Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace: Unterschied zwischen den Versionen
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{{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}} | {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}} | ||
− | [[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Drei | + | [[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]] |
− | Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die | + | Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte |
:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | ||
\boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$ | \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$ | ||
− | gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit | + | gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit |
− | :$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \ | + | :$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$ |
− | :$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \ | + | :$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$ |
− | Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet. | + | Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet. |
− | Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$: | + | Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$: |
:$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | :$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | ||
− | p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} | + | p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} |
− | + | \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$ | |
− | Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der [[ | + | Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| "Aufgabe 4.9Z"]] noch eingehend behandelt. |
− | Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen: | + | Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen: |
:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } | :$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } | ||
\hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) | \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) | ||
− | \hspace{0.05cm}, | + | \hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm} |
− | + | \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2) | |
− | \hspace{0.05cm}, \hspace{0. | + | \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) |
\hspace{0.05cm}. $$ | \hspace{0.05cm}. $$ | ||
Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet: | Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet: | ||
− | :$$\boldsymbol{ s }\ | + | :$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) |
− | \hspace{0.05cm}, | + | \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2}) |
− | + | \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2}) | |
− | \hspace{0.05cm}, \hspace{0. | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten: | + | Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers $($beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch$)$ lauten: |
− | Entscheide für das Symbol $m_0$, falls | + | ⇒ Entscheide für das Symbol $m_0$, falls $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > |
− | + | p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$ | |
− | p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}. | ||
− | Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$ | + | ⇒ Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür $($Entscheidung für $m_0)$ auch geschrieben werden: |
:$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > | :$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > | ||
{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$ | {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$ | ||
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| \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$ | | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird | + | ⇒ Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird im Fragebogen häufiger Bezug genommen. |
− | Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen ( | + | Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen $(I_0, \ I_1)$. |
− | :$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$ | + | :*Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante $\rm A$ optimal. |
+ | :*Auch beim betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante $\rm A$ zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| "Aufgabe 4.9Z"]]: | ||
+ | ::$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Zu untersuchen ist, ob die Variante | + | :*Zu untersuchen ist, ob auch die Variante $\rm B$ bzw. die Variante $\rm C$ optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $p_{\rm min}$ sind. |
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+ | |||
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+ | Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]]. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls | + | {Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + $ | + | + $p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$, |
− | + $L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, | + | + $L(\rho_1, \ \rho_2) = |\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, –1| + |\rho_2+1| \, -|\rho_2 \, –1| < 0$, |
- $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$. | - $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$. | ||
− | {Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ | + | {Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ -|x \ -1|$ umformen? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Für $x ≥ 1$ ist $|x + 1| \, | + | + Für $x ≥ +1$ ist $|x + 1| \, -|x -1| = 2$. |
− | + Für $x ≤ \, & | + | + Für $x ≤ \, -1$ ist $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$. |
− | + Für | + | + Für $-1 ≤ x ≤ +1$ ist $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$. |
− | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich | + | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | + Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$. | + | + Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$. |
− | - Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$. | + | - Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$. |
− | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$? | + | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | - Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich. | + | - Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich. |
− | + Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich. | + | + Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich. |
− | - Entscheidung für $m_0$ | + | - Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$. |
− | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, | + | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, -1$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | + Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich. | + | + Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich. |
− | - Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich. | + | - Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich. |
− | - Entscheidung für $m_0$ | + | - Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$. |
− | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$? | + | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | - Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich. | + | - Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich. |
− | + Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich. | + | + Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich. |
− | - Entscheidung für $m_0$ | + | - Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$. |
− | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 < | + | {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 < -1$? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
− | + Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich. | + | + Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich. |
− | - Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich. | + | - Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich. |
− | - Entscheidung für $m_0$ | + | - Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$. |
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? | {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + Die Variante | + | + Die Variante $\rm A$ führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit. |
− | + Die Variante | + | + Die Variante $\rm B$ führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit. |
− | - Die Variante | + | - Die Variante $\rm C$ führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit. |
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten: | + | '''(1)''' Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: |
+ | *Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten: | ||
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) | :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) | ||
\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$ | \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) | :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) | ||
\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen ⇒ ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP–Entscheidungsregel: Entscheide für das Symbol $m_0$ ⇔ Signal $s_0$, falls | |
− | Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen ⇒ ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP–Entscheidungsregel: Entscheide für das Symbol $m_0$ ⇔ Signal $s_0$, falls | ||
:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > | :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > | ||
− | p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm} | + | p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} |
− | + | \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] > | |
{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$ | {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | ||
− | | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1| | + | | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|\hspace{0.3cm} |
− | + | \Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|- | |
| \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$ | | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | |||
− | + | '''(2)''' <u>Alle Aussagen treffen zu</u>: | |
− | '''(2)''' <u>Alle Aussagen treffen zu</u>: Für $x ≥ 1$ ist | + | *Für $x ≥ 1$ ist |
:$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Ebenso gilt für $x ≤ \, –1$, zum Beispiel $x = \, –3$: | + | *Ebenso gilt für $x ≤ \, –1$, zum Beispiel $x = \, –3$: |
:$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Dagegen gilt im mittleren Bereich $–1 ≤ x & | + | *Dagegen gilt im mittleren Bereich $–1 ≤ x ≤ +1$: |
:$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$ | :$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(3)''' Das Ergebnis von Teilaufgabe (1) lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls | + | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: |
+ | *Das Ergebnis von Teilaufgabe '''(1)''' lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls | ||
:$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| - | :$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| - | ||
| \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$ | | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | *Im betrachteten (inneren) Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$ gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''': | |
− | Im betrachteten (inneren) Bereich | ||
:$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls | + | *Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls |
:$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 | :$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 | ||
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | |||
+ | '''(4)''' Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: | ||
+ | *Für $\rho_1 > 1$ ist $|\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, -1| = 2$, während für $D_2 = |\rho_2+1| \,-|\rho_2 \, -1|$ alle Werte zwischen $-2$ und $+2$ möglich sind. | ||
+ | |||
+ | *Die Entscheidungsgröße ist somit $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 ≥ 0$. In diesem Fall führt die Regel zu einer $m_1$–Entscheidung. | ||
− | |||
− | '''(5)''' Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (3) kommt man zum Ergebnis: | + | '''(5)''' Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: |
+ | *Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe '''(3)''' kommt man zum Ergebnis: | ||
:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | :$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
− | {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm} | + | {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$ |
− | |||
− | + | '''(6)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: Entscheidung auf $m_1$. | |
− | '''(6)''' Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier: | + | *Ähnlich der Teilaufgabe '''(4)''' gilt hier: |
:$$D_1 = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \} | :$$D_1 = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \} | ||
\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0 | \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0 | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | |||
− | + | '''(7)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: Entscheidung auf $m_0$. | |
− | '''(7)''' Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis: | + | *Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis: |
:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | :$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
{\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$ | {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | + | ||
+ | [[Datei:P_ID2050__Dig_A_4_9h.png|right|frame|Zusammenfassung der Ergebnisse]] | ||
+ | '''(8)''' Die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(3)''' bis '''(7)''' sind in der Grafik zusammengefasst: | ||
+ | * Teilgebiet $T_0$: Entscheidung auf $m_0$ bzw. $m_1$ gemäß Aufgabe '''(3)'''. | ||
+ | * Teilgebiet $T_1$: Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe '''(4)'''. | ||
+ | * Teilgebiet $T_2$: Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe '''(5)'''. | ||
+ | * Teilgebiet $T_3$: Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe '''(6)'''. | ||
+ | * Teilgebiet $T_4$: Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe '''(7)'''. | ||
+ | * Teilgebiet $T_5$: Nach Aufgabe '''(5)''' sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe '''(6)''' auf $m_1$ <br>⇒ Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet. | ||
+ | * Teilgebiet $T_6$: Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe '''(4)''' und '''(7)''' sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen. | ||
− | + | Man erkennt: | |
− | + | #Für die Teilaufgabe $T_0$, ... , $T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau). | |
− | + | #Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden. | |
− | |||
− | |||
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− | + | Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$ auf der Angabenseite, so erkennt man, dass die <u>Vorschläge 1 und 2</u> richtig sind: | |
− | + | # Die Varianten $\rm A$ und $\rm B$ sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$. | |
− | + | # Die Variante $\rm C$ ist nicht optimal; bezüglich der Teilgebiete $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$. | |
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Aktuelle Version vom 29. Juli 2022, 17:25 Uhr
Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
- $$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit
- $$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
- $$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.
Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$:
- $$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$
Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der "Aufgabe 4.9Z" noch eingehend behandelt.
Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:
- $$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n } \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2) \hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm} \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) \hspace{0.05cm}. $$
Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
- $$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2}) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2}) \hspace{0.05cm}.$$
Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers $($beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch$)$ lauten:
⇒ Entscheide für das Symbol $m_0$, falls $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$
⇒ Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür $($Entscheidung für $m_0)$ auch geschrieben werden:
- $${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
⇒ Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird im Fragebogen häufiger Bezug genommen.
Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen $(I_0, \ I_1)$.
- Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante $\rm A$ optimal.
- Auch beim betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante $\rm A$ zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe "Aufgabe 4.9Z":
- $$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
- Zu untersuchen ist, ob auch die Variante $\rm B$ bzw. die Variante $\rm C$ optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $p_{\rm min}$ sind.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".
Fragebogen
Musterlösung
- Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:
- $$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
- $$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
- Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen ⇒ ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP–Entscheidungsregel: Entscheide für das Symbol $m_0$ ⇔ Signal $s_0$, falls
- $$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] > {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| < | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|- | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
(2) Alle Aussagen treffen zu:
- Für $x ≥ 1$ ist
- $$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$
- Ebenso gilt für $x ≤ \, –1$, zum Beispiel $x = \, –3$:
- $$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen gilt im mittleren Bereich $–1 ≤ x ≤ +1$:
- $$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Das Ergebnis von Teilaufgabe (1) lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls
- $$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Im betrachteten (inneren) Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$ gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2):
- $$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$
- Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls
- $$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$
(4) Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 2:
- Für $\rho_1 > 1$ ist $|\rho_1+1| \, -|\rho_1 \, -1| = 2$, während für $D_2 = |\rho_2+1| \,-|\rho_2 \, -1|$ alle Werte zwischen $-2$ und $+2$ möglich sind.
- Die Entscheidungsgröße ist somit $L(\rho_1, \rho_2) = 2 + D_2 ≥ 0$. In diesem Fall führt die Regel zu einer $m_1$–Entscheidung.
(5) Richtig ist hier der Lösungsvorschlag 1:
- Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (3) kommt man zum Ergebnis:
- $$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
(6) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2: Entscheidung auf $m_1$.
- Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier:
- $$D_1 = | \rho_1 +1| - | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0 \hspace{0.05cm}.$$
(7) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1: Entscheidung auf $m_0$.
- Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
- $$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
(8) Die Ergebnisse der Teilaufgaben (3) bis (7) sind in der Grafik zusammengefasst:
- Teilgebiet $T_0$: Entscheidung auf $m_0$ bzw. $m_1$ gemäß Aufgabe (3).
- Teilgebiet $T_1$: Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (4).
- Teilgebiet $T_2$: Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (5).
- Teilgebiet $T_3$: Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
- Teilgebiet $T_4$: Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
- Teilgebiet $T_5$: Nach Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$
⇒ Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet. - Teilgebiet $T_6$: Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.
Man erkennt:
- Für die Teilaufgabe $T_0$, ... , $T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau).
- Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden.
Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten $\rm A$, $\rm B$ und $\rm C$ auf der Angabenseite, so erkennt man, dass die Vorschläge 1 und 2 richtig sind:
- Die Varianten $\rm A$ und $\rm B$ sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
- Die Variante $\rm C$ ist nicht optimal; bezüglich der Teilgebiete $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.