Aufgaben:Aufgabe 3.5: PM und FM bei Rechtecksignalen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ aus, | + | Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ aus, wie im oberen Diagramm dargestellt. Dieses Signal kann nur die beiden Signalwerte $±A = ±2 \ \rm V$ annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils $T = 1 \ \rm ms$. Die Periodendauer von $q(t)$ ist demzufolge $T_0 = 2 \ \rm ms$. |
| − | + | Die Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation $\rm (WM)$, die jeweils in der Form | |
| − | + | :$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big [\psi (t) \big ]$$ | |
| − | Die Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation (WM), die jeweils in der Form | + | darstellbar sind. Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation $\rm (PM)$ mit der Winkelfunktion |
| − | :$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos | ||
| − | darstellbar sind. Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation (PM) mit der Winkelfunktion | ||
:$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$ | :$$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$ | ||
| − | und der Frequenzmodulation (FM), bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt: | + | und der Frequenzmodulation $\rm (FM)$, bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt: |
:$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | $K_{\rm PM}$ und $K_{\rm FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an. | + | $K_{\rm PM}$ und $K_{\rm FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an. |
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| − | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]. | + | *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]. |
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| − | *Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als ''Phase Shift Keying'' (PSK) und entsprechend die Frequenzmodulation als ''Frequency Shift Keying'' | + | *Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als ''Phase Shift Keying'' $\rm (PSK)$ und entsprechend die Frequenzmodulation als ''Frequency Shift Keying'' $\rm (FSK)$ bezeichnet. |
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{Welches der Signale ist durch Phasenmodulation, welches durch Frequenzmodulation entstanden? | {Welches der Signale ist durch Phasenmodulation, welches durch Frequenzmodulation entstanden? | ||
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| − | - $s_1(t)$ beschreibt eine Phasenmodulation. | + | - $s_1(t)$ beschreibt eine Phasenmodulation. |
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| − | {Wie groß ist die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$, die man ohne Nachrichtensignal ⇒ $q(t) | + | {Wie groß ist die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$, die man ohne Nachrichtensignal ⇒ $q(t) \equiv 0$ messen könnte? |
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$ϕ_{\rm T} \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$ | $ϕ_{\rm T} \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$ | ||
| − | {Welche Trägerfrequenz (bezogen auf $1/T$ | + | {Welche Trägerfrequenz $($bezogen auf $1/T)$ wurde bei den Grafiken verwendet? |
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$f_{\rm T} · T \ = \ $ { 6 3% } | $f_{\rm T} · T \ = \ $ { 6 3% } | ||
| − | {Die Phase des PM–Signals ist $±90^\circ$. Wie groß ist die Modulatorkonstante? | + | {Die Phase des PM–Signals ist $±90^\circ$. Wie groß ist die Modulatorkonstante? |
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$K_{\rm PM} \ = \ $ { 0.785 3% } $\ \rm V^{-1}$ | $K_{\rm PM} \ = \ $ { 0.785 3% } $\ \rm V^{-1}$ | ||
| − | {Wie groß ist der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ des FM–Signals, bezogen auf $1/T$? | + | {Wie groß ist der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ des FM–Signals, bezogen auf $1/T$? |
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$Δf_{\rm A} · T \ = \ $ { 2 3% } | $Δf_{\rm A} · T \ = \ $ { 2 3% } | ||
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'''(1)''' Richtig ist die <u>Antwort 2</u>: | '''(1)''' Richtig ist die <u>Antwort 2</u>: | ||
| − | *Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf $s_2(t)$. | + | *Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf $s_2(t)$. |
| − | *Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei $s_1(t)$. | + | *Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei $s_1(t)$. |
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| − | '''(2)''' Mit $q(t) = 0$ erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM | + | '''(2)''' Mit $q(t) = 0$ erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM |
:$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| − | '''(4)''' Der Amplitudenwert $A = 2 \ \rm V$ führt zur Phase $90^\circ$ bzw. $π/2$ (Minus–Sinusverlauf). Daraus folgt: | + | '''(3)''' Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ kann direkt nur aus dem PM–Signal $s_2(t)$ ermittelt werden. |
| + | *Durch Abzählen der Schwingungen von $s_2(t)$ im Zeitintervall $T$ erkennt man, dass $f_{\rm T} · T\hspace{0.15cm}\underline{ = 6}$ verwendet wurde. | ||
| + | *Bei der Frequenzmodulation eines bipolaren Quellensignals tritt $f_{\rm T}$ nicht direkt auf. | ||
| + | *Die Grafiken lassen allerdings darauf schließen, dass hier ebenfalls $f_{\rm T} · T = 6$ zugrunde liegt. | ||
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| + | '''(4)''' Der Amplitudenwert $A = 2 \ \rm V$ führt zur Phase $90^\circ$ bzw. $π/2$ (Minus–Sinusverlauf). Daraus folgt: | ||
:$$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | '''(5)''' Die Grafik für $s_1(t)$ zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls $T$ entweder vier oder acht Schwingungen auftreten: $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$ | + | |
| − | Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz $f_{\rm T} · T = 6$ ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub: | + | '''(5)''' Die Grafik für $s_1(t)$ zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls $T$ entweder vier oder acht Schwingungen auftreten: $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$ |
| + | *Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz $f_{\rm T} · T = 6$ ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub: | ||
:$$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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'''(6)''' Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden: | '''(6)''' Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden: | ||
| − | $$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$ | + | :$$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Mit $ | + | *Mit $Δf_{\rm A} · {\rm A} = 2$ erhält man somit: |
:$$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
Aktuelle Version vom 27. März 2020, 16:29 Uhr
Zwei Signalverläufe bei Winkelmodulation
Wir gehen von einem bipolaren und rechteckförmigen Quellensignal $q(t)$ aus, wie im oberen Diagramm dargestellt. Dieses Signal kann nur die beiden Signalwerte $±A = ±2 \ \rm V$ annehmen und die Dauer der positiven und negativen Rechtecke ist jeweils $T = 1 \ \rm ms$. Die Periodendauer von $q(t)$ ist demzufolge $T_0 = 2 \ \rm ms$.
Die Signale $s_1(t)$ und $s_2(t)$ zeigen zwei Sendesignale bei Winkelmodulation $\rm (WM)$, die jeweils in der Form
- $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos \hspace{-0.05cm}\big [\psi (t) \big ]$$
darstellbar sind. Hierbei unterscheidet man zwischen der Phasenmodulation $\rm (PM)$ mit der Winkelfunktion
- $$\psi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + \phi(t) = \omega_{\rm T} \cdot t + K_{\rm PM} \cdot q(t)$$
und der Frequenzmodulation $\rm (FM)$, bei der die Augenblicksfrequenz linear mit $q(t)$ zusammenhängt:
- $$f_{\rm A}(t) = \frac{\omega_{\rm A}(t)}{2\pi}, \hspace{0.3cm} \omega_{\rm A}(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.03cm}\psi(t)}{{\rm d}t}= \omega_{\rm T} + K_{\rm FM} \cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
$K_{\rm PM}$ und $K_{\rm FM}$ bezeichnen dimensionsbehaftete, durch die Realisierung des PM– bzw. FM–Modulators vorgegebene Konstante. Der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ gibt die maximale Abweichung der Augenblicksfrequenz von der Trägerfrequenz an.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Frequenzmodulation.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Phasenmodulation.
- Im Vorgriff auf das vierte Kapitel sei erwähnt, dass man die Phasenmodulation bei digitalem Eingangssignal auch als Phase Shift Keying $\rm (PSK)$ und entsprechend die Frequenzmodulation als Frequency Shift Keying $\rm (FSK)$ bezeichnet.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Richtig ist die Antwort 2:
- Bei einem rechteckförmigen (digitalen) Quellensignal erkennt man die Phasenmodulation (PM) an den typischen Phasensprüngen – siehe Signalverlauf $s_2(t)$.
- Die Frequenzmodulation (FM) hat dagegen zu den verschiedenen Zeiten unterschiedliche Augenblicksfrequenzen wie bei $s_1(t)$.
(2) Mit $q(t) = 0$ erhält man entsprechend den gegebenen Gleichungen sowohl für PM als auch für FM
- $$s(t) = A_{\rm T} \cdot \cos (\omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ kann direkt nur aus dem PM–Signal $s_2(t)$ ermittelt werden.
- Durch Abzählen der Schwingungen von $s_2(t)$ im Zeitintervall $T$ erkennt man, dass $f_{\rm T} · T\hspace{0.15cm}\underline{ = 6}$ verwendet wurde.
- Bei der Frequenzmodulation eines bipolaren Quellensignals tritt $f_{\rm T}$ nicht direkt auf.
- Die Grafiken lassen allerdings darauf schließen, dass hier ebenfalls $f_{\rm T} · T = 6$ zugrunde liegt.
(4) Der Amplitudenwert $A = 2 \ \rm V$ führt zur Phase $90^\circ$ bzw. $π/2$ (Minus–Sinusverlauf). Daraus folgt:
- $$K_{\rm PM} = \frac {\pi /2}{2\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {= 0.785\,{\rm V}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Die Grafik für $s_1(t)$ zeigt, dass innerhalb eines Zeitintervalls $T$ entweder vier oder acht Schwingungen auftreten: $4 \le f_{\rm A}(t) \cdot T \le 8\hspace{0.05cm}.$
- Unter Berücksichtigung der (normiertern) Trägerfrequenz $f_{\rm T} · T = 6$ ergibt sich für den (normierten) Frequenzhub:
- $$\Delta f_{\rm A} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline {=2}\hspace{0.05cm}.$$
(6) Der Frequenzhub kann auch wie folgt dargestellt werden:
- $$\Delta f_{\rm A} = \frac {K_{\rm FM}}{2\pi}\cdot A \hspace{0.05cm}.$$
- Mit $Δf_{\rm A} · {\rm A} = 2$ erhält man somit:
- $$K_{\rm FM} = \frac {2 \cdot 2\pi}{A \cdot T}= \frac {4\pi}{2\,{\rm V} \cdot 1\,{\rm ms}}\hspace{0.15cm}\underline {= 6283 \,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}} \hspace{0.05cm}.$$
