Aufgaben:Aufgabe 1.7: Systemwirkungsgrade: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 4. Mai 2022, 13:34 Uhr

Sendegrundimpuls „Trapez”

Der Empfänger eines binären Nachrichtenübertragungssystems mit Symboldauer $T$ besteht aus einem Integrator, der durch die Impulsantwort

$$h_{\rm E}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1/T \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} \hspace{0.05cm}|t| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |t| > T/2 \\ \end{array}$$

beschreibbar ist. Danach folgt ein Schwellenwertentscheider mit optimalen Parametern.

Der Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der Grafik sei im Allgemeinen trapezförmig und wird durch die Zeit $T_{1}$ parametrisiert:

Für $T_{1} = 0$ ergibt sich ein Dreieckimpuls, für $T_{1} = T$ das NRZ–Rechteck.
Die absolute Impulsdauer $T_{\rm S}$ ist stets gleich der Symboldauer $T$, also dem Abstand zweier Sendeimpulse.

Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis $\rm (SNR)$ vor dem Schwellenwertentscheider kann unter der Voraussetzung, dass keine Impulsinterferenzen auftreten, wie folgt berechnet werden:

$$\rho_d = {g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei ist $g_{0} = g_{d}(t = 0)$ der Maximalwert des Detektionsgrundimpulses und

$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|h_{\rm E}(t)|^2 \,{\rm d} t = \frac{N_0}{2 \cdot T}$$

die Rauschleistung nach dem Empfangsfilter bei AWGN–Rauschen an seinem Eingang.

Im Laufe dieser Aufgabe werden folgende Größen verwendet:

$\rho_{d,\rm\hspace{0.08cm} max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} L}$ ist das maximale SNR unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
$\rho_{d,\rm\hspace{0.08cm} max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A}$ ist das maximale SNR bei Spitzenwertbegrenzung ("Amplitudenbegrenzung").

Mit diesen Definitionen lassen sich die Systemwirkungsgrade angeben:

$$\eta_{\rm L} = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.08cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} L}}}\hspace{0.05cm},$$

$$\eta_{\rm A} = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.08cm}{\rm max\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} A}}} = {1}/{C_{\rm S}^2}\cdot \eta_{\rm L} \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet der "Crestfaktor" $C_{\rm S}$ das Verhältnis zwischen dem Maximalwert und dem Effektivwert (Wurzel aus der Leistung) des Sendesignals $s(t)$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Optimierung der Basisbandübertragungssysteme".

Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe folgende Zahlenwerte:

$$s_0^2 = 10\,{\rm mW},\hspace{0.2cm}T = 3\,{\rm{ µ s}}, \hspace{0.2cm}N_0 = 3 \cdot 10^{-10}\,{\rm W/Hz}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$T_{1} = 0\text{:} \hspace{0.75cm} E_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-8} \, \rm Ws$

$T_{1} = T/2\text{:}\hspace{0.2cm} E_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-8} \, \rm Ws$

$T_{1} = T\text{:}\hspace{0.65cm} E_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-8} \, \rm Ws$

$T_{1}/T \ = \ $

$\rho_{d,\hspace{0.05cm}\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} L} \ = \ $

$g_{0} \ = \ $

$\ \rm \sqrt{W}$

$\eta_{\rm L} \ = \ $

$C_{\rm S} \ = \ $

$\eta_{\rm A} \ = \ $

Musterlösung

(1) Zur Vereinfachung der Berechnungen setzen wir $T_1' = T_1/2$ und $T_2' = (T – T_1)/2$.

Damit ergibt sich für die Sendeimpulsenergie:

$$E_{\rm B} = \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2(t) \,{\rm d} t = 2 \cdot \int_{0}^{T_1\hspace{0.0cm}'}g_s^2(t) \,{\rm d} t\hspace{0.2cm}+ \hspace{0.2cm}2 \cdot \int_{T_1\hspace{0.0cm}'}^{T/2}g_s^2(t) \,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend dieser Aufteilung kann auch geschrieben werden:

$${E_{\rm B}}/{2} = s_0^2 \cdot T_1\hspace{0.0cm}' + E_2 \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} E_{\rm 2} = \ \int_{T_1\hspace{0.0cm}'}^{T/2}g_s^2(t) \,{\rm d} t = s_0^2 \cdot \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}\left ( 1 - \frac {t}{T_2\hspace{0.0cm}'}\right )^2 \,{\rm d} t $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}E_{\rm 2} = \ s_0^2 \cdot \left [ \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}\,\,{\rm d} t- \frac {2}{T_2\hspace{0.0cm}'} \cdot \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}t \,\,{\rm d} t + \frac {1}{(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2} \cdot \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}t^2 \,\,{\rm d} t\right ] = \ s_0^2 \cdot \left [ {T_2\hspace{0.0cm}'} - \frac {2}{T_2\hspace{0.0cm}'} \cdot \frac {(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2}{2} + \frac {1}{(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2} \cdot \frac {(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^3}{3}\right ] = s_0^2 \cdot\frac {T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm}}{3} \hspace{0.05cm}.$$

Eingesetzt in obige Gleichung erhält man:

$${E_{\rm B}}/{2} = s_0^2 \cdot \frac {T_1}{2}+ s_0^2 \cdot \frac {T-T_1}{2 \cdot 3}= s_0^2 \cdot \left [\frac{T}{6} + \frac{T_1}{3}\right ]\hspace{0.3cm} \hspace{0.3cm}\Rightarrow E_{\rm B} = {s_0^2}/{3}\cdot \left (T + 2 \cdot T_1 \right )\hspace{0.05cm}.$$

Mit den angegebenen Werten ${s_{0}}^{2} = 10 \ \rm mW$ und $T = 3\ \rm µ s$ erhält man:

$$T_1 = 0\text{:} \hspace{0.75cm} {E_{\rm B}} = \ 1/3 \cdot{s_0^2 \cdot T}= 1/3 \cdot {10^{-2}\,{\rm W} \cdot 3 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}} \hspace{0.1cm}\underline {= 1 \cdot 10^{-8}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm},$$

$$T_1 = T/2\text{:} \hspace{0.2cm} {E_{\rm B}} = \ 2/3 \cdot{ s_0^2 \cdot T}= \hspace{2.6cm}\text{...} \hspace{1.4cm}\hspace{0.1cm}\underline {= 2 \cdot 10^{-8}\,{\rm Ws}} \hspace{0.05cm},$$

$$T_1 = T\text{:} \hspace{0.65cm} {E_{\rm B}} = \ { s_0^2 \cdot T}= \hspace{3.65cm}\text{...} \hspace{1.4cm}\hspace{0.1cm}\underline {= 3 \cdot 10^{-8}\,{\rm Ws}} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung ist maximal $(\eta_{\rm L} = 1)$, wenn der Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ formgleich mit der Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ ist.

Dies trifft hier für den NRZ–Sendeimpuls zu: $T_1/T \ \underline{= 1}$.

(3) Unter der in Teilaufgabe (2) genannten Bedingung erhält man das maximale SNR:

$$\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} L}}= \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 10^{-8}\,{\rm Ws}}{3 \cdot 10^{-10}\,{\rm W/Hz}}\hspace{0.1cm}\underline {= 200} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Allgemein gilt $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$. Für $t = 0$ ergibt sich mit $T_1 = T/2$ hierfür die Trapezfläche:

$$g_0 = g_d(t=0) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}g_s(t) \,{\rm d} t = \frac{T + T_1}{2} \cdot s_0 = 0.75 \cdot 0.1 \cdot \sqrt{\rm W} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.075 \,\sqrt{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Mit $T_1 = T/2$ (trapezförmige Sendeimpulse) erhält man für das Signal–zu–Rausch–Verhältnis:

$$\rho_d = \frac{g_0^2}{\sigma_d^2}\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} g_0^2=0.075^2\, {\rm W},\hspace{0.1cm} \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2 \cdot T} = 5 \cdot 10^{-5}\,{\rm W}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_d = \frac{0.075^2\, {\rm W}}{5 \cdot 10^{-5}\,{\rm W}} = 112.5 \hspace{0.05cm}.$$

Somit ergibt sich für den Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung mit dem Ergebnis aus (3):

$$\eta_{\rm L} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}= \frac{112.5}{200}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.5625 }\hspace{0.05cm}.$$

Aufgrund der Fehlanpassung ist $\eta_{\rm L} < 1$.

(6) Mit dem Maximalwert $s_{0}$ und dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) gilt:

$$s_{\rm eff} = \sqrt{{ E_{\rm B}}/{T}}= \sqrt{{ 2/3 \cdot s_{0}^2}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}C_{\rm S} ={ s_{\rm 0}}/{s_{\rm eff}}= \sqrt{{ 3}/{2}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 1.225}\hspace{0.05cm}.$$

(7) Der Systemwirkungsgrad bei Spitzenwertbegrenzung ist kleiner als der bei Leistungsbegrenzung,
da hier neben der Fehlanpassung auch das nicht optimale Sendesignal (zu kleine Energie) eine Rolle spielt:

$$\eta_{\rm A} = \frac{1}{C_{\rm S}^2}\cdot \eta_{\rm L} = \frac{ 2}{3} \cdot 0.5625 =\hspace{0.1cm}\underline { 0.375} \hspace{0.05cm}.$$

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-[[Datei:P_ID1294__Dig_A_1_7.png|right|frame|Trapezspektrum]]
+[[Datei:P_ID1294__Dig_A_1_7.png|right|frame|Sendegrundimpuls &bdquo;Trapez&rdquo; ]]
-Der Empfänger eines binären Nachrichtenübertragungssystems mit Symboldauer $T$ besteht aus einem Integrator, der durch die Impulsantwort
+Der Empfänger eines binären Nachrichtenübertragungssystems mit Symboldauer &nbsp;$T$&nbsp; besteht aus einem Integrator,&nbsp; der durch die Impulsantwort
-:$$_{\rm E}(t)  =   \left\{ \begin{array}{c} 1/T   \\
+:$$h_{\rm E}(t)  =   \left\{ \begin{array}{c} 1/T   \\
 \\  \end{array} \right.\quad
 \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}}
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   |t| > T/2 \\
 \end{array}$$
-beschreibbar ist. Danach folgt ein Schwellenwertentscheider mit optimalen Parametern.
+beschreibbar ist.&nbsp; Danach folgt ein Schwellenwertentscheider mit optimalen Parametern.
-Der Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der Grafik ist im Allgemeinen trapezförmig und wird durch die Zeit $T_{1}$ parametrisiert. Für $T_{1} = 0$ ergibt sich ein Dreieckimpuls, für $T_{1} = T$ das NRZ–Rechteck. Die absolute Impulsdauer $T_{\rm S}$ ist stets gleich der Symboldauer $T$, also dem Abstand zweier Sendeimpulse.
+Der Sendegrundimpuls &nbsp;$g_{s}(t)$&nbsp; gemäß der Grafik sei im Allgemeinen trapezförmig und wird durch die Zeit &nbsp;$T_{1}$&nbsp; parametrisiert:
+*Für &nbsp;$T_{1} = 0$&nbsp; ergibt sich ein Dreieckimpuls,&nbsp; für &nbsp;$T_{1} = T$&nbsp; das NRZ–Rechteck.
+*Die absolute Impulsdauer &nbsp;$T_{\rm S}$&nbsp; ist stets gleich der Symboldauer &nbsp;$T$, &nbsp; also dem Abstand zweier Sendeimpulse.
-Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis (SNR) vor dem Schwellenwertentscheider kann unter der Voraussetzung, dass keine Impulsinterferenzen auftreten, wie folgt berechnet werden:
+Das Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis&nbsp; $\rm (SNR)$&nbsp; vor dem Schwellenwertentscheider kann unter der Voraussetzung,&nbsp; dass keine Impulsinterferenzen auftreten,&nbsp; wie folgt berechnet werden:
 :$$\rho_d = {g_0^2}/{\sigma_d^2}\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist $g_{0} = g_{d}(t = 0)$ der Maximalwert des Detektionsgrundimpulses und
+Hierbei ist &nbsp;$g_{0} = g_{d}(t = 0)$&nbsp; der Maximalwert des Detektionsgrundimpulses und
 :$$\sigma_d^2 = {N_0}/{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}|h_{\rm E}(t)|^2 \,{\rm d} t = \frac{N_0}{2 \cdot T}$$
 die Rauschleistung nach dem Empfangsfilter bei AWGN–Rauschen an seinem Eingang.
 Im Laufe dieser Aufgabe werden folgende Größen verwendet:
-*$\rho_{d,\rm max | L}$ ist das maximale SNR unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
+*$\rho_{d,\rm\hspace{0.08cm} max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} L}$&nbsp; ist das maximale SNR unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung.
-*$\rho_{d,\rm max | A}$ ist das maximale SNR bei Spitzenwertbegrenzung (Amplitudenbegrenzung).
+*$\rho_{d,\rm\hspace{0.08cm} max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A}$&nbsp; ist das maximale SNR bei Spitzenwertbegrenzung&nbsp; ("Amplitudenbegrenzung").
 Mit diesen Definitionen lassen sich die Systemwirkungsgrade angeben:
-:$$\eta_{\rm L}  = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
+:$$\eta_{\rm L}  = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.08cm}{\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}
   L}}}\hspace{0.05cm},$$
-:$$\eta_{\rm A} = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max\hspace{0.05cm} |
+:$$\eta_{\rm A} = \ \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.08cm}{\rm max\hspace{0.05cm} |
 \hspace{0.05cm} A}}} = {1}/{C_{\rm S}^2}\cdot \eta_{\rm L} \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet der so genannte Crestfaktor $C_{\rm S}$ das Verhältnis zwischen dem Maximalwert und dem Effektivwert (Wurzel aus der Leistung) des Sendesignals $s(t)$.
+Hierbei bezeichnet der&nbsp; "Crestfaktor" &nbsp;$C_{\rm S}$&nbsp; das Verhältnis zwischen dem Maximalwert und dem Effektivwert (Wurzel aus der Leistung) des Sendesignals &nbsp;$s(t)$.
+Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|"Optimierung der Basisbandübertragungssysteme"]].
+*Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe folgende Zahlenwerte:
+:$$s_0^2 = 10\,{\rm mW},\hspace{0.2cm}T = 3\,{\rm{ &micro; s}}, \hspace{0.2cm}N_0 = 3 \cdot 10^{-10}\,{\rm W/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
-''Hinweis:''
-Die Aufgabe gehört zum Themenkomplex von [[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme|Optimierung der Basisbandübertragungssysteme]].
-Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe folgende Zahlenwerte:
-:$$s_0^2 = 10\,{\rm mW},\hspace{0.2cm}T = 3\,{\rm{ \mu s}}, \hspace{0.2cm}N_0 = 3 \cdot 10^{-10}\,{\rm W/Hz}\hspace{0.05cm}.$$
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
-|type="[]"}
-- Falsch
-+ Richtig
+{Berechnen Sie die Impulsenergie &nbsp;$E_{\rm B}$&nbsp; in Abhängigkeit von &nbsp;$T_{1}$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für &nbsp;$T_{1} = 0$ , &nbsp;$T_{1} = T/2$&nbsp; und &nbsp;$T_{1} = T$?
+|type="{}"}
+$T_{1} = 0\text{:} \hspace{0.75cm}  E_{\rm B} \ = \ $ { 1 3% } $\ \cdot 10^{-8} \, \rm Ws$
+$T_{1} = T/2\text{:}\hspace{0.2cm}  E_{\rm B} \ = \ $ { 2 3% } $\ \cdot 10^{-8} \, \rm Ws$
+$T_{1} = T\text{:}\hspace{0.65cm} E_{\rm B} \ = \ $ { 3 3% } $\ \cdot 10^{-8} \, \rm Ws$
+{Welcher Wert &nbsp;$T_{1}$&nbsp; führt bei Leistungsbegrenzung zum maximal möglichen SNR?
+|type="{}"}
+$T_{1}/T \ = \ $ { 1 3% }
+{Wie groß ist somit das maximale SNR bei Leistungsbegrenzung?
+|type="{}"}
+$\rho_{d,\hspace{0.05cm}\rm max \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} L} \ = \ $ { 200 3% }
+{Wie groß ist der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_{d}(t)$&nbsp; in Impulsmitte für &nbsp;$T_{1} = T/2$?
+|type="{}"}
+$g_{0} \ = \ $ { 0.075 3% } $\ \rm \sqrt{W}$
+{Berechnen Sie den Systemwirkungsgrad &nbsp;$\eta_{\rm L}$&nbsp; bei Leistungsbegrenzung  &nbsp;$(T_{1} = T/2)$.
+|type="{}"}
+$\eta_{\rm L} \ = \ $ { 0.5625 3% }
+{Berechnen Sie den Crestfaktor &nbsp;$(T_{1} = T/2)$.
+|type="{}"}
+$C_{\rm S} \ = \ $ { 1.225 3% }
-{Input-Box Frage
+{Berechnen Sie den Systemwirkungsgrad bei Spitzenwertbegrenzung &nbsp;$(T_{1} = T/2)$.
 |type="{}"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+$\eta_{\rm A} \ = \ $ { 0.375 3% }
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;
+'''(1)'''&nbsp; Zur Vereinfachung der Berechnungen setzen wir&nbsp; $T_1' = T_1/2$&nbsp; und&nbsp; $T_2' = (T – T_1)/2$.
-'''(2)'''&nbsp;
+*Damit ergibt sich für die Sendeimpulsenergie:
-'''(3)'''&nbsp;
+:$$E_{\rm B} =
-'''(4)'''&nbsp;
+ \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2(t) \,{\rm d} t  =
-'''(5)'''&nbsp;
+\cdot \int_{0}^{T_1\hspace{0.0cm}'}g_s^2(t) \,{\rm d}
-'''(6)'''&nbsp;
+ t\hspace{0.2cm}+ \hspace{0.2cm}2 \cdot \int_{T_1\hspace{0.0cm}'}^{T/2}g_s^2(t) \,{\rm d} t
+ \hspace{0.05cm}.$$
+*Entsprechend dieser Aufteilung kann auch geschrieben werden:
+:$${E_{\rm B}}/{2} = s_0^2 \cdot T_1\hspace{0.0cm}' + E_2
+ \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}
+E_{\rm 2}   = \
+  \int_{T_1\hspace{0.0cm}'}^{T/2}g_s^2(t) \,{\rm d} t
+ = s_0^2 \cdot \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}\left ( 1 - \frac {t}{T_2\hspace{0.0cm}'}\right )^2 \,{\rm d}
+ t $$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}E_{\rm 2}   = \ s_0^2 \cdot \left [ \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}\,\,{\rm d} t- \frac {2}{T_2\hspace{0.0cm}'} \cdot
+ \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}t \,\,{\rm d} t + \frac {1}{(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2} \cdot
+ \int_{0}^{T_2\hspace{0.0cm}'}t^2 \,\,{\rm d} t\right ] = \ s_0^2 \cdot \left [ {T_2\hspace{0.0cm}'} - \frac {2}{T_2\hspace{0.0cm}'} \cdot
+ \frac {(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2}{2} + \frac {1}{(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^2} \cdot
+ \frac {(T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm})^3}{3}\right ] = s_0^2
+ \cdot\frac {T_2\hspace{0.0cm}'\hspace{0.02cm}}{3}
+ \hspace{0.05cm}.$$
+*Eingesetzt in obige Gleichung erhält man:
+:$${E_{\rm B}}/{2}   = s_0^2  \cdot \frac {T_1}{2}+ s_0^2  \cdot \frac {T-T_1}{2 \cdot
+}= s_0^2  \cdot \left [\frac{T}{6} + \frac{T_1}{3}\right ]\hspace{0.3cm}
+\hspace{0.3cm}\Rightarrow E_{\rm B}   = {s_0^2}/{3}\cdot   \left (T + 2 \cdot T_1 \right )\hspace{0.05cm}.$$
+*Mit den angegebenen Werten&nbsp; ${s_{0}}^{2} = 10 \ \rm mW$&nbsp; und&nbsp; $T = 3\ \rm &micro; s$&nbsp; erhält man:
+:$$T_1 = 0\text{:} \hspace{0.75cm} {E_{\rm B}}  = \ 1/3 \cdot{s_0^2 \cdot T}= 1/3 \cdot {10^{-2}\,{\rm W} \cdot 3 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}} \hspace{0.1cm}\underline {=  1 \cdot 10^{-8}\,{\rm
+ Ws}}\hspace{0.05cm},$$
+:$$T_1 = T/2\text{:} \hspace{0.2cm} {E_{\rm B}} = \ 2/3 \cdot{ s_0^2 \cdot T}= \hspace{2.6cm}\text{...} \hspace{1.4cm}\hspace{0.1cm}\underline {=  2 \cdot 10^{-8}\,{\rm
+ Ws}} \hspace{0.05cm},$$
+:$$T_1 = T\text{:} \hspace{0.65cm} {E_{\rm B}} = \ { s_0^2 \cdot T}= \hspace{3.65cm}\text{...} \hspace{1.4cm}\hspace{0.1cm}\underline {=  3 \cdot 10^{-8}\,{\rm
+ Ws}} \hspace{0.05cm}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Der Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung ist maximal&nbsp; $(\eta_{\rm L} = 1)$,&nbsp; wenn der Sendegrundimpuls&nbsp; $g_{s}(t)$&nbsp; formgleich mit der Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm E}(t)$ ist.&nbsp;
+*Dies trifft hier für den NRZ–Sendeimpuls zu: &nbsp;  $T_1/T \ \underline{= 1}$.
+'''(3)'''&nbsp; Unter der in Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; genannten Bedingung erhält man das maximale SNR:
+:$$\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max  \hspace{0.05cm}|  \hspace{0.05cm}
+ L}}= \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 10^{-8}\,{\rm Ws}}{3 \cdot 10^{-10}\,{\rm
+ W/Hz}}\hspace{0.1cm}\underline {= 200} \hspace{0.05cm}.$$
+'''(4)'''&nbsp; Allgemein gilt&nbsp; $g_{d}(t) = g_{s}(t) ∗ h_{\rm E}(t)$.&nbsp; Für&nbsp; $t = 0$&nbsp; ergibt sich&nbsp;  mit&nbsp; $T_1 = T/2$&nbsp; hierfür die Trapezfläche:
+:$$g_0 = g_d(t=0) = \frac{1}{T} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty}g_s(t) \,{\rm d} t = \frac{T + T_1}{2} \cdot s_0 = 0.75 \cdot 0.1 \cdot \sqrt{\rm W} \hspace{0.1cm}\underline {= 0.075 \,\sqrt{\rm W}} \hspace{0.05cm}.$$
+'''(5)'''&nbsp; Mit&nbsp; $T_1 = T/2$&nbsp; (trapezförmige Sendeimpulse)&nbsp; erhält man für das Signal–zu–Rausch–Verhältnis:
+:$$\rho_d = \frac{g_0^2}{\sigma_d^2}\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm} g_0^2=0.075^2\, {\rm W},\hspace{0.1cm} \sigma_d^2 = \frac{N_0}{2 \cdot T} = 5 \cdot 10^{-5}\,{\rm W}\hspace{0.3cm}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_d = \frac{0.075^2\, {\rm W}}{5 \cdot 10^{-5}\,{\rm W}} = 112.5 \hspace{0.05cm}.$$
+*Somit ergibt sich für den Systemwirkungsgrad bei Leistungsbegrenzung mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(3)''':
+:$$\eta_{\rm L} = \frac{\rho_d}{\rho_{d, \hspace{0.05cm}{\rm max \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} L}}}= \frac{112.5}{200}\hspace{0.1cm}\underline {= 0.5625 }\hspace{0.05cm}.$$
+*Aufgrund der Fehlanpassung ist $\eta_{\rm L} < 1$.
+'''(6)'''&nbsp; Mit dem Maximalwert&nbsp; $s_{0}$&nbsp; und dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gilt:
+:$$s_{\rm eff} = \sqrt{{ E_{\rm B}}/{T}}= \sqrt{{ 2/3 \cdot s_{0}^2}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}C_{\rm S} ={ s_{\rm 0}}/{s_{\rm eff}}= \sqrt{{ 3}/{2}}\hspace{0.1cm}\underline { \approx 1.225}\hspace{0.05cm}.$$
+'''(7)'''&nbsp; Der Systemwirkungsgrad bei Spitzenwertbegrenzung ist kleiner als der bei Leistungsbegrenzung, <br> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; da hier neben der Fehlanpassung auch das nicht optimale Sendesignal (zu kleine Energie) eine Rolle spielt:
+:$$\eta_{\rm A} = \frac{1}{C_{\rm S}^2}\cdot \eta_{\rm L} = \frac{ 2}{3} \cdot 0.5625 =\hspace{0.1cm}\underline {  0.375} \hspace{0.05cm}.$$
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