25 \,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Für die Energie des $\cos^2$–Impulses gilt:
- $$E_g = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm d}t = 2 \cdot s_0^2 \cdot \int^{T/2} _{0} \cos^4(\pi \cdot {t}/{T})\,{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei ist die unter Punkt (3) hergeleitete Formel und die Symmetrie von $g_s(t)$ um den Zeitpunkt $t = 0$ berücksichtigt.
- Das Integral ist bei der Aufgabenbeschreibung angegeben, wobei $a = π/T$ zu setzen ist:
- $$E_g = 2 \cdot s_0^2 \cdot \left [ \frac{3}{8} \cdot t + \frac{T}{4\pi} \cdot \sin(2 \pi \frac{t}{T})+ \frac{T}{32\pi} \cdot \sin(4 \pi \frac{t}{T})\right ]_{0}^{T/2}\hspace{0.05cm}.$$
- Die untere Grenze $t = 0$ liefert stets das Ergebnis $0$. Hinsichtlich der oberen Grenze ergibt sich nur für den ersten Term ein von $0$ verschiedenes Ergebnis. Also:
- $$E_g = 2 \cdot s_0^2 \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{T}{2} = \frac{3}{8} \cdot 5 \cdot 10^{-7}\, {\rm Ws} \hspace{0.1cm}\underline{ = 0.1875 \cdot 10^{-6}\, {\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
(6) Beim bipolaren Signal $s_{\rm C}(t)$ gilt folgender Zusammenhang:
- $$P_{\rm S} = \frac{ E_g}{T} = \frac{ 1.875 \cdot 10^{-7}\, {\rm Ws}}{10^{-6}\, {\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline{ = 0.1875 \,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$