Aufgaben:Aufgabe 2.9: Symmetrische Verzerrungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Das aus zwei Anteilen zusammengesetzte Quellensignal | Das aus zwei Anteilen zusammengesetzte Quellensignal | ||
| − | $$q(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$ | + | :$$q(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$ |
| − | wird amplitudenmoduliert und über einen linear verzerrenden Übertragungskanal übertragen. Die Trägerfrequenz ist $ | + | wird amplitudenmoduliert und über einen linear verzerrenden Übertragungskanal übertragen. |
| + | *Die Trägerfrequenz ist $f_{\rm T}$ und der zugesetzte Gleichanteil $A_{\rm T}$. | ||
| + | *Es liegt also eine "Zweiseitenband-Amplitudenmoduluation $\rm (ZSB–AM)$ mit Träger" vor. | ||
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| + | Die obere Grafik zeigt das Spektrum $S_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten Tiefpass–Signals in schematischer Form. Das bedeutet, dass die Längen der gezeichneten Diraclinien nicht den tatsächlichen Werten von $A_{\rm T}$, $A_1/2$ und $A_2/2$ entsprechen. | ||
| − | Messtechnisch erfasst wurde die Spektralfunktion $R(f)$ des Empfangssignals. In der unteren Grafik sehen Sie das daraus berechnete äquivalente Tiefpass–Spektrum $R_{TP}(f)$. | + | |
| + | Messtechnisch erfasst wurde die Spektralfunktion $R(f)$ des Empfangssignals. In der unteren Grafik sehen Sie das daraus berechnete äquivalente Tiefpass–Spektrum $R_{\rm TP}(f)$. | ||
Der Kanalfrequenzgang ist durch einige Stützwerte ausreichend genau beschrieben: | Der Kanalfrequenzgang ist durch einige Stützwerte ausreichend genau beschrieben: | ||
| − | $$ H_{\rm K}(f = f_{\rm T}) = 0.5, | + | :$$ H_{\rm K}(f = f_{\rm T}) = 0.5,$$ |
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| − | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]]. | + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation|Hüllkurvendemodulation]]. |
| − | *Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Beschreibung_mit_Hilfe_des_.C3. | + | *Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Hüllkurvendemodulation#Beschreibung_mit_Hilfe_des_.C3.A4quivalenten_Tiefpass.E2.80.93Signals|Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals]]. |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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{ Ermitteln Sie die Amplituden von Träger– und Quellensignal. | { Ermitteln Sie die Amplituden von Träger– und Quellensignal. | ||
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| − | $ | + | $A_{\rm T} \ = \hspace{0.17cm} $ { 4 3% } $\ \rm V$ |
| − | $A_1$ | + | $A_1 \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm V$ |
| − | $A_2$ | + | $A_2 \ = \ $ { 4 3% } $\ \rm V$ |
| − | {Zu welcher Art von Verzerrung hätte der Einsatz eines Hüllkurvendemodulators bei idealem Kanal $ | + | {Zu welcher Art von Verzerrung hätte der Einsatz eines Hüllkurvendemodulators bei idealem Kanal ⇒ $H_{\rm K}(f) = 1$ geführt? |
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- Keine Verzerrungen. | - Keine Verzerrungen. | ||
- Lineare Verzerrungen. | - Lineare Verzerrungen. | ||
+ Nichtlineare Verzerrungen. | + Nichtlineare Verzerrungen. | ||
| − | {Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal und beantworten Sie folgende Fragen. Ist es zutreffend, dass | + | {Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal und beantworten Sie folgende Fragen. Ist es zutreffend, dass |
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| − | + $r_{TP}(t)$ stets reell ist, | + | + $r_{\rm TP}(t)$ stets reell ist, |
| − | + $r_{TP}(t)$ stets größer oder gleich | + | + $r_{\rm TP}(t)$ stets größer oder gleich Null ist, |
| − | - die Phasenfunktion $ϕ(t)$ die Werte | + | - die Phasenfunktion $ϕ(t)$ die Werte $0^\circ$ und $180^\circ$ annehmen kann? |
{Zu welchen Verzerrungen führt der Hüllkurvendemodulator beim betrachteten Übertragungskanal? | {Zu welchen Verzerrungen führt der Hüllkurvendemodulator beim betrachteten Übertragungskanal? | ||
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- Keine Verzerrungen. | - Keine Verzerrungen. | ||
+ Lineare Verzerrungen. | + Lineare Verzerrungen. | ||
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| − | $${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$ | + | :$${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$ |
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| + | '''(2)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>: | ||
| + | *Der Modulationsgrad ergibt sich zu $m = (A_1 + A_2)/A_T = 1.75$. | ||
| + | *Damit ergeben sich bei Verwendung eines Hüllkurvendemodulators starke nichtlineare Verzerrungen. | ||
| + | *Ein Klirrfaktor kann aber nicht angegeben werden, da das Quellensignal zwei Frequenzanteile beinhaltet. | ||
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| + | :$$ r_{\rm TP}(t) = 2 \,{\rm V} + 1.2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.8 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Diese Funktion ist stets reell und nicht–negativ. | ||
| + | *Damit gilt gleichzeitig $ϕ(t) = 0$. Dagegen ist $ϕ(t) = 180^\circ$ nicht möglich. | ||
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| + | '''(4)''' Ein Vergleich der beiden Signale | ||
| + | :$$q(t) = 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t ),$$ | ||
| + | :$$ v(t) = 0.4 \cdot 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.2 \cdot 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$ | ||
| + | :zeigt, dass nun lineare Verzerrungen – genauer gesagt: Dämpfungsverzerrungen – auftreten ⇒ <u>Lösungsvorschlag 2</u>. | ||
| − | Der Kanal $ | + | *Der Kanal $H_{\rm K}(f)$ hat hier den positiven Effekt, dass anstelle von irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen nun lineare Verzerrungen entstehen, die durch ein nachgeschaltetes Filter eliminiert werden können. |
| + | *Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die stärkere Dämpfung des Quellensignals $q(t)$ im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ der Modulationsgrad herabgesetzt wird von $m = 1.75$ auf | ||
| + | :$$m = (0.4 · 3 \ \rm V + 0.2 · 4 \ \rm V)/(0.5 · 4 \ \rm V) = 1.$$ | ||
Aktuelle Version vom 16. Februar 2022, 16:34 Uhr
Sende– und Empfangsspektrum im äquivalenten Tiefpass-Bereich
Das aus zwei Anteilen zusammengesetzte Quellensignal
- $$q(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$
wird amplitudenmoduliert und über einen linear verzerrenden Übertragungskanal übertragen.
- Die Trägerfrequenz ist $f_{\rm T}$ und der zugesetzte Gleichanteil $A_{\rm T}$.
- Es liegt also eine "Zweiseitenband-Amplitudenmoduluation $\rm (ZSB–AM)$ mit Träger" vor.
Die obere Grafik zeigt das Spektrum $S_{\rm TP}(f)$ des äquivalenten Tiefpass–Signals in schematischer Form. Das bedeutet, dass die Längen der gezeichneten Diraclinien nicht den tatsächlichen Werten von $A_{\rm T}$, $A_1/2$ und $A_2/2$ entsprechen.
Messtechnisch erfasst wurde die Spektralfunktion $R(f)$ des Empfangssignals. In der unteren Grafik sehen Sie das daraus berechnete äquivalente Tiefpass–Spektrum $R_{\rm TP}(f)$.
Der Kanalfrequenzgang ist durch einige Stützwerte ausreichend genau beschrieben:
- $$ H_{\rm K}(f = f_{\rm T}) = 0.5,$$
- $$H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_1) = 0.4,$$
- $$ H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_2) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Hüllkurvendemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Anhand der Grafiken auf der Angabenseite sind folgende Aussagen möglich:
- $${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$
- $${A_{\rm 1}}/{2} \cdot 0.4 = 0.6\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} \hspace{0.15cm}\underline {= 3 \,{\rm V}},$$
- $${A_{\rm 2}}/{2} \cdot 0.2 = 0.4\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:
- Der Modulationsgrad ergibt sich zu $m = (A_1 + A_2)/A_T = 1.75$.
- Damit ergeben sich bei Verwendung eines Hüllkurvendemodulators starke nichtlineare Verzerrungen.
- Ein Klirrfaktor kann aber nicht angegeben werden, da das Quellensignal zwei Frequenzanteile beinhaltet.
(3) Richtig sind die Aussagen 1 und 2:
- Die Fourierrücktransformation von $R_{\rm TP}(f)$ führt zum Ergebnis:
- $$ r_{\rm TP}(t) = 2 \,{\rm V} + 1.2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.8 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )\hspace{0.05cm}.$$
- Diese Funktion ist stets reell und nicht–negativ.
- Damit gilt gleichzeitig $ϕ(t) = 0$. Dagegen ist $ϕ(t) = 180^\circ$ nicht möglich.
(4) Ein Vergleich der beiden Signale
- $$q(t) = 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t ),$$
- $$ v(t) = 0.4 \cdot 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.2 \cdot 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$
- zeigt, dass nun lineare Verzerrungen – genauer gesagt: Dämpfungsverzerrungen – auftreten ⇒ Lösungsvorschlag 2.
- Der Kanal $H_{\rm K}(f)$ hat hier den positiven Effekt, dass anstelle von irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen nun lineare Verzerrungen entstehen, die durch ein nachgeschaltetes Filter eliminiert werden können.
- Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die stärkere Dämpfung des Quellensignals $q(t)$ im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ der Modulationsgrad herabgesetzt wird von $m = 1.75$ auf
- $$m = (0.4 · 3 \ \rm V + 0.2 · 4 \ \rm V)/(0.5 · 4 \ \rm V) = 1.$$
