Aufgaben:Aufgabe 1.3Z: Nochmals Rayleigh–Fading?

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Zwei Kanäle, gekennzeichnet durch komplexen Faktor $z(t)$

Dargestellt ist der multiplikative Faktor  $z(t) = x(t) + {\rm j} \cdot y(t)$  zweier Mobilfunkkanäle  $($beide ohne Mehrwegeausbreitung$)$  in 2D–Darstellung.  Als gesichert wird vorgegeben:

• Der Kanal  $\rm R$  $($die Bezeichnung ergibt sich aus der Farbe „Rot” der Punktwolke$)$  ist rayleighverteilt mit  $\sigma_{\rm R} = 0.5$.
• Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $\rm (WDF)$  von Betrag  $a(t) = |z(t)|$  bzw.  Betragsquadrat $p(t) = |z(t)|^2$  gelten somit die folgenden Gleichungen $($mit  $\sigma = \sigma_{\rm R})$:

$$f_a(a) = \left\{ \begin{array}{c} a/\sigma^2 \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} a < 0 \\ \end{array} \hspace{0.05cm},$$

$$f_p(p) = \left\{ \begin{array}{c} 1/(2\sigma^2) \cdot {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p \ge 0 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} p < 0 \\ \end{array} .$$

• Vom Kanal  $\rm B$  $($„Blau”$)$  ist nur die Punktwolke gegeben.  Es ist abzuschätzen, ob hier ebenfalls  Rayleigh–Fading  vorliegt, und wenn  $\rm JA$, wie groß bei diesem Kanal die Kenngröße  $\sigma = \sigma_{\rm B}$  ist.
• In der Teilaufgabe  (3)  wird schließlich auch auf die WDF  $f_{\it \phi}(\phi)$  der Phasenfunktion  $\phi(t)$  Bezug genommen.  Diese ist wie folgt definiert:

$$\phi(t) = \arctan \hspace{0.15cm} \frac{y(t)}{x(t)} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Wahrscheinlichkeitsdichte des Rayleigh–Fadings dieses Buches.
• Eine ähnliche Thematik wird mit anderer Herangehensweise im Kapitel  Weitere Verteilungen  des Buches „Stochastische Signaltheorie” behandelt.
• Zur Überprüfung Ihrer Ergebnisse können Sie das interaktive Applet  WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen  benutzen.

Fragebogen

1

Lässt sich auch der Kanal  $\rm B$  durch „Rayleigh” modellieren?

	Ja.
	Nein.

2

Schätzen Sie den Rayleigh–Parameter von Kanal  $\rm B$  ab.  Zur Erinnerung:   Bei Kanal  $\rm R$  hat dieser Parameter den Wert  $\sigma_{\rm R} = 0.5$.

$\sigma_{\rm B}\ = \ $

3

Unterscheiden sich die Phasen–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen  $f_{\it \phi}(\phi)$ von Kanal  $\rm R$  und  $\rm B$ , und wenn  $\rm JA$, wie?

	Ja.
	Nein.

4

Welchen Verlauf hat in beiden Fällen die WDF  $f_a(a)$  mit  $a(t) = |z(t)|$?

	Der Betrag  $a(t)$  ist gaußverteilt.
	Der Betrag  $a(t)$  ist rayleighverteilt.
	Der Betrag  $a(t)$  ist einseitig–exponentialverteilt.

5

Welchen Verlauf hat in beiden Fällen die WDF  $f_p(p)$  mit  $p(t) = |z(t)|^2$?

	Der Betrag  $p(t)$  ist gaußverteilt.
	Der Betrag  $p(t)$  ist rayleighverteilt.
	Der Betrag  $p(t)$  ist einseitig–exponentialverteilt.

6

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Betrag  $a(t) = |z(t)|$  größer ist als ein vorgegebener Wert  $A$?

	Es gilt  ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm ln}(A/\sigma).$
	Es gilt  ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A^2/2\sigma^2}.$
	Es gilt  ${\rm Pr}(|z(t)|) > A) = {\rm e}^{-A/\sigma}.$

7

Berechnen Sie für beide Kanäle die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(|z(t)| > 1)$.

Kanal  $\rm R$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $

Kanal  $\rm B$:$\hspace{0.4cm} {\rm Pr}(|z(t)| > 1)\ = \ $

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Richtig ist JA:

• Man erkennt auch hier die Rotationssymmetrie, wenn man berücksichtigt, dass hier nur  $N = 10\hspace{0.05cm}000$  Abtastwerte in der komplexen Ebene dargestellt wurden.
• Außerdem hätten bei NEIN die nachfolgenden Fragen keinen Sinn.

(2)  Durch Vermessen der beiden eingezeichneten Kreise erkennt man:

• Beim „blauen” Kanal sind die Streuungen von Real– und Imaginärteil um etwa den Faktor 1.4  $($exakt: $\sqrt{2})$  größer als beim „roten” Kanal:

$$\sigma_{\rm B} = \sigma_{\rm R} \cdot \sqrt{2} = 0.5 \cdot \sqrt{2}= {1}/{\sqrt{2}}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.707} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig ist NEIN:

• In beiden Fällen beschreibt  $f_{\it \phi}(\phi)$  eine Gleichverteilung zwischen  $-\pi$  und  $+\pi$.
• Die größeren Amplituden von Kanal  $\rm B$  spielen für die Phasenfunktion  $\phi(t)$  keine Rolle.

(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Bei Rayleigh–Fading sind Realteil  $x(t)$  und Imaginärteil  $y(t)$  jeweils gaußverteilt.
• Die Exponentialverteilung ergibt sich für das Betragsquadrat  $p(t) = |z(t)|^2$.

(5)  Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 3, wie bereits in der Musterlösung zu  (4)  begründet wurde.

(6)  Der Betrag  $a(t)$  ist rayleighverteilt.  Somit gilt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(a > A) = \int_{A}^{\infty}\frac{a}{\sigma^2} \cdot {\rm e}^{ -{a^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}a \hspace{0.05cm}.$$

• In einigen Formelsammlungen findet man die Lösung für dieses Integral, aber nicht in allen.
• Es gilt aber auch mit der einseitig–exponentialverteilten Zufallsgröße  $p = a^2$:

$${\rm Pr}(a > A) = {\rm Pr}(p > A^2) = \frac{1}{2\sigma^2} \cdot\int_{A^2}^{\infty} {\rm e}^{ -{p}/(2\sigma^2)} \hspace{0.15cm}{\rm d}p \hspace{0.05cm}.$$

• Dieses Integral ist elementar und liefert das Ergebnis:

$${\rm Pr}(a > A) = {\rm e}^{ -{A^2}/(2\sigma^2)} \hspace{0.05cm}.$$

• Richtig ist demnach der Lösungsvorschlag 2.

(7)  Für den Kanal  $\rm R$  gilt mit $\sigma = 0.5$:

$${\rm Pr}(|z(t)| > 1) = {\rm e}^{-2} \hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.135} \hspace{0.05cm}.$$

• In der oberen Grafik entspricht das der Anzahl aller Punkte, die außerhalb des eingezeichneten Kreises liegen, bezogen auf die Anzahl  $N = 10\hspace{0.05cm}000$  aller Punkte.

• Für den Kanal  $\rm B$  gilt wegen der doppelten Varianz $\sigma^2 = 0.5$  dagegen  ${\rm Pr}(|z(t)|>1) = {\rm e}^{\rm –1} \ \underline {\approx \ 0.368}$.

• Der (nicht eingezeichnete) Bezugskreis hätte auch auch in der unteren Grafik den Radius  $1$.
• Der im unteren Bild eingezeichnete Kreis hat einen größeren Radius als  $A = 1$, nämlich  $A = \sqrt{2}\approx 1.414$.