Aufgaben:Aufgabe 1.1: Sendegrundimpulse: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir untersuchen in dieser Aufgabe die zwei in der Grafik dargestellten Sendesignale  $s_{\rm R}(t)$  und  $s_{\rm C}(t)$  mit Rechteck– bzw.  $\cos^2$–Sendegrundimpuls.  Insbesondere sollen für die jeweiligen Sendegrundimpulse  $g_s(t)$  folgende Kenngrößen berechnet werden:
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*die äquivalente Impulsdauer von  $g_s(t)$:
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:$$\Delta t_{\rm S} =  \frac {\int ^{+\infty} _{-\infty} \hspace{0.15cm} g_s(t)\,{\rm
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d}t}{{\rm Max} \hspace{0.05cm}[g_s(t)]} \hspace{0.05cm},$$
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*die Energie von  $g_s(t)$:
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:$$E_g =  \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm
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d}t \hspace{0.05cm},$$
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*die Leistung des Sendesignals  $s(t)$:
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:$$P_{\rm S} =  \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{+T_{\rm M}} \cdot \int^{+T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} s^2(t)\,{\rm
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d}t \hspace{0.05cm}.$$
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Gehen Sie bei Ihren Berechnungen stets davon aus,  dass die beiden möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind und dass der zeitliche Abstand zwischen benachbarten Symbolen  $T = 1 \ \rm  µ s$  beträgt.  Dies entspricht einer Bitrate von  $R = 1 \ \rm Mbit/s$.
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*Der  (positive)  Maximalwert des Sendesignals ist in beiden Fällen gleich
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:$$s_0 =  \sqrt{0.5\, {\rm W}}  \hspace{0.05cm}.$$
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*Unter der Annahme,  dass der Sender mit einem Widerstand von  $50\ \rm  Ω$  abgeschlossen ist,  entspricht dies dem folgenden Spannungswert:
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:$$s_0^2 =  0.5\, {\rm W} \cdot 50\, {\rm \Omega} = 25\, {\rm V}^2 \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} s_0 =5\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.$$
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems|"Systemkomponenten eines Basisbandübertragungssystems"]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt  [[Digitalsignalübertragung/Systemkomponenten_eines_Basisbandübertragungssystems#Kenngr.C3.B6.C3.9Fen_des_digitalen_Senders|"Kenngrößen des digitalen Senders"]].
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*Gegeben ist das folgende unbestimmte Integral:
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:$$\int \cos^4(a  x)\,{\rm d}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin(2 a  x)+ \frac{1}{32a} \cdot \sin(4 a
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x)\hspace{0.05cm}.$$
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
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<quiz display=simple>
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Handelt es sich bei $s_{\rm R}(t)$ und $s_{\rm C}(t)$ um unipolare oder bipolare Signale?
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|type="()"}
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- $s_{\rm R}(t)$&nbsp; ist ein bipolares Signal und &nbsp;$s_{\rm C}(t)$&nbsp; ein unipolares.
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+ $s_{\rm C}(t)$&nbsp; ist ein bipolares Signall und &nbsp;$s_{\rm R}(t)$&nbsp; ein unipolares.
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{Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer &nbsp;$\Delta t_{\rm S}$,&nbsp; normiert auf die Symboldauer &nbsp;$T$?
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|type="{}"}
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$\text{beim Signal}\ \ s_{\rm R}(t) \text{:} \ \ \Delta t_{\rm S}/T \ = \ $ { 1 3% }
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$\text{beim Signal}\ \ s_{\rm C}(t) \text{:} \ \ \Delta t_{\rm S}/T \ = \ $ { 0.5 3% }
  
<quiz display=simple>
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{Wie groß ist die Energie des rechteckförmigen Sendegrundimpulses &nbsp;$g_s(t)$?
{Multiple-Choice Frage
+
|type="{}"}
|type="[]"}
+
$E_g \ = \ $ { 0.5 } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm Ws$
- Falsch
 
+ Richtig
 
  
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{Wie groß ist die Leistung des rechteckförmigen Sendesignals &nbsp;$s_{\rm R}(t)$?
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 +
$P_{\rm S} \ = \ $ { 0.25 3% } $\ \rm W$
  
{Input-Box Frage
+
{Wie groß ist die Energie des &nbsp;$\cos^2$&ndash;Sendegrundimpulses &nbsp;$g_s(t)$?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$E_g \ = \ $ { 0.1875 3% } $\ \cdot 10^{-6}\ \rm Ws$
  
 +
{Wie groß ist die Leistung des Sendesignals &nbsp;$s_{\rm C}(t)$?
 +
|type="{}"}
 +
$P_{\rm S} \ = \ $ { 0.1875 3% } $\ \rm W$
  
  
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
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'''1.'''
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'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
'''2.'''
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*In beiden Fällen kann das Sendesignal in folgender Form dargestellt werden:
'''3.'''
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:$$s(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)$$
'''4.'''
+
*Beim Signal&nbsp; $s_{\rm R}(t)$&nbsp; sind die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_ν$&nbsp; entweder&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $1$.&nbsp; Es liegt also ein unipolares Signal vor.
'''5.'''
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*Beim bipolaren Signal&nbsp; $s_{\rm R}(t)$&nbsp; gilt dagegen&nbsp; $a_ν ∈ \{–1, +1\}$.
'''6.'''
+
 
'''7.'''
+
 
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'''(2)'''&nbsp; Das Signal&nbsp; $s_{\rm R}(t)$&nbsp; ist NRZ–rechteckförmig.
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*Dementsprechend sind sowohl die absolute Impulsdauer&nbsp; $T_{\rm S}$&nbsp; als auch die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_{\rm S}$&nbsp; gleich der Symboldauer $T$:
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:$$T_{\rm S} / T = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\Delta t_{\rm S} / T \hspace{0.1cm}\underline{ = 1 }\hspace{0.05cm}.$$
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*Der Sendegrundimpuls für das Signal&nbsp; $s_{\rm C}(t)$&nbsp; lautet:
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:$$g_s(t)  =  \left\{ \begin{array}{c} s_0 \cdot \cos^2(\pi \cdot \frac{t}{T})  \\
 +
0 \\  \end{array} \right.\quad
 +
\begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
 +
\\    \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c}
 +
-T/2 \le t \le +T/2 \hspace{0.05cm}, \\
 +
{\rm sonst} \hspace{0.05cm}.  \\
 +
\end{array}$$
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*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man,&nbsp; dass für den&nbsp; $\cos^2$–Impuls&nbsp; folgende Werte gelten:
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:$$T_{\rm S} / T = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\Delta t_{\rm S} / T \hspace{0.1cm}\underline{ = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
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'''(3)'''&nbsp; Für die Energie des Rechteckimpulses gilt:
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:$$E_g =  \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm
 +
d}t = s_0^2 \cdot T = 0.5\, {\rm W} \cdot 1\, {\rm &micro; s} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-6}\, {\rm
 +
Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(4)'''&nbsp; Bei einem bipolaren Rechtecksignal würde gelten:
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:$$s_{\rm R}^2(t)= s_0^2 = {\rm const.} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_s =  s_0^2 \cdot
 +
\lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int ^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} \,{\rm
 +
d}t = s_0^2 \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Da das Signal&nbsp; $s_{\rm R}(t)$&nbsp; hier jedoch unipolar ist,&nbsp; gilt in der Hälfte der Zeit&nbsp; $s_{\rm R}(t)= 0$.&nbsp; Somit ergibt sich:
 +
:$$P_{\rm S} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25 \,{\rm
 +
W}}  \hspace{0.05cm}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Für die Energie des&nbsp; $\cos^2$–Impulses gilt:
 +
:$$E_g =  \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm
 +
d}t = 2 \cdot s_0^2 \cdot \int^{T/2} _{0} \cos^4(\pi \cdot {t}/{T})\,{\rm
 +
d}t \hspace{0.05cm}.$$
 +
*Hierbei ist die unter Punkt&nbsp; '''(3)'''&nbsp; hergeleitete Formel und die Symmetrie von&nbsp; $g_s(t)$&nbsp; um den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; berücksichtigt.
 +
*Das Integral ist bei der Aufgabenbeschreibung angegeben,&nbsp; wobei&nbsp; $a = π/T$&nbsp; zu setzen ist:
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:$$E_g =    2  \cdot s_0^2 \cdot \left [ \frac{3}{8} \cdot t + \frac{T}{4\pi} \cdot \sin(2 \pi \frac{t}{T})+ \frac{T}{32\pi} \cdot
 +
\sin(4 \pi \frac{t}{T})\right ]_{0}^{T/2}\hspace{0.05cm}.$$
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*Die untere Grenze&nbsp; $t = 0$&nbsp; liefert stets das Ergebnis&nbsp; $0$.&nbsp; Hinsichtlich der oberen Grenze ergibt sich nur für den ersten Term ein von&nbsp; $0$&nbsp; verschiedenes Ergebnis.&nbsp; Also:
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:$$E_g =    2  \cdot s_0^2 \cdot  \frac{3}{8} \cdot \frac{T}{2} = \frac{3}{8} \cdot 5 \cdot 10^{-7}\, {\rm
 +
Ws} \hspace{0.1cm}\underline{ = 0.1875 \cdot 10^{-6}\, {\rm
 +
Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(6)'''&nbsp; Beim bipolaren Signal&nbsp; $s_{\rm C}(t)$&nbsp; gilt folgender Zusammenhang:
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:$$P_{\rm  S} = \frac{ E_g}{T} = \frac{ 1.875 \cdot 10^{-7}\, {\rm
 +
Ws}}{10^{-6}\, {\rm  s}}\hspace{0.1cm}\underline{ = 0.1875 \,{\rm  W}}  \hspace{0.05cm}.$$
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[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^1.1 Basisband-Systemkomponenten^]]
 
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Aktuelle Version vom 28. April 2022, 08:57 Uhr


Betrachtete Sendegrundimpulse

Wir untersuchen in dieser Aufgabe die zwei in der Grafik dargestellten Sendesignale  $s_{\rm R}(t)$  und  $s_{\rm C}(t)$  mit Rechteck– bzw.  $\cos^2$–Sendegrundimpuls.  Insbesondere sollen für die jeweiligen Sendegrundimpulse  $g_s(t)$  folgende Kenngrößen berechnet werden:

  • die äquivalente Impulsdauer von  $g_s(t)$:
$$\Delta t_{\rm S} = \frac {\int ^{+\infty} _{-\infty} \hspace{0.15cm} g_s(t)\,{\rm d}t}{{\rm Max} \hspace{0.05cm}[g_s(t)]} \hspace{0.05cm},$$
  • die Energie von  $g_s(t)$:
$$E_g = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm d}t \hspace{0.05cm},$$
  • die Leistung des Sendesignals  $s(t)$:
$$P_{\rm S} = \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{+T_{\rm M}} \cdot \int^{+T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} s^2(t)\,{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$


Gehen Sie bei Ihren Berechnungen stets davon aus,  dass die beiden möglichen Amplitudenkoeffizienten gleichwahrscheinlich sind und dass der zeitliche Abstand zwischen benachbarten Symbolen  $T = 1 \ \rm µ s$  beträgt.  Dies entspricht einer Bitrate von  $R = 1 \ \rm Mbit/s$.

  • Der  (positive)  Maximalwert des Sendesignals ist in beiden Fällen gleich
$$s_0 = \sqrt{0.5\, {\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Unter der Annahme,  dass der Sender mit einem Widerstand von  $50\ \rm Ω$  abgeschlossen ist,  entspricht dies dem folgenden Spannungswert:
$$s_0^2 = 0.5\, {\rm W} \cdot 50\, {\rm \Omega} = 25\, {\rm V}^2 \hspace{0.15cm} \Rightarrow \hspace{0.15cm} s_0 =5\, {\rm V} \hspace{0.05cm}.$$



Hinweise:

$$\int \cos^4(a x)\,{\rm d}x = \frac{3}{8} \cdot x + \frac{1}{4a} \cdot \sin(2 a x)+ \frac{1}{32a} \cdot \sin(4 a x)\hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Handelt es sich bei $s_{\rm R}(t)$ und $s_{\rm C}(t)$ um unipolare oder bipolare Signale?

$s_{\rm R}(t)$  ist ein bipolares Signal und  $s_{\rm C}(t)$  ein unipolares.
$s_{\rm C}(t)$  ist ein bipolares Signall und  $s_{\rm R}(t)$  ein unipolares.

2

Wie groß ist die äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_{\rm S}$,  normiert auf die Symboldauer  $T$?

$\text{beim Signal}\ \ s_{\rm R}(t) \text{:} \ \ \Delta t_{\rm S}/T \ = \ $

$\text{beim Signal}\ \ s_{\rm C}(t) \text{:} \ \ \Delta t_{\rm S}/T \ = \ $

3

Wie groß ist die Energie des rechteckförmigen Sendegrundimpulses  $g_s(t)$?

$E_g \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}\ \rm Ws$

4

Wie groß ist die Leistung des rechteckförmigen Sendesignals  $s_{\rm R}(t)$?

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm W$

5

Wie groß ist die Energie des  $\cos^2$–Sendegrundimpulses  $g_s(t)$?

$E_g \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6}\ \rm Ws$

6

Wie groß ist die Leistung des Sendesignals  $s_{\rm C}(t)$?

$P_{\rm S} \ = \ $

$\ \rm W$


Musterlösung

(1)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 2:

  • In beiden Fällen kann das Sendesignal in folgender Form dargestellt werden:
$$s(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T)$$
  • Beim Signal  $s_{\rm R}(t)$  sind die Amplitudenkoeffizienten  $a_ν$  entweder  $0$  oder  $1$.  Es liegt also ein unipolares Signal vor.
  • Beim bipolaren Signal  $s_{\rm R}(t)$  gilt dagegen  $a_ν ∈ \{–1, +1\}$.


(2)  Das Signal  $s_{\rm R}(t)$  ist NRZ–rechteckförmig.

  • Dementsprechend sind sowohl die absolute Impulsdauer  $T_{\rm S}$  als auch die äquivalente Impulsdauer  $\Delta t_{\rm S}$  gleich der Symboldauer $T$:
$$T_{\rm S} / T = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\Delta t_{\rm S} / T \hspace{0.1cm}\underline{ = 1 }\hspace{0.05cm}.$$
  • Der Sendegrundimpuls für das Signal  $s_{\rm C}(t)$  lautet:
$$g_s(t) = \left\{ \begin{array}{c} s_0 \cdot \cos^2(\pi \cdot \frac{t}{T}) \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} -T/2 \le t \le +T/2 \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
  • Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man,  dass für den  $\cos^2$–Impuls  folgende Werte gelten:
$$T_{\rm S} / T = 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\Delta t_{\rm S} / T \hspace{0.1cm}\underline{ = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Für die Energie des Rechteckimpulses gilt:

$$E_g = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm d}t = s_0^2 \cdot T = 0.5\, {\rm W} \cdot 1\, {\rm µ s} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-6}\, {\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Bei einem bipolaren Rechtecksignal würde gelten:

$$s_{\rm R}^2(t)= s_0^2 = {\rm const.} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} P_s = s_0^2 \cdot \lim_{T_{\rm M} \to \infty} \frac{1}{T_{\rm M}} \cdot \int ^{T_{\rm M}/2} _{-T_{\rm M}/2} \,{\rm d}t = s_0^2 \hspace{0.05cm}.$$
  • Da das Signal  $s_{\rm R}(t)$  hier jedoch unipolar ist,  gilt in der Hälfte der Zeit  $s_{\rm R}(t)= 0$.  Somit ergibt sich:
$$P_{\rm S} = {1}/{2} \cdot s_0^2 \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25 \,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$


(5)  Für die Energie des  $\cos^2$–Impulses gilt:

$$E_g = \int^{+\infty} _{-\infty} g_s^2(t)\,{\rm d}t = 2 \cdot s_0^2 \cdot \int^{T/2} _{0} \cos^4(\pi \cdot {t}/{T})\,{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$
  • Hierbei ist die unter Punkt  (3)  hergeleitete Formel und die Symmetrie von  $g_s(t)$  um den Zeitpunkt  $t = 0$  berücksichtigt.
  • Das Integral ist bei der Aufgabenbeschreibung angegeben,  wobei  $a = π/T$  zu setzen ist:
$$E_g = 2 \cdot s_0^2 \cdot \left [ \frac{3}{8} \cdot t + \frac{T}{4\pi} \cdot \sin(2 \pi \frac{t}{T})+ \frac{T}{32\pi} \cdot \sin(4 \pi \frac{t}{T})\right ]_{0}^{T/2}\hspace{0.05cm}.$$
  • Die untere Grenze  $t = 0$  liefert stets das Ergebnis  $0$.  Hinsichtlich der oberen Grenze ergibt sich nur für den ersten Term ein von  $0$  verschiedenes Ergebnis.  Also:
$$E_g = 2 \cdot s_0^2 \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{T}{2} = \frac{3}{8} \cdot 5 \cdot 10^{-7}\, {\rm Ws} \hspace{0.1cm}\underline{ = 0.1875 \cdot 10^{-6}\, {\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$


(6)  Beim bipolaren Signal  $s_{\rm C}(t)$  gilt folgender Zusammenhang:

$$P_{\rm S} = \frac{ E_g}{T} = \frac{ 1.875 \cdot 10^{-7}\, {\rm Ws}}{10^{-6}\, {\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline{ = 0.1875 \,{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$