Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Einfaches Pfadverlustmodell: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das | + | Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das so genannte Pfadverlustmodell beschreiben, das durch folgende Gleichungen gegeben ist: |
:$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$ | :$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Grafik zeigt den Pfadverlust | + | Die Grafik zeigt den Pfadverlust $V_{\rm P}(d)$ in $\rm dB$. Auch die Abszisse $d$ ist logarithmisch dargestellt. |
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− | Gezeigt sind zwei Szenarien (A) und (B) mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz | + | In obiger Gleichung sind verwendet: |
+ | * die Distanz $d$ zwischen Sender und Empfänger, | ||
+ | * die Bezugsentfernung $d_0 = 1 \ \rm m$, | ||
+ | * der Pfadverlustexponent $\gamma$, | ||
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+ | Gezeigt sind zwei Szenarien $\rm (A)$ und $\rm (B)$ mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz $d_0 = 1 \ \rm m$: | ||
:$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Eines dieser beiden Szenarien beschreibt die so genannte | + | Eines dieser beiden Szenarien beschreibt die so genannte „Freiraumdämpfung”, charakterisiert durch den Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$. |
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+ | Die Gleichung für die Freiraumdämpfung gilt allerdings nur im <i>Fernfeld</i>, also wenn der Abstand $d$ zwischen Sender und Empfänger größer ist als die so genannte „Fraunhofer–Distanz” | ||
:$$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$ | :$$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Hierbei ist | + | Hierbei ist $D$ die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne. Bei einer $\lambda/2$–Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis: |
:$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$ | :$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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− | { | + | {Welche Pfadverlustexponenten gelten für die Szenarien $\rm (A)$ und $\rm (B)$? |
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+ | + Ja, | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Die (einfachste) Pfadverlustgleichung lautet: |
− | '''2 | + | :$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm}.$$ |
− | '''3 | + | |
− | + | *Beim Szenario $\rm (A)$ beträgt der Abfall pro Dekade $($zum Beispiel zwischen $d_0 = 1 \ \rm m$ und $d = 10 \ \rm m)$ genau $20 \ \rm dB$ und beim Szenario $\rm (B)$ $25 \ \rm dB$. | |
− | + | *Daraus folgt: | |
− | + | :$$\gamma_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\gamma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{= 2.5}\hspace{0.05cm}.$$ | |
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+ | '''(2)''' Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da die Freiraumdämpfung durch den Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$ gekennzeichnet ist. | ||
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+ | '''(3)''' Der Pfadverlust bei $d_0 = 1 \ \rm m$ ist in beiden Fällen $V_0 = 20 \ \rm dB$. Beim Szenario $\rm (A)$ gilt weiter: | ||
+ | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}}\right ]^2 = 20\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} | ||
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+ | *Die Frequenz $f_{\rm A}$ hängt mit der Wellenlänge $\lambda_{\rm A}$ über die Lichtgeschwindigkeit $c$ zusammen: | ||
+ | :$$f_{\rm A} = \frac{c}{\lambda_{\rm A}} = \frac{3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{1.257\,{\rm m}} = 2.39 \cdot 10^8\,{\rm Hz} | ||
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+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | *Dagegen gilt für das Szenario $\rm (B)$: | ||
+ | :$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ]^{2.5} = 20\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 25 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ] = 20\,{\rm dB}$$ | ||
+ | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}} = 10^{0.8} \approx 6.31 | ||
+ | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
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+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
+ | {f_{\rm B}} = \frac{6.31}{10} \cdot {f_{\rm A}} = 0.631 \cdot 240 \,{\rm MHz}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 151.4 \,\,{\rm MHz}} | ||
+ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | '''(4)''' Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>: | ||
+ | *Beim Freiraum–Szenario $\rm (A)$ beträgt die Fraunhofer–Distanz $d_{\rm F} = \lambda_{\rm A}/2 \approx 63 \ \rm cm$. Es gilt also stets $d > d_{\rm F}$. | ||
+ | *Auch beim Szenario $\rm (B)$ ist wegen $\lambda_{\rm B} \approx 2 \ \rm m$ ⇒ $d_{\rm F} \approx 1 \ \rm m$ der gesamte dargestellte Verlauf richtig. | ||
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− | [[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.1 Distanzabhängige Dämpfung | + | [[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.1 Distanzabhängige Dämpfung^]] |
Aktuelle Version vom 9. Mai 2020, 16:30 Uhr
Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das so genannte Pfadverlustmodell beschreiben, das durch folgende Gleichungen gegeben ist:
- $$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$
- $$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
Die Grafik zeigt den Pfadverlust $V_{\rm P}(d)$ in $\rm dB$. Auch die Abszisse $d$ ist logarithmisch dargestellt.
In obiger Gleichung sind verwendet:
- die Distanz $d$ zwischen Sender und Empfänger,
- die Bezugsentfernung $d_0 = 1 \ \rm m$,
- der Pfadverlustexponent $\gamma$,
- die Wellenlänge $\lambda$ der elektromagnetischen Welle.
Gezeigt sind zwei Szenarien $\rm (A)$ und $\rm (B)$ mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz $d_0 = 1 \ \rm m$:
- $$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
Eines dieser beiden Szenarien beschreibt die so genannte „Freiraumdämpfung”, charakterisiert durch den Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$.
Die Gleichung für die Freiraumdämpfung gilt allerdings nur im Fernfeld, also wenn der Abstand $d$ zwischen Sender und Empfänger größer ist als die so genannte „Fraunhofer–Distanz”
- $$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist $D$ die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne. Bei einer $\lambda/2$–Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis:
- $$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung.
- Die Lichtgeschwindigkeit beträgt $c = 3 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$.
Fragebogen
Musterlösung
- $$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm}.$$
- Beim Szenario $\rm (A)$ beträgt der Abfall pro Dekade $($zum Beispiel zwischen $d_0 = 1 \ \rm m$ und $d = 10 \ \rm m)$ genau $20 \ \rm dB$ und beim Szenario $\rm (B)$ $25 \ \rm dB$.
- Daraus folgt:
- $$\gamma_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\gamma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{= 2.5}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig ist Lösungsvorschlag 1, da die Freiraumdämpfung durch den Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$ gekennzeichnet ist.
(3) Der Pfadverlust bei $d_0 = 1 \ \rm m$ ist in beiden Fällen $V_0 = 20 \ \rm dB$. Beim Szenario $\rm (A)$ gilt weiter:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}}\right ]^2 = 20\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}} = 10 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \lambda_{\rm A} = 4 \pi \cdot 0.1\,{\rm m} = 1.257\,{\rm m} \hspace{0.05cm}.$$
- Die Frequenz $f_{\rm A}$ hängt mit der Wellenlänge $\lambda_{\rm A}$ über die Lichtgeschwindigkeit $c$ zusammen:
- $$f_{\rm A} = \frac{c}{\lambda_{\rm A}} = \frac{3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{1.257\,{\rm m}} = 2.39 \cdot 10^8\,{\rm Hz} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 240 \,\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen gilt für das Szenario $\rm (B)$:
- $$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ]^{2.5} = 20\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 25 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ] = 20\,{\rm dB}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}} = 10^{0.8} \approx 6.31 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\lambda_{\rm B}} = \frac{10}{6.31} \cdot {\lambda_{\rm A}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {f_{\rm B}} = \frac{6.31}{10} \cdot {f_{\rm A}} = 0.631 \cdot 240 \,{\rm MHz}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 151.4 \,\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Richtig ist der erste Lösungsvorschlag:
- Beim Freiraum–Szenario $\rm (A)$ beträgt die Fraunhofer–Distanz $d_{\rm F} = \lambda_{\rm A}/2 \approx 63 \ \rm cm$. Es gilt also stets $d > d_{\rm F}$.
- Auch beim Szenario $\rm (B)$ ist wegen $\lambda_{\rm B} \approx 2 \ \rm m$ ⇒ $d_{\rm F} \approx 1 \ \rm m$ der gesamte dargestellte Verlauf richtig.