Aufgaben:Aufgabe 4.1: Zum Gram-Schmidt-Verfahren: Unterschied zwischen den Versionen
(Die Seite wurde neu angelegt: „ {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/4.1 Signale, Basisfunktionen und Vektorräume [[Datei:|right|]] ===Fragebogen=== <quiz display=simple>…“) |
|||
(33 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
− | {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/ | + | {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Signale, Basisfunktionen und Vektorräume}} |
+ | [[Datei:P_ID1994__Dig_A_4_1.png|right|frame|Gram-Schmidt-Vorgaben]] | ||
+ | Für die vier durch die Abbildung definierten Signale $s_1(t), \, \text{...} \, , s_4(t)$ sind durch Anwendung des Gram–Schmidt–Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ und $\varphi_3(t)$ zu ermitteln, so dass für die Signale mit $i = 1, \, \text{...} \, , 4$ geschrieben werden kann: | ||
+ | :$$s_i(t) = s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) + s_{i3} \cdot \varphi_3(t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | [[ | + | *In der Teilaufgabe '''(1)''' gelte $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ \rm µ s$. |
+ | |||
+ | *In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: $A = 1$, $T = 1$. | ||
+ | |||
+ | *Damit sind sowohl die Koeffizienten $s_{\it ij}$ als auch die Basisfunktionen $\varphi_{\it j}(t)$ $($jeweils mit $j = 1, 2, 3)$ dimensionslose Größen. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Hinweise: | ||
+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Orthonormale_Basisfunktionen|"Orthonormale Basisfunktionen"]] und [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|"Gram–Schmidt–Verfahren"]]. | ||
+ | |||
Zeile 9: | Zeile 24: | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | { | + | {Welche Einheiten besitzen die folgenden Größen mit $A^2 = 1 \, \rm mW$ und $T = 1 \, {\rm µ s}$? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | - | + | - Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ sind dimensionslos. |
− | + | + | + Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ haben die Einheit $\rm \sqrt{\rm s}$. |
+ | - Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ sind dimensionslos. | ||
+ | + Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ haben die Einheit $\rm \sqrt{\rm Ws}$. | ||
+ | {Führen Sie den ersten Schritt des Gram–Schmidt–Verfahrens durch. Wie für die weiteren Aufgaben gelte $A = 1$ und $T = 1$. | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $s_{\rm 11} \ = \ $ { 1.414 3% } | ||
+ | $s_{\rm 12} \ = \ $ { 0. } | ||
+ | $s_{\rm 13} \ = \ $ { 0. } | ||
− | { | + | {Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_2(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $\ | + | $s_{\rm 21} \ = \ $ { 0.707 3% } |
− | + | $s_{\rm 22} \ = \ $ { 0.707 3% } | |
+ | $s_{\rm 23} \ = \ $ { 0. } | ||
+ | {Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_3(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $s_{\rm 31} \ = \ $ { -0.72821--0.68579 } | ||
+ | $s_{\rm 32} \ = \ $ { 0.707 3% } | ||
+ | $s_{\rm 33} \ = \ $ { 0. } | ||
+ | {Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_4(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$? | ||
+ | |type="{}"} | ||
+ | $s_{\rm 41} \ = \ $ { 0. } | ||
+ | $s_{\rm 42} \ = \ $ { 0. } | ||
+ | $s_{\rm 43} \ = \ $ { 1 3% } | ||
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>: |
− | '''(2)''' | + | *Jede orthonormale Basisfunktion soll die Energie 1 aufweisen, das heißt, es muss gelten: |
− | '''(3)''' | + | :$$||\varphi_j(t)||^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t)^2\,{\rm d} t = 1 |
− | '''(4)''' | + | \hspace{0.05cm}.$$ |
− | + | ||
− | + | *Damit diese Bedingung zu erfüllen ist, muss die Basisfunktion die Einheit $\rm \sqrt{\rm s}$ besitzen. Zu berücksichtigen ist noch die Gleichung | |
+ | :$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t).$$ | ||
+ | *Die Signale selbst weisen wie $A$ die Einheit $\rm \sqrt{\rm W}$ auf. Wegen der Einheit $\rm \sqrt{\rm 1/s}$ von $\varphi_{ j}(t)$ ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen, wenn die Koeffizienten $s_{\it ij}$ mit der Einheit $\rm \sqrt{\rm Ws}$ angegeben werden. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(2)''' Die Energie des Signals $s_1(t)$ ist gleich $E_1 = 2$. | ||
+ | *Daraus folgt für die Norm, die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ und den Koeffizienten $s_{\rm 11}$: | ||
+ | :$$||s_1(t)|| = \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm} | ||
+ | s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} } | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | *Die anderen Koeffizienten sind $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, da die zugehörigen Basisfunktionen noch gar nicht gefunden wurden. $\varphi_1(t)$ ist formgleich mit $s_1(t)$. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''(3)''' Da nach Berücksichtigung von $s_2(t)$ höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind, gilt mit Sicherheit $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$. Dagegen erhält man | ||
+ | *für den Koeffizienten | ||
+ | :$$||s_1(t)|| = \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm} | ||
+ | s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} } | ||
+ | \hspace{0.05cm};$$ | ||
+ | |||
+ | *für die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$: | ||
+ | :$$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - 0.707 \cdot 0.707 = 0.5\\ | ||
+ | 0 - 0.707 \cdot (-0.707) = 0.5 \end{array} \right.\quad | ||
+ | \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 1 | ||
+ | \\ 1 \le t < 2 \\ \end{array} | ||
+ | \hspace{0.05cm}; $$ | ||
+ | |||
+ | *für die zweite Basisfunktion: | ||
+ | :$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||},\hspace{0.2cm} | ||
+ | ||\theta_2(t)|| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_2(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0.5/0.707 = 0.707\\ | ||
+ | 0 \end{array} \right.\quad | ||
+ | \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 2 | ||
+ | \\ 2 \le t < 3 \\ \end{array} | ||
+ | \hspace{0.05cm}; $$ | ||
+ | |||
+ | *schließlich für den zweiten Koeffizienten | ||
+ | :$$s_{22} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 1 \cdot 0.707 + 0 \cdot 0.707 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.707} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | Die Berechnungen sind in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht. | ||
+ | |||
+ | [[Datei:P_ID1995__Dig_A_4_1c.png|right|frame|Gram-Schmidt-Berechnungen]] | ||
+ | |||
+ | '''(4)''' Man erkennt sofort, dass $s_3(t)$ sich als Linearkombination aus $s_1(t)$ und $s_2(t)$ ausdrücken lässt: | ||
+ | :$$s_{3}(t) = -s_{1}(t) + s_{2}(t),$$ | ||
+ | :$$s_{31} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{11} + s_{21} = -1.414 + 0.707 = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {-0.707}\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$$s_{32} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{12} + s_{22} = 0 + 0.707 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.707}\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$$s_{33} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{13} + s_{23} = 0 + 0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}. $$ | ||
+ | |||
+ | '''(5)''' Der Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ ist weder durch $\varphi_1(t)$ noch durch $\varphi_2(t)$ abgedeckt. | ||
+ | *Deshalb liefert $s_4(t)$ die neue Basisfunktion $\varphi_3(t)$. | ||
+ | |||
+ | *Da $s_4(t)$ nur Anteile im Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ aufweist und $||s_4(t)|| = 1$ ist, ergibt sich $\varphi_3(t) = s_4(t)$ sowie | ||
+ | :$$s_{41} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{42} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1} \hspace{0.05cm}. $$ | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
− | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.1 | + | [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.1 Basisfunktionen & Vektorräume^]] |
Aktuelle Version vom 13. Juli 2022, 16:20 Uhr
Für die vier durch die Abbildung definierten Signale $s_1(t), \, \text{...} \, , s_4(t)$ sind durch Anwendung des Gram–Schmidt–Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ und $\varphi_3(t)$ zu ermitteln, so dass für die Signale mit $i = 1, \, \text{...} \, , 4$ geschrieben werden kann:
- $$s_i(t) = s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) + s_{i3} \cdot \varphi_3(t)\hspace{0.05cm}.$$
- In der Teilaufgabe (1) gelte $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ \rm µ s$.
- In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: $A = 1$, $T = 1$.
- Damit sind sowohl die Koeffizienten $s_{\it ij}$ als auch die Basisfunktionen $\varphi_{\it j}(t)$ $($jeweils mit $j = 1, 2, 3)$ dimensionslose Größen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten "Orthonormale Basisfunktionen" und "Gram–Schmidt–Verfahren".
Fragebogen
Musterlösung
- Jede orthonormale Basisfunktion soll die Energie 1 aufweisen, das heißt, es muss gelten:
- $$||\varphi_j(t)||^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t)^2\,{\rm d} t = 1 \hspace{0.05cm}.$$
- Damit diese Bedingung zu erfüllen ist, muss die Basisfunktion die Einheit $\rm \sqrt{\rm s}$ besitzen. Zu berücksichtigen ist noch die Gleichung
- $$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t).$$
- Die Signale selbst weisen wie $A$ die Einheit $\rm \sqrt{\rm W}$ auf. Wegen der Einheit $\rm \sqrt{\rm 1/s}$ von $\varphi_{ j}(t)$ ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen, wenn die Koeffizienten $s_{\it ij}$ mit der Einheit $\rm \sqrt{\rm Ws}$ angegeben werden.
(2) Die Energie des Signals $s_1(t)$ ist gleich $E_1 = 2$.
- Daraus folgt für die Norm, die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ und den Koeffizienten $s_{\rm 11}$:
- $$||s_1(t)|| = \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm} s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} } \hspace{0.05cm}.$$
- Die anderen Koeffizienten sind $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, da die zugehörigen Basisfunktionen noch gar nicht gefunden wurden. $\varphi_1(t)$ ist formgleich mit $s_1(t)$.
(3) Da nach Berücksichtigung von $s_2(t)$ höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind, gilt mit Sicherheit $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$. Dagegen erhält man
- für den Koeffizienten
- $$||s_1(t)|| = \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm} s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} } \hspace{0.05cm};$$
- für die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$:
- $$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - 0.707 \cdot 0.707 = 0.5\\ 0 - 0.707 \cdot (-0.707) = 0.5 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 1 \\ 1 \le t < 2 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}; $$
- für die zweite Basisfunktion:
- $$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||},\hspace{0.2cm} ||\theta_2(t)|| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_2(t) = \left\{ \begin{array}{c} 0.5/0.707 = 0.707\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 2 \\ 2 \le t < 3 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}; $$
- schließlich für den zweiten Koeffizienten
- $$s_{22} = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 1 \cdot 0.707 + 0 \cdot 0.707 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.707} \hspace{0.05cm}.$$
Die Berechnungen sind in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht.
(4) Man erkennt sofort, dass $s_3(t)$ sich als Linearkombination aus $s_1(t)$ und $s_2(t)$ ausdrücken lässt:
- $$s_{3}(t) = -s_{1}(t) + s_{2}(t),$$
- $$s_{31} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{11} + s_{21} = -1.414 + 0.707 = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {-0.707}\hspace{0.05cm},$$
- $$s_{32} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{12} + s_{22} = 0 + 0.707 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.707}\hspace{0.05cm},$$
- $$s_{33} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{13} + s_{23} = 0 + 0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}. $$
(5) Der Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ ist weder durch $\varphi_1(t)$ noch durch $\varphi_2(t)$ abgedeckt.
- Deshalb liefert $s_4(t)$ die neue Basisfunktion $\varphi_3(t)$.
- Da $s_4(t)$ nur Anteile im Bereich $2 ≤ t ≤ 3$ aufweist und $||s_4(t)|| = 1$ ist, ergibt sich $\varphi_3(t) = s_4(t)$ sowie
- $$s_{41} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{42} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0}, \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1} \hspace{0.05cm}. $$