Aufgaben:Aufgabe 3.3Z: Optimierung eines Koaxialkabelsystems: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen:
 
Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen:
* Die Sendeimpulse sind NRZ–rechteckförmig und besitzen die Energie $E_B = s_0^2 \cdot T$.
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* Die Sendeimpulse sind NRZ–rechteckförmig und besitzen die Energie  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$.  
* Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$.
 
* Es liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0 = 0.0001 \cdot E_B$ vor.
 
* Der Empfängerfrequenzgang $H_E(f)$ beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer $H_K^{\rm -1}(f)$ und einen Gaußtiefpass $H_G(f)$ mit Grenzfrequenz $f_G$ zur Rauschleistungsbegrenzung.
 
  
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* Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_* = 40 \, {\rm dB}$.
  
Die Tabelle zeigt die Augenöffnung $\ddot{o}(T_D)$ sowie den Detektionsrauscheffektivwert \sigma_d – jeweils normiert auf die Sendeamplitude $s_0$ – für verschiedene Grenzfrequenzen $f_G$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit
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* Es liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$  vor.
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* Der Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer  $H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$  und einen Gaußtiefpass  $H_{\rm G}(f)$  mit Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  zur Rauschleistungsbegrenzung.
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Die Tabelle zeigt die Augenöffnung  $\ddot{o}(T_{\rm D})$  sowie den Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm d}$  – jeweils normiert auf die Sendeamplitude  $s_0$  – für verschiedene Grenzfrequenzen  $f_{\rm G}$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit möglichst klein ist, wobei folgende Definition gilt:
 
:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d}
 
:$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d}
 
   \right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$
 
   \right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$
  
möglichst klein ist. Die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit stellt eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_S$ dar. Für $f_G \cdot T ≥ 0.4$ kann auch eine untere Schranke angegeben werden:
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*Diese Größe ist eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit    $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$.
:$${1}/{4} \cdot p_{\rm U}\le p_{\rm S}\le p_{\rm U}
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  \hspace{0.05cm}.$$
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*Für  $f_{\rm G} \cdot T ≥ 0.4$  kann auch eine untere Schranke angegeben werden:    $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$.
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Hinweise:
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*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|"Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung"]].
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* Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]].
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''Hinweis:'' Die Aufgabe gehört zum Themengebit von [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Ber%C3%BCcksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|Kapitel 3.3]]. Zur numerischen Auswertung der Q–Funktion können Sie das folgende Interaktionsmodul nutzen:
 
[https://intern.lntwww.de/cgi-bin/extern/uni.pl?uno=hyperlink&due=block&b_id=1706&hyperlink_typ=block_verweis&hyperlink_fenstergroesse=blockverweis_gross|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]
 
  
  
 
===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
<quiz display=simple>
 
<quiz display=simple>
{Multiple-Choice
+
{Bestimmen Sie innerhalb des vorgegebenen Rasters die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich des Kriteriums &bdquo;ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit&rdquo;.
|type="[]"}
+
|type="{}"}
+ correct
+
$f_\text{G, opt} \cdot T \  = \ $  { 0.4 3% }
- false
+
 
 +
{Welche Werte ergeben sich damit für den ungünstigsten Störabstand und die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit?
 +
|type="{}"}
 +
$f_\text{G} = \text{G, opt:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U}  \  = \ $ { 5.41 3% } ${\ \rm dB}$
 +
$\hspace{4.07cm}p_{\rm U}  \  = \ $ { 3.1 3% } $\ \rm \%$
 +
 
 +
{Auf welchen Wert müsste man die Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; $($bezogen auf die Signalenergie$)$&nbsp; verringern,&nbsp; damit &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; nicht größer ist als &nbsp;$10^{\rm -6}$?
 +
|type="{}"}
 +
$N_0/E_{\rm B} \  = \ $ { 1.53 3% } $\ \cdot 10^{\rm -5}$
  
{Input-Box Frage
+
{Geben Sie für den unter&nbsp; '''(3)'''&nbsp; getroffenen Annahmen eine untere und eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm S}$&nbsp; an.
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$xyz$ = { 5.4 3% } $ab$
+
$p_\text{ S, min}\hspace{0.02cm} \  = \ $ { 0.25 3% } $\ \cdot 10^{\rm -6}$
 +
$p_\text{ S, max} \  = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{\rm -6}$
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''  
+
'''(1)'''&nbsp; Für die Optimierung genügt es,&nbsp; den Quotienten&nbsp; $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$&nbsp; zu maximieren:
'''(2)'''  
+
*Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G, opt} \cdot T \underline {= 0.4}$&nbsp; mit &nbsp; $0.735/0.197 \approx 3.73$ &nbsp; maximal.
'''(3)'''  
+
*Zum Vergleich: &nbsp; Für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.3$&nbsp; ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung&nbsp; $0.192/0.094 \approx 2.04$.&nbsp;
'''(4)'''  
+
*Für &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.5$&nbsp; ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum: &nbsp; $1.159/0.379 \approx 3.05$.
'''(5)'''  
+
*Eine noch größere Grenzfrequenz führt zu einem sehr großen Störeffektivwert,&nbsp; ohne dass gleichzeitig die vertikale Augenöffnung in gleicher Weise vergrößert wird.
 +
 
 +
 
 +
 
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'''(2)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man weiter:
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:$$\rho_{\rm U} = \left ( {3.73}/{2} \right )^2 \approx 3.48 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 +
10 \cdot {\rm
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lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline { = 5.41\,{\rm dB}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q}\left (
 +
{3.73}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.031} \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(3)'''&nbsp; Mit dem gegebenen&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 40 \ \rm dB$,&nbsp; also&nbsp; $E_{\rm B}/N_0 = 10^4$&nbsp; hat sich der ungünstigste Störabstand&nbsp; $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \approx 5.41 \, {\rm dB}$&nbsp; ergeben.
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*Für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = 10^{\rm -6}$ muss aber $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} > 13.55 \, {\rm dB}$ sein.
 +
*Dies erreicht man,&nbsp; indem man den Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_0$ entsprechend&nbsp; erhöht:
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:$$10 \cdot {\rm
 +
lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} = 40\,{\rm dB}
 +
\hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}13.55\,{\rm dB}
 +
\hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}5.41\,{\rm dB}= 48.14\,{\rm dB}\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow
 +
\hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{4.814}\approx 65163
 +
\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}  {N_0}/{E_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline {  =
 +
1.53 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
 
 +
'''(4)'''&nbsp;
 +
*Die obere Schranke für $p_{\rm S}$ ist gleich der ungünstigsten Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = \underline {10^{\rm -6}}$.
 +
*Die untere Schranke liegt bei $\underline {0.25 \cdot 10^{\rm -6}}$, ist also um den Faktor 4 kleiner.
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  
  
 
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.3 Kanalverzerrungen und Entzerrung^]]
 
[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.3 Kanalverzerrungen und Entzerrung^]]

Aktuelle Version vom 19. Juni 2022, 13:54 Uhr

Normierte Systemgrößen für verschiedene Grenzfrequenzen

Wir betrachten ein redundanzfreies binäres Übertragungssystem mit folgenden Spezifikationen:

  • Die Sendeimpulse sind NRZ–rechteckförmig und besitzen die Energie  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T$.
  • Der Kanal ist ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_* = 40 \, {\rm dB}$.
  • Es liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0 = 0.0001 \cdot E_{\rm B}$  vor.
  • Der Empfängerfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  beinhaltet einen idealen Kanalentzerrer  $H_{\rm K}^{\rm -1}(f)$  und einen Gaußtiefpass  $H_{\rm G}(f)$  mit Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  zur Rauschleistungsbegrenzung.


Die Tabelle zeigt die Augenöffnung  $\ddot{o}(T_{\rm D})$  sowie den Detektionsrauscheffektivwert  $\sigma_{\rm d}$  – jeweils normiert auf die Sendeamplitude  $s_0$  – für verschiedene Grenzfrequenzen  $f_{\rm G}$. Die Grenzfrequenz ist so zu wählen, dass die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit möglichst klein ist, wobei folgende Definition gilt:

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \frac{\ddot{o}(T_{\rm D})/2}{ \sigma_d} \right) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}}\right)$$
  • Diese Größe ist eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit   $p_{\rm S} \le p_{\rm U}$.
  • Für  $f_{\rm G} \cdot T ≥ 0.4$  kann auch eine untere Schranke angegeben werden:   $p_{\rm S} \ge p_{\rm U}/4$.


Hinweise:



Fragebogen

1

Bestimmen Sie innerhalb des vorgegebenen Rasters die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich des Kriteriums „ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit”.

$f_\text{G, opt} \cdot T \ = \ $

2

Welche Werte ergeben sich damit für den ungünstigsten Störabstand und die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit?

$f_\text{G} = \text{G, opt:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \ = \ $

${\ \rm dB}$
$\hspace{4.07cm}p_{\rm U} \ = \ $

$\ \rm \%$

3

Auf welchen Wert müsste man die Rauschleistungsdichte  $N_0$  $($bezogen auf die Signalenergie$)$  verringern,  damit  $p_{\rm U}$  nicht größer ist als  $10^{\rm -6}$?

$N_0/E_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -5}$

4

Geben Sie für den unter  (3)  getroffenen Annahmen eine untere und eine obere Schranke für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm S}$  an.

$p_\text{ S, min}\hspace{0.02cm} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -6}$
$p_\text{ S, max} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -6}$


Musterlösung

(1)  Für die Optimierung genügt es,  den Quotienten  $\ddot{o}(T_{\rm D})/\sigma_d$  zu maximieren:

  • Dieser ist von den in der Tabelle gegebenen Werten für die Grenzfrequenz  $f_{\rm G, opt} \cdot T \underline {= 0.4}$  mit   $0.735/0.197 \approx 3.73$   maximal.
  • Zum Vergleich:   Für  $f_{\rm G} \cdot T = 0.3$  ergibt sich aufgrund der kleineren Augenöffnung  $0.192/0.094 \approx 2.04$. 
  • Für  $f_{\rm G} \cdot T = 0.5$  ist der Quotient ebenfalls kleiner als beim Optimum:   $1.159/0.379 \approx 3.05$.
  • Eine noch größere Grenzfrequenz führt zu einem sehr großen Störeffektivwert,  ohne dass gleichzeitig die vertikale Augenöffnung in gleicher Weise vergrößert wird.


(2)  Mit dem Ergebnis aus  (1)  erhält man weiter:

$$\rho_{\rm U} = \left ( {3.73}/{2} \right )^2 \approx 3.48 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline { = 5.41\,{\rm dB}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q}\left ( {3.73}/{2} \right) \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.031} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Mit dem gegebenen  $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 40 \ \rm dB$,  also  $E_{\rm B}/N_0 = 10^4$  hat sich der ungünstigste Störabstand  $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} \approx 5.41 \, {\rm dB}$  ergeben.

  • Für die ungünstigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = 10^{\rm -6}$ muss aber $10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U} > 13.55 \, {\rm dB}$ sein.
  • Dies erreicht man,  indem man den Quotienten  $E_{\rm B}/N_0$ entsprechend  erhöht:
$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}{E_{\rm B}}/{N_0} = 40\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}+\hspace{0.1cm}13.55\,{\rm dB} \hspace{0.1cm}-\hspace{0.1cm}5.41\,{\rm dB}= 48.14\,{\rm dB}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{4.814}\approx 65163 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {N_0}/{E_{\rm B}}\hspace{0.15cm}\underline { = 1.53 \cdot 10^{-5}} \hspace{0.05cm}.$$


(4) 

  • Die obere Schranke für $p_{\rm S}$ ist gleich der ungünstigsten Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U} = \underline {10^{\rm -6}}$.
  • Die untere Schranke liegt bei $\underline {0.25 \cdot 10^{\rm -6}}$, ist also um den Faktor 4 kleiner.