Aufgaben:Aufgabe 4.11Z: Nochmals OOK und BPSK: Unterschied zwischen den Versionen
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− | [[Datei:P_ID2061__Dig_Z_4_11.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von OOK und BPSK]] | + | [[Datei:P_ID2061__Dig_Z_4_11.png|right|frame|Fehlerwahrscheinlichkeiten von <br>"On–Off–Keying" $\rm (OOK)$ und <br>"Binary Phase Shift Keying" $\rm (BPSK)$]] |
− | Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren OOK und BPSK ohne Herleitung angegeben. Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion | + | Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren "On–Off–Keying" $\rm (OOK)$ und "Binary Phase Shift Keying" $\rm (BPSK)$ ohne Herleitung angegeben. |
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− | für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch $E_{\rm S}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation) | + | für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch $E_{\rm S}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation) |
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+ | Diese Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten $($gleichzeitig die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten$)$ sind in der Grafik dargestellt. | ||
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+ | Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen: | ||
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+ | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Tr%C3%A4gerfrequenzsysteme_mit_koh%C3%A4renter_Demodulation| "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation"]]. | ||
− | + | * Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| "Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation"]]. | |
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− | * Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_digitale_Modulation_%E2%80%93_Koh%C3%A4rente_Demodulation| Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation]]. | + | * Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende obere Schranke: |
− | * | + | :$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} |
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
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− | {Berechnen Sie die OOK– | + | {Berechnen Sie die $\rm OOK$–Symbolfehlerwahrscheinlichkeit für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB $ unter Verwendung der oberen Schranke. |
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− | ${\rm | + | $p_{\rm S}\ = \ $ { 85 3% } $\ \cdot 10^{\rm –5}$ |
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− | {Geben Sie für | + | {Geben Sie für $\rm OOK$ den minimalen Wert für $E_{\rm S}/N_0$ $($in $\rm dB)$ an, der für $p_{\rm S} = 10^{\rm -5}$ erforderlich ist. |
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− | ${\rm | + | ${\rm Minimum} \big[10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \big ] \ = \ $ { 12.6 3% } $\ \rm dB$ |
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $E_{\rm S}/N_0 = 10$ und damit | + | '''(1)''' Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ folgt $E_{\rm S}/N_0 = 10$ und damit |
:$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx | :$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx | ||
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+ | *Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $78.3 \cdot 10^{\rm -5}$. | ||
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+ | *Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$. | ||
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+ | *Der relative Fehler bei Verwendung dieser Näherung anstelle der exakten Funktion ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$. | ||
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'''(2)''' Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung: | '''(2)''' Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung: | ||
:$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx | :$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx | ||
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+ | *Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$. | ||
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+ | *Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung. | ||
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− | '''(3)''' Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich. Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/ | + | '''(3)''' Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich. |
+ | *Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}$. | ||
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Aktuelle Version vom 1. Oktober 2022, 16:17 Uhr
Hier werden die Fehlerwahrscheinlichkeiten $p_{\rm S}$ von den digitalen Modulationsverfahren "On–Off–Keying" $\rm (OOK)$ und "Binary Phase Shift Keying" $\rm (BPSK)$ ohne Herleitung angegeben.
Beispielsweise erhält man mit der sogenannten Q–Funktion
- $${\rm Q} (x) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi}}\cdot \int_{\it x}^{+\infty}\rm e^{\it -u^{\rm 2}/\rm 2}\,d \it u$$
für den AWGN–Kanal – gekennzeichnet durch $E_{\rm S}/N_0$ – und weiteren optimalen Voraussetzungen (zum Beispiel kohärente Demodulation)
- für "On–Off–Keying", oft auch "Amplitude Shift Keying" $\rm (2–ASK)$ genannt:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm},$$
- für "Binary Phase Shift Keying":
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm S}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$
Diese Symbolfehlerwahrscheinlichkeiten $($gleichzeitig die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten$)$ sind in der Grafik dargestellt.
Für $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 10 \ \rm dB$ erhält man beispielsweise entsprechend den exakten Funktionen:
- $$p_{\rm S} = 7.83 \cdot 10^{-4}\,\,{\rm (OOK)}\hspace{0.05cm},$$
- $$p_{\rm S} = 3.87 \cdot 10^{-6}\,\,{\rm (BPSK)}\hspace{0.05cm}.$$
Um bei BPSK $p_{\rm S} = 10^{\rm -5}$ zu erreichen, muss $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 ≥ 9.6 \ \rm dB$ sein.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation".
- Die Herleitungen finden Sie auch im Kapitel "Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation".
- Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende obere Schranke:
- $${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{10} \right ) \approx \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 20\pi} }\cdot \rm e^{-5 } \underline{=85 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
- Der tatsächliche Wert gemäß dem Angabenblatt lautet $78.3 \cdot 10^{\rm -5}$.
- Die angegebene Gleichung ist also tatsächlich eine obere Schranke für ${\rm Q}(x)$.
- Der relative Fehler bei Verwendung dieser Näherung anstelle der exakten Funktion ${\rm Q}(x)$ ist in diesem Fall kleiner als $10\%$.
(2) Bei BPSK lautet die entsprechende Gleichung:
- $$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{20} \right ) \approx \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 40\pi} }\cdot \rm e^{-10 } \underline{=0.405 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$
- Nun beträgt der relative Fehler bei Verwendung der Näherung nur noch $5\%$.
- Allgemein gilt: Je kleiner die Fehlerwahrscheinlichkeit ist, um so besser ist die Näherung.
(3) Bei BPSK ist hierfür laut Angabe ein (logarithmierter) Wert von $9.6 \ \rm dB$ erforderlich.
- Bei der OOK muss der logarithmierte Wert um etwa $3 \ \rm dB$ erhöht werden ⇒ $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 \ \underline {\approx 12.6 \ \rm dB}$.