Aufgaben:Aufgabe 1.1Z: Einfaches Pfadverlustmodell: Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
 
(18 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 3: Zeile 3:
 
}}
 
}}
  
[[Datei:P_ID2121__Mob_Z_1_1.png|right|frame|Bandbreitenorganisation bei DSL]]
+
[[Datei:P_ID2121__Mob_Z_1_1.png|right|frame|Zum einfachsten Pfadverlustmodell]]
Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das sog. Pfadverlustmodell beschreiben, das durch folgende Gleichungen gegeben ist:
+
Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das so genannte Pfadverlustmodell beschreiben, das durch folgende Gleichungen gegeben ist:
 
:$$V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$
 
:$$V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$
 
:$$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB}  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB}  \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
  
Die Grafik zeigt den Pfadverlust <i>V</i><sub>P</sub>(<i>d</i>) in dB. Auch die Abszisse <i>d</i> ist logarithmisch dargestellt. In obiger Gleichung sind verwendet:
+
Die Grafik zeigt den Pfadverlust&nbsp; $V_{\rm P}(d)$&nbsp; in&nbsp; $\rm dB$.&nbsp; Auch die Abszisse&nbsp; $d$&nbsp; ist logarithmisch dargestellt.  
* die Distanz <i>d</i> von Sender und Empfänger,
 
* die Bezugsentfernung <i>d</i><sub>0</sub> = 1 m,
 
* der Pfadverlustexponent <i>&gamma;</i>,
 
* die Wellenlänge <i>&lambda;</i> der elektromagnetischen Welle.
 
  
Gezeigt sind zwei Szenarien (A) und (B) mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz <i>d</i><sub>0</sub> = 1 m:
+
In obiger Gleichung sind verwendet:
 +
* die Distanz&nbsp; $d$&nbsp; zwischen Sender und Empfänger,
 +
* die Bezugsentfernung&nbsp; $d_0 = 1 \ \rm m$,
 +
* der Pfadverlustexponent&nbsp; $\gamma$,
 +
* die Wellenlänge&nbsp; $\lambda$&nbsp; der elektromagnetischen Welle.
 +
 
 +
 
 +
Gezeigt sind zwei Szenarien &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz&nbsp; $d_0 = 1 \ \rm m$:
 
:$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB}  \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB}  \hspace{0.05cm}.$$
  
Eines dieser beiden Szenarien beschreibt die so genannte <i>Freiraumdämpfung</i>,  charakterisiert  durch den Pfadverlustexponenten <nobr><i>&gamma;</i> = 2</nobr>. Die Gleichung für die Freiraumdämpfung  gilt allerdings nur im <i>Fernfeld</i>, also wenn der Abstand <i>d</i> zwischen Sender und Empfänger größer ist als die &bdquo;Fraunhofer&ndash;Distanz&rdquo;
+
Eines dieser beiden Szenarien beschreibt die so genannte &bdquo;Freiraumdämpfung&rdquo;,  charakterisiert  durch den Pfadverlustexponenten&nbsp; $\gamma = 2$.&nbsp;
 +
 
 +
Die Gleichung für die Freiraumdämpfung  gilt allerdings nur im&nbsp; <i>Fernfeld</i>, also wenn der Abstand&nbsp; $d$&nbsp; zwischen Sender und Empfänger größer ist als die so genannte  &bdquo;Fraunhofer&ndash;Distanz&rdquo;
 
:$$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
  
Hierbei ist <i>D</i> die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne. Bei einer <i>&lambda;</i>/2&ndash;Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis:
+
Hierbei ist&nbsp; $D$&nbsp; die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne.&nbsp; Bei einer&nbsp; $\lambda/2$&ndash;Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis:
 
:$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
 
:$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
  
''Hinweis:'' Die Aufgabe gehört zum [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Kapitel 1.1]].
+
 
Die Lichtgeschwindigkeit beträgt <i>c</i> = 3 &middot; 10<sup>8</sup> m/s.
+
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
''Hinweise:''  
 +
* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Distanzabh%C3%A4ngige_D%C3%A4mpfung_und_Abschattung|Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung]].
 +
* Die Lichtgeschwindigkeit beträgt&nbsp; $c  = 3 \cdot 10^8 \ {\rm m/s}$.
 +
 +
 
  
  
Zeile 31: Zeile 47:
  
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice Frage
+
{Welche Pfadverlustexponenten gelten für die Szenarien &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (B)$?
|type="[]"}
+
|type="{}"}
- Falsch
+
$\gamma_{\rm A}\ = \ $ { 2 3% }
+ Richtig
+
$\gamma_{\rm B} \ = \ $ { 2.5 3% }
  
 +
{Welches Szenario beschreibt die Freiraumdämpfung?
 +
|type="()"}
 +
+ Szenario &nbsp;$\rm (A)$,
 +
- Szenario &nbsp;$\rm (B)$.
  
{Input-Box Frage
+
{Welche Signalfrequenzen liegen den Szenarien &nbsp;$\rm (A)$&nbsp; und &nbsp;$\rm (B)$&nbsp; zugrunde?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
+
$f_{\rm A} \ = \ $ { 240 3% } $\ \rm MHz$
 
+
$f_{\rm B} \ = \ $ { 151.4 3% } $\ \rm MHz$
 
 
  
 +
{Gilt das Freiraum&ndash;Szenario für alle Distanzen zwischen&nbsp; $1 \ \rm m$&nbsp; und&nbsp; $10 \ \rm km$?
 +
|type="()"}
 +
+ Ja,
 +
- Nein.
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
+
'''(1)'''&nbsp; Die (einfachste) Pfadverlustgleichung lautet:
'''2.'''
+
:$$V_{\rm P}(d) =  V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm}.$$
'''3.'''
+
 
'''4.'''
+
*Beim Szenario&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; beträgt der Abfall pro Dekade&nbsp; $($zum Beispiel zwischen&nbsp; $d_0 = 1 \ \rm m$&nbsp; und&nbsp; $d = 10 \ \rm m)$&nbsp; genau&nbsp; $20 \ \rm dB$&nbsp; und beim Szenario&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; $25 \ \rm dB$.
'''5.'''
+
*Daraus folgt:
'''6.'''
+
:$$\gamma_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\gamma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{= 2.5}\hspace{0.05cm}.$$
'''7.'''
+
 
 +
 
 +
 
 +
'''(2)'''&nbsp; Richtig ist <u>Lösungsvorschlag 1</u>, da die Freiraumdämpfung durch den Pfadverlustexponenten&nbsp; $\gamma = 2$&nbsp; gekennzeichnet ist.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Der Pfadverlust bei&nbsp; $d_0 = 1 \ \rm m$&nbsp; ist in beiden Fällen&nbsp; $V_0 = 20 \ \rm dB$.&nbsp; Beim Szenario&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; gilt weiter:
 +
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}}\right ]^2 = 20\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}
 +
\frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}} = 10 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm}
 +
\lambda_{\rm A} = 4 \pi \cdot 0.1\,{\rm m} = 1.257\,{\rm m}
 +
  \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Die Frequenz&nbsp; $f_{\rm A}$&nbsp; hängt mit der Wellenlänge&nbsp; $\lambda_{\rm A}$&nbsp; über die Lichtgeschwindigkeit&nbsp; $c$&nbsp; zusammen:
 +
:$$f_{\rm A} =  \frac{c}{\lambda_{\rm A}} = \frac{3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{1.257\,{\rm m}}  = 2.39 \cdot 10^8\,{\rm Hz}
 +
\hspace{0.15cm} \underline{\approx  240 \,\,{\rm MHz}}
 +
  \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
*Dagegen gilt für das Szenario&nbsp; $\rm (B)$:
 +
:$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ]^{2.5} = 20\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 25 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ] = 20\,{\rm dB}$$
 +
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}} = 10^{0.8} \approx 6.31
 +
  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
{\lambda_{\rm B}} = \frac{10}{6.31} \cdot {\lambda_{\rm A}}\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
{f_{\rm B}} = \frac{6.31}{10} \cdot {f_{\rm A}} = 0.631 \cdot 240 \,{\rm MHz}\hspace{0.15cm} \underline{\approx  151.4 \,\,{\rm MHz}}
 +
  \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>erste Lösungsvorschlag</u>:
 +
*Beim Freiraum&ndash;Szenario&nbsp; $\rm (A)$&nbsp; beträgt die Fraunhofer&ndash;Distanz&nbsp; $d_{\rm F} = \lambda_{\rm A}/2 \approx 63 \ \rm cm$. &nbsp; Es gilt also stets&nbsp; $d > d_{\rm F}$.
 +
*Auch beim Szenario&nbsp; $\rm (B)$&nbsp; ist wegen &nbsp; $\lambda_{\rm B} \approx 2 \ \rm m$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $d_{\rm F} \approx 1 \ \rm m$ &nbsp; der gesamte dargestellte Verlauf richtig.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.1 Distanzabhängige Dämpfung und Abschattung^]]
+
[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.1 Distanzabhängige Dämpfung^]]

Aktuelle Version vom 9. Mai 2020, 16:30 Uhr

Zum einfachsten Pfadverlustmodell

Funkübertragung bei Sichtverbindung lässt sich durch das so genannte Pfadverlustmodell beschreiben, das durch folgende Gleichungen gegeben ist:

$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm},$$
$$V_{\rm 0} = \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt den Pfadverlust  $V_{\rm P}(d)$  in  $\rm dB$.  Auch die Abszisse  $d$  ist logarithmisch dargestellt.

In obiger Gleichung sind verwendet:

  • die Distanz  $d$  zwischen Sender und Empfänger,
  • die Bezugsentfernung  $d_0 = 1 \ \rm m$,
  • der Pfadverlustexponent  $\gamma$,
  • die Wellenlänge  $\lambda$  der elektromagnetischen Welle.


Gezeigt sind zwei Szenarien  $\rm (A)$  und  $\rm (B)$  mit gleichem Pfadverlust bei der Distanz  $d_0 = 1 \ \rm m$:

$$V_{\rm 0} = V_{\rm P}(d = d_0) = 20\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

Eines dieser beiden Szenarien beschreibt die so genannte „Freiraumdämpfung”, charakterisiert durch den Pfadverlustexponenten  $\gamma = 2$. 

Die Gleichung für die Freiraumdämpfung gilt allerdings nur im  Fernfeld, also wenn der Abstand  $d$  zwischen Sender und Empfänger größer ist als die so genannte „Fraunhofer–Distanz”

$$d_{\rm F} = {2 D^2}/{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist  $D$  die größte physikalische Abmessung der Sendeantenne.  Bei einer  $\lambda/2$–Antenne erhält man hierfür das einfache Ergebnis:

$$d_{\rm F} = \frac{2 \cdot (\lambda/2)^2}{\lambda} = {\lambda}/{2}\hspace{0.05cm}.$$





Hinweise:



Fragebogen

1

Welche Pfadverlustexponenten gelten für die Szenarien  $\rm (A)$  und  $\rm (B)$?

$\gamma_{\rm A}\ = \ $

$\gamma_{\rm B} \ = \ $

2

Welches Szenario beschreibt die Freiraumdämpfung?

Szenario  $\rm (A)$,
Szenario  $\rm (B)$.

3

Welche Signalfrequenzen liegen den Szenarien  $\rm (A)$  und  $\rm (B)$  zugrunde?

$f_{\rm A} \ = \ $

$\ \rm MHz$
$f_{\rm B} \ = \ $

$\ \rm MHz$

4

Gilt das Freiraum–Szenario für alle Distanzen zwischen  $1 \ \rm m$  und  $10 \ \rm km$?

Ja,
Nein.


Musterlösung

(1)  Die (einfachste) Pfadverlustgleichung lautet:

$$V_{\rm P}(d) = V_{\rm 0} + \gamma \cdot 10\,{\rm dB} \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (d/d_0)\hspace{0.05cm}.$$
  • Beim Szenario  $\rm (A)$  beträgt der Abfall pro Dekade  $($zum Beispiel zwischen  $d_0 = 1 \ \rm m$  und  $d = 10 \ \rm m)$  genau  $20 \ \rm dB$  und beim Szenario  $\rm (B)$  $25 \ \rm dB$.
  • Daraus folgt:
$$\gamma_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline{= 2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\gamma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{= 2.5}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Richtig ist Lösungsvorschlag 1, da die Freiraumdämpfung durch den Pfadverlustexponenten  $\gamma = 2$  gekennzeichnet ist.


(3)  Der Pfadverlust bei  $d_0 = 1 \ \rm m$  ist in beiden Fällen  $V_0 = 20 \ \rm dB$.  Beim Szenario  $\rm (A)$  gilt weiter:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}}\right ]^2 = 20\,{\rm dB} \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm A}} = 10 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \lambda_{\rm A} = 4 \pi \cdot 0.1\,{\rm m} = 1.257\,{\rm m} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Frequenz  $f_{\rm A}$  hängt mit der Wellenlänge  $\lambda_{\rm A}$  über die Lichtgeschwindigkeit  $c$  zusammen:
$$f_{\rm A} = \frac{c}{\lambda_{\rm A}} = \frac{3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{1.257\,{\rm m}} = 2.39 \cdot 10^8\,{\rm Hz} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 240 \,\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
  • Dagegen gilt für das Szenario  $\rm (B)$:
$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ]^{2.5} = 20\,{\rm dB} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 25 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \left [ \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}}\right ] = 20\,{\rm dB}$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{4 \cdot \pi \cdot d_0}{\lambda_{\rm B}} = 10^{0.8} \approx 6.31 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\lambda_{\rm B}} = \frac{10}{6.31} \cdot {\lambda_{\rm A}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {f_{\rm B}} = \frac{6.31}{10} \cdot {f_{\rm A}} = 0.631 \cdot 240 \,{\rm MHz}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 151.4 \,\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$


(4)  Richtig ist der erste Lösungsvorschlag:

  • Beim Freiraum–Szenario  $\rm (A)$  beträgt die Fraunhofer–Distanz  $d_{\rm F} = \lambda_{\rm A}/2 \approx 63 \ \rm cm$.   Es gilt also stets  $d > d_{\rm F}$.
  • Auch beim Szenario  $\rm (B)$  ist wegen   $\lambda_{\rm B} \approx 2 \ \rm m$   ⇒   $d_{\rm F} \approx 1 \ \rm m$   der gesamte dargestellte Verlauf richtig.