Aufgaben:Aufgabe 1.4: Rayleigh–WDF und Jakes–LDS: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID2119__Mob_A_1_4.png|right|frame]] | + | [[Datei:P_ID2119__Mob_A_1_4.png|right|frame| Betrag $a= |z(t)|$ und WDF $f_a(a)$ bei Rayleigh-Fading mit Dopplereinfluss]] |
− | Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Rayleigh–Fading]]. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags | + | Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit [[Mobile_Kommunikation/Wahrscheinlichkeitsdichte_des_Rayleigh%E2%80%93Fadings#Beispielhafte_Signalverl.C3.A4ufe_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Rayleigh–Fading]]. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags $a(t) = |z(t)| ≥ 0$ in folgender Weise darstellen: |
− | :$$f_a(a) = | + | :$$f_a(a) = {a}/{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} |
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− | Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Betrag | + | Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Betrag nicht größer als ein vorgegebener Wert $A$ ist, kann wie folgt berechnet werden: |
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− | Die beiden Kanäle, die entsprechend den Farben „Rot” und „Blau” in den Grafiken mit | + | Die beiden Kanäle, die entsprechend den Farben „Rot” und „Blau” in den Grafiken mit $\rm R$ bzw. $\rm B$ bezeichnet werden, unterscheiden sich durch die Geschwindigkeit $v$ und damit in der Form des Leistungsdichtespektrums $\rm (LDS)$ ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$. |
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+ | *In beiden Fällen ergibt sich aber ein so genanntes [[Mobile_Kommunikation/Statistische_Bindungen_innerhalb_des_Rayleigh%E2%80%93Prozesses#AKF_und_LDS_bei_Rayleigh.E2.80.93Fading|Jakes–Spektrum]]. | ||
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+ | *Für eine Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ mit $|f_{\rm D}| <f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}$ lautet die Gleichung: | ||
:$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\sqrt{ 1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } | :$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\sqrt{ 1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } | ||
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− | Dopplerfrequenzen außerhalb dieses Intervalls von & | + | *Dopplerfrequenzen außerhalb dieses Intervalls von $-f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}$ bis $+f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}$ sind ausgeschlossen. |
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:$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Hierbei bezeichnet | + | *Hierbei bezeichnet ${\rm J_0}(.)$ die <i>Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung</i>. Es gilt ${\rm J_0}(0) = 1$. |
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+ | *Außerdem ist bekannt, dass sich die Geschwindigkeiten $v_{\rm R}$ und $v_{\rm B}$ um den Faktor $2$ unterscheiden. | ||
+ | *Ob $v_{\rm R}$ doppelt so groß ist als $v_{\rm B}$ oder umgekehrt, sollen Sie anhand der Grafiken entscheiden. | ||
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+ | * Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie das interaktive Applet [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen]] benutzen. | ||
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− | {Ermitteln Sie den Rayleigh–Parameter | + | {Ermitteln Sie den Rayleigh–Parameter $\sigma$ für die Kanäle $\rm R$ und $\rm B$. |
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− | $ | + | Kanal ${\rm B}\text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr}(a ≤ 0.316) \ = \ $ { 4.9 3% } $\ \rm \%$ |
− | {Welche Aussagen sind bezüglich den Fahrgeschwindigkeiten zutreffend? | + | {Welche Aussagen sind bezüglich den Fahrgeschwindigkeiten $v$ zutreffend? |
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− | - $\ | + | - $v_{\rm B}$ ist doppelt so groß als $v_{\rm R}$. |
− | + $\ | + | + $v_{\rm B}$ ist halb so groß als $v_{\rm R}$. |
− | + Mit $ | + | + Mit $v = 0$ wäre $|z(t)|$ konstant. |
− | - Mit $ | + | - Mit $v = 0$ wäre $|z(t)|$ spektral gesehen weiß. |
− | - Mit | + | - Mit $v → ∞$ wäre $|z(t)|$ konstant. |
− | + Mit | + | + Mit $v → ∞$ wäre $|z(t)|$ weiß. |
{Welche der folgenden Aussagen sind richtig? | {Welche der folgenden Aussagen sind richtig? | ||
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− | - Der LDS–Wert | + | - Der LDS–Wert ${\it \Phi_z}(f_{\rm D} = 0)$ ist bei beiden Kanälen gleich. |
− | + Der AKF–Wert | + | + Der AKF–Wert $\varphi_z(\Delta t = 0)$ ist bei beiden Kanälen gleich. |
− | + Die Fläche unter | + | + Die Fläche unter ${\it \Phi_z}(f_{\rm D})$ ist bei beiden Kanälen gleich. |
− | - Die Fläche unter | + | - Die Fläche unter $\varphi_z(\Delta t)$ ist bei beiden Kanälen gleich. |
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
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− | '''1 | + | '''(1)''' Aus der WDF erkennt man, dass das WDF–Maximum für beide Kanäle gleich $0.6$ ist und für $a = 1$ auftritt. |
− | '''2 | + | *Die Rayleigh–WDF und ihre Ableitung lauten allgemein: |
− | + | :$$f_a(a) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -a^2/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm},$$ | |
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− | + | \frac{a^2}{\sigma^4} \cdot {\rm e}^{ -a^2/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$ | |
− | '''6.''' | + | |
− | ''' | + | *Durch Nullsetzen der Ableitung lässt sich zeigen, dass das WDF–Maximum bei $a = \sigma$ auftritt. Da die Rayleigh–WDF für beide Kanäle gilt, folgt daraus: |
+ | :$$\sigma_{\rm R} = \sigma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | '''(2)''' Wegen der gleichen WDF ist auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit für beide Kanäle gleich. | ||
+ | *Mit der angegebenen Gleichung erhält man hierfür: | ||
+ | :$${\rm Pr}(a \le 0.316) = {\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} a \le -10\,\,{\rm dB}) = 1 - {\rm e}^{ -{0.316^2}/(2\sigma^2)} | ||
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+ | '''(3)''' <u>Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 6</u>: | ||
+ | * Die kleinere Geschwindigkeit $v_{\rm B}$ erkennt man daran, dass sich der Betrag $|z(t)|$ bei der blauen Kurve langsamer ändert. | ||
+ | * Bei stehendem Fahrzeug entartet das LDS zu ${\it \Phi_z}(f_{\rm D}) = 2\sigma^2\cdot \delta(f_{\rm D})$, und es ist $|z(t)| = A = \rm const.$, wobei die Konstante $A$ entsprechend der Rayleighverteilung ausgewürfelt wird. | ||
+ | * Bei extrem hoher Geschwindigkeit wird das Jakes–Spektrum über einen immer größeren Bereich flach und immer niedriger. Es nähert sich dann dem LDS von weißem Rauschen an. Allerdings müsste dazu $v$ schon in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit sein. | ||
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+ | '''(4)''' Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>: | ||
+ | *Durch den Rayleigh–Parameter $\sigma = 1$ liegt auch die „Leistung” ${\rm E}[|z(t)|^2] = 2\sigma^2 = 2$ des Zufallsprozesses fest. | ||
+ | *Somit gilt sowohl für $\rm R$ als auch für $\rm B$: | ||
+ | :$$\varphi_z ({\rm \Delta}t = 0) = 2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \int_{-\infty}^{+\infty}{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) \hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} = 2 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
− | [[Category:Aufgaben zu | + | [[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^1.3 Rayleigh–Fading mit Gedächtnis^]] |
Aktuelle Version vom 12. Mai 2020, 13:19 Uhr
Wir betrachten zwei verschiedene Mobilfunkkanäle mit Rayleigh–Fading. In beiden Fällen lässt sich die WDF des Betrags $a(t) = |z(t)| ≥ 0$ in folgender Weise darstellen:
- $$f_a(a) = {a}/{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Betrag nicht größer als ein vorgegebener Wert $A$ ist, kann wie folgt berechnet werden:
- $${\rm Pr}(|z(t)| \le A) = 1 - {\rm e}^{ -{A^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$
Die beiden Kanäle, die entsprechend den Farben „Rot” und „Blau” in den Grafiken mit $\rm R$ bzw. $\rm B$ bezeichnet werden, unterscheiden sich durch die Geschwindigkeit $v$ und damit in der Form des Leistungsdichtespektrums $\rm (LDS)$ ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$.
- In beiden Fällen ergibt sich aber ein so genanntes Jakes–Spektrum.
- Für eine Dopplerfrequenz $f_{\rm D}$ mit $|f_{\rm D}| <f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}$ lautet die Gleichung:
- $${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{1}{\pi \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \hspace{-0.05cm}\cdot \hspace{-0.05cm}\sqrt{ 1 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}(f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$
- Dopplerfrequenzen außerhalb dieses Intervalls von $-f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}$ bis $+f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max}$ sind ausgeschlossen.
Die entsprechende Beschreibungsgröße im Zeitbereich ist die Autokorrelationsfunktion $\rm (AKF)$:
- $$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei bezeichnet ${\rm J_0}(.)$ die Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung. Es gilt ${\rm J_0}(0) = 1$.
- Vom Kanalmodell $\rm R$ ist die maximale Dopplerfrequenz bekannt: $f_{\rm D,\hspace{0.05cm}max} = 200 \ \rm Hz$.
- Außerdem ist bekannt, dass sich die Geschwindigkeiten $v_{\rm R}$ und $v_{\rm B}$ um den Faktor $2$ unterscheiden.
- Ob $v_{\rm R}$ doppelt so groß ist als $v_{\rm B}$ oder umgekehrt, sollen Sie anhand der Grafiken entscheiden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses.
- Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie das interaktive Applet WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen benutzen.
Fragebogen
Musterlösung
- Die Rayleigh–WDF und ihre Ableitung lauten allgemein:
- $$f_a(a) \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -a^2/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm},$$
- $$\frac{{\rm d}f_a(a)}{{\rm d}a} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -a^2/(2\sigma^2)}- \frac{a^2}{\sigma^4} \cdot {\rm e}^{ -a^2/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$
- Durch Nullsetzen der Ableitung lässt sich zeigen, dass das WDF–Maximum bei $a = \sigma$ auftritt. Da die Rayleigh–WDF für beide Kanäle gilt, folgt daraus:
- $$\sigma_{\rm R} = \sigma_{\rm B} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Wegen der gleichen WDF ist auch die gesuchte Wahrscheinlichkeit für beide Kanäle gleich.
- Mit der angegebenen Gleichung erhält man hierfür:
- $${\rm Pr}(a \le 0.316) = {\rm Pr}(20 \cdot {\rm lg}\hspace{0.15cm} a \le -10\,\,{\rm dB}) = 1 - {\rm e}^{ -{0.316^2}/(2\sigma^2)} = 1- 0.951 \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 4.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 3 und 6:
- Die kleinere Geschwindigkeit $v_{\rm B}$ erkennt man daran, dass sich der Betrag $|z(t)|$ bei der blauen Kurve langsamer ändert.
- Bei stehendem Fahrzeug entartet das LDS zu ${\it \Phi_z}(f_{\rm D}) = 2\sigma^2\cdot \delta(f_{\rm D})$, und es ist $|z(t)| = A = \rm const.$, wobei die Konstante $A$ entsprechend der Rayleighverteilung ausgewürfelt wird.
- Bei extrem hoher Geschwindigkeit wird das Jakes–Spektrum über einen immer größeren Bereich flach und immer niedriger. Es nähert sich dann dem LDS von weißem Rauschen an. Allerdings müsste dazu $v$ schon in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit sein.
(4) Richtig sind die Aussagen 2 und 3:
- Durch den Rayleigh–Parameter $\sigma = 1$ liegt auch die „Leistung” ${\rm E}[|z(t)|^2] = 2\sigma^2 = 2$ des Zufallsprozesses fest.
- Somit gilt sowohl für $\rm R$ als auch für $\rm B$:
- $$\varphi_z ({\rm \Delta}t = 0) = 2 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \int_{-\infty}^{+\infty}{\it \Phi}_z(f_{\rm D}) \hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} = 2 \hspace{0.05cm}.$$