Aufgaben:Aufgabe 5.7Z: Anwendung der IDFT: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 12. Januar 2022, 09:48 Uhr

Drei Sätze $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$
für die Spektralkoeffizienten

Bei der Diskreten Fouriertransformation $\rm (DFT)$ werden aus den Zeitabtastwerten $d(ν)$ mit der Laufvariablen $ν = 0$, ... , $N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(μ)$ mit $μ = 0$, ... , $N – 1$ wie folgt berechnet:

$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der wie folgt definiert ist:

$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für die Inverse Diskrete Fouriertransformation $\rm (IDFT)$ quasi als „Umkehrfunktion” der DFT:

$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen $D(μ)$ – die in der Tabelle mit $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$ bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Realisierung von OFDM-Systemen.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Diskrete Fouriertransformation im Buch „Signaldarstellung”.
Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet Diskrete Fouriertransformation und Inverse kontrollieren.

Fragebogen

${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ $

${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $

${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ $

Musterlösung

(1) Wegen $D(μ) = 0$ für $μ ≠ 0$ sind alle Zeitkoeffizienten $d(ν) = D(0)= 1 - {\rm j}$. Damit gilt auch:

$${\rm Re}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {=+ 1}, \hspace{0.3cm}{\rm Im}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$

(2) Hier sind alle Spektralkoeffizienten Null mit Ausnahme von $D_1 = 1 - {\rm j}$ und $D_7 = 1 + {\rm j}$.

Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten $(0 ≤ ν ≤ 7)$:

$$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {7\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}.$$

Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:

$$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ +{\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}= \left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} + {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right]+ {\rm{j}} \cdot\left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} - {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right].$$

Mit dem Satz von Euler lässt sich dieser Ausdruck wie folgt umformen:

$$d(\nu) = 2 \cdot \cos \left( {\pi}/{4}\cdot \nu \right)+ 2 \cdot \sin \left( {\pi}/{4}\cdot \nu \right).$$

Diese Zeitfunktion $d(ν)$ ist rein reell und kennzeichnet eine harmonische Schwingung mit der Amplitude $ 2 \cdot \sqrt{2}$ und der Phase $φ = 45^\circ$.
Der Zeitkoeffizient mit Index $ν = 1$ gibt das Maximum an:

$$ {\rm Re}[d(1)] = 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}+ 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot {\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.828}, \hspace{0.5cm}{\rm Im}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$

(3) Entsprechend der allgemeinen Gleichung gilt:

$$d(1) = \sum\limits_{\mu = 0}^{7} D(\mu)\cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\mu} = \left[ D(1) + D(7) \right]\cdot \cos \left( {\pi}/{4} \right) + \left[ D(3) + D(5) \right]\cdot \cos \left( {3\pi}/{4} \right)+ {\rm j} \cdot \left[ D(2) - D(6) \right]\cdot \sin \left( {\pi}/{2} \right) + D(4) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}}.$$

Die ersten drei Terme liefern rein reelle Ergebnisse:

$${\rm Re}[d(1)] = (1+1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-(3+3) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+ {\rm j} \cdot4{\rm j} \cdot 1 = -\frac{4}{\sqrt{2}}-4\hspace{0.15cm}\underline { \approx -6.829}.$$

Für den Imaginärteil ergibt sich:

$${\rm Im}[d(1)] = {\rm Im}\left[4 \cdot{\rm j} \cdot (-1) \right] \hspace{0.15cm}\underline {= -4}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1670__Mod_Z_5_7.png|right|frame|Drei Sätze „A”, „B” und „C”  für die Spektralkoeffizienten]]
+[[Datei:P_ID1670__Mod_Z_5_7.png|right|frame|Drei Sätze &nbsp;$\rm A$, &nbsp;$\rm B$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp;  <br>für die Spektralkoeffizienten]]
-Bei der [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]] (DFT) werden aus den Zeitabtastwerten $d(ν)$ mit der Laufvariablen $ν = 0$, ... , $N – 1$ die diskreten Spektralkoeffizienten $D(μ)$ mit $μ = 0$, ... , $N – 1$ wie folgt berechnet:
+Bei der &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskreten Fouriertransformation]]&nbsp; $\rm (DFT)$&nbsp; werden aus den Zeitabtastwerten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; mit der Laufvariablen &nbsp;$ν = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; die diskreten Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; mit &nbsp;$μ = 0$, ... , $N – 1$&nbsp; wie folgt berechnet:
-:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$D(\mu) = \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 0 }^{N-1} d(\nu)\cdot {w}^{\hspace{0.05cm}\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist mit $w$ der komplexe Drehfaktor abgekürzt, der wie folgt definiert ist:
+Hierbei ist mit &nbsp;$w$&nbsp; der komplexe Drehfaktor abgekürzt,&nbsp; der wie folgt definiert ist:
 :$$w = {\rm e}^{-{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi /N} = \cos \left( {2 \pi}/{N}\right)-{\rm j} \cdot \sin \left( {2 \pi}/{N}\right) \hspace{0.05cm}.$$
-Entsprechend gilt für die [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inverse Diskrete Fouriertransformation]] (IDFT) als ''Umkehrfunktion'' der DFT:
+Entsprechend gilt für die &nbsp;[[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)#Inverse_Diskrete_Fouriertransformation|Inverse Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; $\rm (IDFT)$&nbsp; quasi als &bdquo;Umkehrfunktion&rdquo; der DFT:
-:$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$d(\nu) = \sum_{\mu = 0 }^{N-1} D(\mu) \cdot {w}^{-\nu \hspace{0.08cm} \cdot \hspace{0.05cm}\mu} \hspace{0.05cm}.$$
-In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen $D(μ)$ – die in der Tabelle mit „A”, „B” und „C” bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ ermittelt werden. Es gilt somit stets $N = 8$.
+In dieser Aufgabe sollen für verschiedene komplexwertige Beispielfolgen &nbsp;$D(μ)$ – die in der Tabelle mit &nbsp;$\rm A$, &nbsp;$\rm B$&nbsp; und &nbsp;$\rm C$&nbsp; bezeichnet sind – die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; ermittelt werden.&nbsp; Es gilt somit stets &nbsp;$N = 8$.
-''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
-*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]] im Buch „Signaldarstellung”.
+Hinweise:
-*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem Interaktionsmodul [[Diskrete Fouriertransformation]] kontrollieren.
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Realisierung_von_OFDM-Systemen|Realisierung von OFDM-Systemen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+*Bezug genommen wird auch  auf das Kapitel&nbsp;  [[Signaldarstellung/Diskrete_Fouriertransformation_(DFT)|Diskrete Fouriertransformation]]&nbsp; im Buch „Signaldarstellung”.
+*Sie können Ihre Ergebnisse mit dem interaktiven Applet &nbsp;[[Applets:Diskrete_Fouriertransformation_und_Inverse|Diskrete Fouriertransformation und Inverse]]&nbsp; kontrollieren.
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 <quiz display=simple>
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die Spektralkoeffizienten $D(μ)$ gemäß '''Spalte A'''?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; für die Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; gemäß &nbsp;$\rm A$? <br> Geben Sie den ersten Koeffizienten &nbsp;$d(1)$&nbsp; mit Real&ndash; und Imaginärteil ein.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[d_1] \ = \ $ { 1 1% }
+${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $ { 1 1% }
-${\rm Im}[d_1] \ = \ $ { -1.03--0.97 }
+${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ $ { -1.03--0.97 }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die Spektralkoeffizienten $D(μ)$ gemäß '''Spalte B'''?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; für die Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; gemäß &nbsp;$\rm B$? <br> Geben Sie den ersten Koeffizienten &nbsp;$d(1)$&nbsp; mit Real&ndash; und Imaginärteil ein.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[d_1] \ = \ $ { 2.828 1% }
+${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $ { 2.828 1% }
-${\rm Im}[d_1] \ = \ $ { 0. }
+${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ $ { 0. }
-{Wie lauten die Zeitkoeffizienten $d(ν)$ für die Spektralkoeffizienten $D(μ)$ gemäß '''Spalte C'''?
+{Wie lauten die Zeitkoeffizienten &nbsp;$d(ν)$&nbsp; für die Spektralkoeffizienten &nbsp;$D(μ)$&nbsp; gemäß &nbsp;$\rm C$? <br> Geben Sie den ersten Koeffizienten &nbsp;$d(1)$&nbsp; mit Real&ndash; und Imaginärteil ein.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[d_1] \ = \ $ { -6.9--6.7 }
+${\rm Re}\big[d(1)\big] \ = \ $ { -6.9--6.7 }
-${\rm Im}[d_1] \ = \ ${ -4.04--3.96 }
+${\rm Im}\big[d(1)\big] \ = \ ${ -4.04--3.96 }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Wegen $D(μ) = 0$ für μ ≠ 0 sind alle Zeitkoeffizienten $d(ν) = D(0)$. Damit gilt auch:
+'''(1)'''&nbsp;  Wegen&nbsp; $D(μ) = 0$&nbsp; für&nbsp; $μ ≠ 0$&nbsp; sind alle Zeitkoeffizienten&nbsp; $d(ν) = D(0)= 1 - {\rm  j}$.&nbsp; Damit gilt auch:
-$${\rm Re}\{d(1)\} \hspace{0.15cm}\underline {= 1}, \hspace{0.3cm}{\rm Im}\{d(1)\} \hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$
+:$${\rm Re}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {=+ 1}, \hspace{0.3cm}{\rm Im}[d(1)]  \hspace{0.15cm}\underline {= -1}.$$
+'''(2)'''&nbsp;  Hier sind alle Spektralkoeffizienten Null mit Ausnahme von&nbsp; $D_1 = 1 - {\rm  j}$&nbsp; und&nbsp; $D_7 = 1 + {\rm  j}$.&nbsp;
+*Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten&nbsp; $(0 ≤ ν ≤ 7)$:
+:$$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {7\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}.$$
+*Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
+:$$d(\nu)  =  (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ +{\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}=
+ \left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} + {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right]+ {\rm{j}} \cdot\left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} - {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right].$$
+*Mit dem Satz von Euler lässt sich dieser Ausdruck wie folgt umformen:
+:$$d(\nu) = 2 \cdot \cos \left( {\pi}/{4}\cdot \nu \right)+ 2 \cdot \sin \left(  {\pi}/{4}\cdot \nu \right).$$
+*Diese Zeitfunktion&nbsp; $d(ν)$&nbsp; ist rein reell und kennzeichnet eine harmonische Schwingung mit der Amplitude&nbsp; $ 2 \cdot \sqrt{2}$&nbsp; und der Phase&nbsp; $φ = 45^\circ$.
+*Der Zeitkoeffizient mit Index&nbsp; $ν = 1$&nbsp; gibt das Maximum an:
+:$$ {\rm Re}[d(1)] = 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}+ 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot {\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.828}, \hspace{0.5cm}{\rm Im}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
-'''2.''' Hier sind alle Spektralkoeffizienten 0 mit Ausnahme von $D_1 = 1 – j$ und $D_7 = 1 + j$. Daraus folgt für alle Zeitkoeffizienten (0 ≤ ν ≤ 7):
-$$d(\nu) = (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {7\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}.$$
-Aufgrund der Periodizität gilt aber auch:
-$$d(\nu)  =  (1 - {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} +(1 + {\rm j}) \cdot {\rm{e}}^{ +{\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}=$$
-$$ =  \left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} + {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right]+ {\rm{j}} \cdot\left[ {\rm{e}}^{ + {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu} - {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\nu}\right].$$
-Mit dem Satz von Euler lässt sich dieser Ausdruck wie folgt umformen:
-$$d(\nu) = 2 \cdot \cos \left( \frac {\pi}{4}\cdot \nu \right)+ 2 \cdot \sin \left( \frac {\pi}{4}\cdot \nu \right).$$
-Diese Zeitfunktion d(ν) ist rein reell und kennzeichnet eine harmonische Schwingung mit der Amplitude 2 mal „Wurzel aus 2” und der Phase φ = 45°. Der Zeitkoeffizient mit ν = 1 gibt das Maximum an:
-$$ {\rm Re}[d(1)] = 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2}+ 2 \cdot \frac {\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot {\sqrt{2}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.828}, \hspace{0.5cm}{\rm Im}[d(1)] \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
-'''3.''' Entsprechend der allgemeinen Gleichung gilt:
+'''(3)'''&nbsp;  Entsprechend der allgemeinen Gleichung gilt:
-$$d(1) =  \sum\limits_{\mu = 0}^{7} D(\mu)\cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\mu} =$$
+:$$d(1) =  \sum\limits_{\mu = 0}^{7} D(\mu)\cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}/4\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}\mu} = \left[ D(1) + D(7) \right]\cdot \cos \left( {\pi}/{4} \right) + \left[ D(3) + D(5) \right]\cdot \cos \left( {3\pi}/{4} \right)+
-$$ =  \left[ D(1) + D(7) \right]\cdot \cos \left( {\pi}/{4} \right) + \left[ D(3) + D(5) \right]\cdot \cos \left( {3\pi}/{4} \right)+$$
+  {\rm j} \cdot \left[ D(2) - D(6) \right]\cdot \sin \left( {\pi}/{2} \right) + D(4) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}}.$$
-$$ +  {\rm j} \cdot \left[ D(2) - D(6) \right]\cdot \sin \left( {\pi}/{2} \right) + D(4) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm} {\rm{\pi}}}.$$
+*Die ersten drei Terme liefern rein reelle Ergebnisse:
-Die ersten drei Terme liefern rein reelle Ergebnisse:
+:$${\rm Re}[d(1)]  =  (1+1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-(3+3) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+ {\rm j} \cdot4{\rm j} \cdot 1 = -\frac{4}{\sqrt{2}}-4\hspace{0.15cm}\underline { \approx -6.829}.$$
-$${\rm Re}\{d(1)\}  =  (1+1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-(3+3) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+ {\rm j} \cdot4{\rm j} \cdot 1 =$$
+*Für den Imaginärteil ergibt sich:
-$$ =  -\frac{4}{\sqrt{2}}-4\hspace{0.15cm}\underline { \approx -6.829}.$$
+:$${\rm Im}[d(1)] = {\rm Im}\left[4 \cdot{\rm j} \cdot (-1) \right] \hspace{0.15cm}\underline {= -4}.$$
-Für den Imaginärteil ergibt sich:
-$${\rm Im}\{d(1)\} = {\rm Im}\left\{4 \cdot{\rm j} \cdot (-1) \right\} \hspace{0.15cm}\underline {= -4}.$$