Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung

1. Digitalsignalübertragung
2. Impulsinterferenzen und Entzerrungsverfahren
3. Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung

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Idealer Kanalentzerrer

Bei einem Übertragungssystem,  dessen Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  starke Verzerrungen hervorruft,  gehen wir von folgendem Blockschaltbild (obere Grafik)  und folgendem äquivalenten Ersatzschaltbild  (untere Grafik)  aus:

Block- und Ersatzschaltbild zur Berücksichtigung eines Kanalfrequenzgangs

Zu diesen Darstellungen ist Folgendes anzumerken:

• Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  wird – zumindest gedanklich – aus einem  idealen Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  und einem Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  zusammengesetzt.  Für Letzteren verwenden wir in diesem Kapitel beispielhaft einen Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$.
  

• Verschiebt man nun den idealen Entzerrer – wiederum rein gedanklich – auf die linke Seite der Rauschadditionsstelle,  so ändert sich bezüglich dem S/N–Verhältnis an der Sinke und bezüglich der Fehlerwahrscheinlichkeit nichts gegenüber dem oben gezeichneten Blockschaltbild.
  

• Aus dem Ersatzschaltbild erkennt man,  dass sich durch den Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  auch bezüglich des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  – herrührend vom Sendesignal  $s(t)$  – nichts ändert,  wenn man diesen mit  $1/H_{\rm K}(f)$  vollständig kompensiert.

• Das Nutzsignal hat somit die genau gleiche Form wie im früheren Kapitel  "Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen"  berechnet.
  

• Die Degradation durch den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  zeigt sich vielmehr durch eine signifikante Erhöhung der Detektionsstörleistung,  also der Varianz des Signals  $d_{\rm N}(t)$  – herrührend vom Störsignal  $n(t)$:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|H_{\rm K}(f)|^2}\cdot |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f \hspace{0.05cm}.$$

• Voraussetzung für eine endliche Störleistung  $\sigma_d^2$  ist allerdings,  dass der Tiefpass  $H_{\rm G}(f)$  das Rauschen  $n(t)$  bei  (sehr)  hohen Frequenzen stärker abschwächt,  als es vom idealen Entzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  angehoben wird.
  
  

Anmerkung:   Der Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  muss nach Betrag und Phase entzerrt werden,  aber nur in einem von  $H_{\rm G}(f)$  vorgegebenen eingeschränkten Frequenzbereich.  Eine vollständige Phasenentzerrung ist nur auf Kosten einer  (frequenzunabhängigen)  Laufzeit möglich,  die im Folgenden nicht weiter berücksichtigt wird.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten wieder ein Binärsystem mit NRZ–Rechteckimpulsen und gaußförmigem Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$  mit der (normierten) Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt} \cdot T = 0.4$.  Aufgrund dieses ungünstigen Empfangsfilters  $H_{\rm E}(f)$  kommt es bei allen hier dargestellten Varianten zu Impulsinterferenzen  $\rm (ISI)$.

• Die mittlere Grafik zeigt für diesen Fall das Augendiagramm des Detektionsnutzsignals  $d_{\rm S}(t)$  – also ohne Berücksichtigung des Rauschens.

• Dieses ist identisch mit dem im Kapitel  "Definition und Aussagen des Augendiagramms"  im $\text{Beispiel 3}$  (rechte Grafik)  dargestellten Augendiagramm.
  

Binäre Augendiagramme mit Impulsinterferenzen

⇒   Das linke Augendiagramm ergibt sich bei idealem Kanal,  also für 

$$H_{\rm K}(f) = 1 \ \ ⇒ \ \ 1/H_{\rm K}(f) = 1.$$

Es berücksichtigt das AWGN–Rauschen,  das aber hier mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 30 \ \rm dB$  als sehr klein angenommen wurde.  Für diese Konfiguration wurde per Simulation ermittelt:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 26.8\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}< 10^{-40}\hspace{0.05cm}.$$

⇒   Das rechte Diagramm gilt für ein   Koaxialkabel,  wobei die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  beträgt.  Hier sind die Ergebnisse bei gleichem  $E_{\rm B}/N_0$  deutlich ungünstiger:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx -4.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 0.28\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Ergebnis kann wie folgt interpretiert werden:

• Unter der Voraussetzung eines idealen Kanalentzerrers  $1/H_{\rm K}(f)$  ergibt sich auch beim verzerrenden Kanal das gleiche  „Augendiagramm ohne Rauschen”  (linke Grafik)  wie beim idealen Kanal  $H_{\rm K}(f) = 1$  (mittlere Grafik).
  

• Durch die Kanalentzerrung  $1/H_{\rm K}(f)$  wird der Rauschanteil extrem verstärkt. Im rechten Beispiel ist wegen der starken Verzerrung eine ebenso starke Entzerrung über einen weiten Frequenzbereich erforderlich.

• Die Rauschleistung  $\sigma_d^2$  ist hier um den Faktor  $1300$  größer als bei der linken Konstellation  $($keine Verzerrung   ⇒   keine Entzerrung$)$.  Damit ergibt sich die Fehlerwahrscheinlichkeit zu  $p_{\rm S}\approx p_{\rm U}\approx 50 \%$.
  

• Eine akzeptable worst-case-Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich nur bei kleinerer Rauschleistungsdichte  $N_0$.  Beispielsweise erhält man mit mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 50 \ \rm dB$  $($statt $30 \ \rm dB)$  das folgende Ergebnis:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = -4.6 +20 \approx 15.4\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 2 \cdot 10^{-9} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4 \approx 0.5 \cdot 10^{-9}\hspace{0.05cm}.$$

Erhöhung der Rauschleistung durch lineare Entzerrung

Die Augendiagramme auf der letzten Seite dokumentieren eindrucksvoll die Erhöhung der Rauschleistung  $\sigma_d^2$  bei unveränderter vertikaler Augenöffnung,  wenn man den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  empfangsseitig durch dessen Inverse kompensiert.  Dieses Ergebnis soll nun anhand der Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$  nach dem Empfangsfilter  (vor dem Entscheider)  interpretiert werden,  wobei folgende Einstellungen gelten:

• Der Kanal sei ein   Koaxialkabel  mit dem Betragsfrequenzgang

$$|H_{\rm K}(f)| = {\rm exp}\left [- a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T}\hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm} a_{\star} = 1.7\,\,{\rm Np}\hspace{0.2cm} ({\rm entsprechend} \hspace{0.2cm} 15\,\,{\rm dB}) \hspace{0.05cm}.$$

Rauschüberhöhung durch verzerrenden Kanal.     Beachten Sie: Aus Darstellungsgründen ist hier die charakteristische Kabeldämpfung mit  $a_\star = 15 \ \rm dB$   $($entsprechend  $1.7 \ \rm Np)$  deutlich kleiner gewählt ist beim rechten Augendiagramm im   Beispiel 1  auf der letzten Seite  $($gültig für  $a_\star = 40 \ \rm dB)$.

• Der  ideale Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  kompensiert den Kanalfrequenzgang vollständig. Über die Realisierung der Dämpfungs– und Phasenentzerrung wird hier keine Aussage getroffen.
  

• Zur Rauschleistungsbegrenzung wird ein  Gaußtiefpass  eingesetzt:

$$|H_{\rm G}(f)| = {\rm exp}\left [- \pi \cdot \left (\frac{f }{2 f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Damit gilt für die Rauschleistungsdichte vor dem Entscheider:

$${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \frac{|H_{\rm G }(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2} $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\it \Phi}_{d{\rm N}}(f) = \frac{N_0}{2} \cdot {\rm exp}\left [2 \cdot a_{\star}\cdot \sqrt{2 f T} - {\pi}/{2} \cdot \left ({f }/{f_{\rm G}}\right )^2 \right ] \hspace{0.05cm}.$$

Dieser Verlauf ist hier dargestellt für die  (normierten)  Grenzfrequenzen

• $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  (links)  bzw.
• $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  (rechts)

Betrachten wir zunächst die linke Grafik für die  (normierte)  Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$,  die nach den Berechnungen im  letzten Kapitel  für den idealen Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) = 1$  das Optimum darstellt.

1. Gelb hinterlegt ist die konstante Rauschleistungsdichte  $N_0/2$  am Empfängereingang.  Bei idealem Kanal wird diese durch das gaußförmige Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = H_{\rm G}(f)$  begrenzt und ergibt die Detektionsrauschleistung  $\sigma_d^2$  (in der Grafik durch die blaue Fläche gekennzeichnet).
   
   
2. Werden – wie bei leitungsgebundener Übertragung üblich – höhere Frequenzen stark gedämpft,  so steigt  $|H_{\rm E}(f)| = |H_{\rm G}(f)|/|H_{\rm K}(f)|$  aufgrund des idealen Kanalentzerrers sehr stark an,  bevor für  $f \cdot T \ge 0.6$  $($nur gültig für  $a_\star = 15 \ \rm dB$  und  $f_\text{G} \cdot T = 0.8)$  der dämpfende Einfluss des Gaußfilters wirksam wird.
   
   
3. Die Rauschleistung  $\sigma_d^2$  ist nun gleich der Fläche unter der roten Kurve, die etwa um den Faktor  $28$  größer ist als die blaue Fläche.  Die Auswirkungen dieser unterschiedlichen Rauschleistungen erkennt man auch in den Augendiagrammen auf der letzten Seite,  allerdings für  $a_\star = 40 \ \rm dB$.
   
   

Die rechte Grafik zeigt die Rauschleistungsdichte  ${\it \Phi}_{d{\rm N}}(f)$  für die normierte Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$.  Hier wird die Rauschleistung durch den idealen Kanalentzerrer nur noch um den Faktor  $9$  vergrößert  (Verhältnis zwischen der Fläche unter der roten Kurve und der blauen Fläche).

$\text{Fazit:}$  Aus obiger Grafik und den bisherigen Erläuterungen geht bereits hervor,  dass bei verzerrendem Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) \ne 1$ die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  des Gaußtiefpasses  $H_{\rm G}(f)$  nach dem idealen Kanalentzerrer  $1/H_{\rm K}(f)$  nicht mehr optimal sein wird.

Optimierung der Grenzfrequenz

Die Grafik zeigt die Störabstände in Abhängigkeit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  des gaußförmigen Gesamtfrequenzgangs  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.  Dieses Bild gilt für

Optimale Grenzfrequenz des GTP bei verzerrendem Kanal  $(a_\star = 15 \ \rm dB).$
⇒   Die Kreise zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_d$   ⇒   „mittleres” Detektions–SNR $($Maß für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S})$.
⇒   Die Quadrate zeigen die dB–Werte für  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}$   ⇒   „ungünstigstes” SNR  $($Maß für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U})$.

• einen   koaxialen Übertragungskanal  mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$,
  

• AWGN–Rauschen mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$, wobei  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$  zu setzen ist   ⇒   NRZ–Rechteckimpulse.
  
  

Man erkennt aus dieser Darstellung und durch Vergleich mit der  entsprechenden Grafik  im letzten Kapitel,  die für  $H_{\rm K}(f) = 1$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  gegolten hat:

• Auch bei stark verzerrendem Kanal ist  $\rho_{\rm U}$  eine geeignete untere Schranke für  $\rho_{d} \ge \rho_{\rm U}$. Entsprechend ist auch  $p_{\rm U} \ge p_{\rm S} $  eine sinnvolle obere Schranke für  $p_{\rm S}$.

• Bei der betrachteten Kabeldämpfung  $a_\star = 15 \ \rm dB$  ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T \approx 0.55$  optimal und es gilt  $\ddot{o}/s_0 \approx 1.327$  sowie  $\sigma_d/s_0 \approx 0.106$.  Daraus ergeben sich der
      ungünstigste Störabstand  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 \ dB$  und
      die Worst–Case–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} \approx 2 \cdot 10^{-9}.$
  

• Eine kleinere Grenzfrequenz hätte eine deutlich kleinere Augenöffnung zur Folge, ohne dass dadurch auch  $\sigma_d$  gleichermaßen verkleinert würde.  Für  $f_\text{G} \cdot T = 0.4$  gilt:

$$\ddot{o}/s_0 \approx 0.735,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.072\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.1\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.8 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

• Ist die Grenzfrequenz  $f_\text{G}$  zu groß,  so wird das Rauschen weniger effektiv begrenzt.  Beispielsweise lauten die Werte für die Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T =0.8$:

$$\ddot{o}/s_0 \approx 1.819,\hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \approx 0.178\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U}\approx 14.2\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 1.7 \cdot 10^{-7}\hspace{0.05cm}.$$

• Die optimalen Werte sind mit  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{d} \approx 16.2 \ \rm dB$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} \approx \ \rm 15.9 dB$  deutlich ausgeprägter als bei idealem Kanal.

Bei einem Vergleich der Störabstände ist allerdings zu berücksichtigen, dass hier  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 27 \ \rm dB$  zugrunde liegt;  in der  entsprechenden Grafik  für den idealen Kanal wurde dagegen von  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 13 \ \rm dB$  ausgegangen.

Optimale Grenzfrequenz in Abhängigkeit der Kabeldämpfung

Wir betrachten weiter

• ein Binärsystem mit NRZ–Sendeimpulsen   ⇒   $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$,
  
• ein Koaxialkabel  $H_{\rm K}(f)$,  charakteristische Dämpfung  $a_\star$,
  
• einen Gauß–Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm G}(f) = H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$.

Die blauen Kreise  (linke Achsenbeschriftung)  markieren die optimale Grenzfrequenzen  $f_\text{G, opt}$  für die jeweilige Kabeldämpfung  $a_\star$.

Zusätzlich ist in der Grafik mit roten Quadraten der  Systemwirkungsgrad  (bei Spitzenwertbegrenzung)  $\eta$  dargestellt, der das Verhältnis des mit der betrachteten Konfiguration erreichbaren SNR  $\rho_{d}$  zum maximal möglichen S/N-Verhältnis  $\rho_{d, \ {\rm max}}$  angibt.

Optimale Grenzfrequenz und Systemwirkungsgrad in Abhängigkeit der charakteristischen Kabeldämpfung. Insbesondere gilt:
$\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ dB;$   $\hspace{0.8cm} 10 · \lg \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 80 \ \rm dB) = -78.2 \ dB;$

Ersetzt man  $\rho_d$  durch  $\rho_{\rm U}$, also  $p_{\rm S}$  durch  $p_{\rm U}$, so kann der Systemwirkungsgrad wie folgt dargestellt werden:

$$\eta = \eta_{\rm A}=\frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A}}}= \frac{\rho_d}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}\approx \frac{\rho_{\rm U}}{2 \cdot E_{\rm B}/N_0}.$$

Man erkennt aus der Anordnung der blauen Kreise:

• Die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$  hängt signifikant von der Stärke der Verzerrungen des Koaxialkabels ab,  genauer gesagt:   ausschließlich von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  bei der halben Bitrate.

• Je größer die Kabeldämpfung  $a_\star$  und damit der Rauscheinfluss ist, um so niedriger ist die optimale Grenzfrequenz  $f_\text{G, opt}$.
  

• Allerdings ist stets  $f_\text{G, opt} > 0.27/T$. Andernfalls wäre das Auge geschlossen, gleichbedeutend mit der „Worst–case”–Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 0.5$.

Diskutieren wir nun die Abhängigkeit des Systemwirkungsgrads  $\eta$  (rote Quadrate)  von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$.  Die rechte Ordinate beginnt oben bei  $0 \ \rm dB$  und erstreckt sich nach unten bis  $-100 \ \rm dB$.

Wie nun an einigen Zahlenbeispielen verdeutlicht werden soll,  vermeidet die Darstellung  $\eta = \eta\hspace{0.05cm}(a_\star)$  einige Probleme,  die sich aus dem großen Wertebereich von S/N–Verhältnissen ergeben:

• Der Ordinatenwert  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \eta\hspace{0.05cm}(a_\star = 0 \ \rm dB) = -1.4 \ \rm dB$  sagt aus,  dass der bei idealem Kanal bestmögliche Gaußtiefpass mit Grenzfrequenz  $f_\text{G} \cdot T = 0.8$  um  $1.4 \ \rm dB$  schlechter ist als der optimale  (Matched–Filter–)  Empfänger.
  

• Gehen wir von idealem Kanal  $(a_\star = 0 \ \rm dB)$  und  $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$  aus,  so besagt die obige Gleichung auch,  dass diese Konfiguration zu folgender (worst-case) Fehlerwahrscheinlichkeit führen wird:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(2) + 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}(\eta) \approx \approx 10\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}1.4\, {\rm dB}= 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U}\approx 7 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}.$$

• Soll diese  (ungünstigste)  Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U} = 7 \cdot 10^{-5}$   ⇒   $10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U} = 11.6 \ \rm dB$   beim Kanal mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$  nicht überschritten werden,  so muss demnach für das Verhältnis  $E_{\rm B}/N_0$  gelten:

\[10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} \ge 11.6\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-3\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}(-78.2)\,{\rm dB}= 86.8\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}{E_{\rm B}}/{N_0}\approx 5 \cdot 10^{8}\hspace{0.05cm}.\]

• Um dies zu erreichen,  muss allerdings die Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses entsprechend den blauen Kreisen in der Grafik auf  $f_{\rm G}= 0.33/T$  herabgesetzt werden.
  

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.3: Rauschen bei Kanalentzerrung

Aufgabe 3.3Z: Optimierung eines Koaxialkabelsystems