Aufgaben:Aufgabe 2.7: AMI-Code: Unterschied zwischen den Versionen
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[[Datei:P_ID1351__Dig_A_2_7.png|right|frame|Blockschaltbild eines Pseudoternärcoders]] | [[Datei:P_ID1351__Dig_A_2_7.png|right|frame|Blockschaltbild eines Pseudoternärcoders]] | ||
| − | Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur AMI–Codierung, wobei von den binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten $q_{\nu} ∈ \{–1, +1\}$ am Eingang ausgegangen wird. Diese Umcodierung erfolgt zweistufig: | + | Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur AMI–Codierung, wobei von den binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten $q_{\nu} ∈ \{–1, +1\}$ am Eingang ausgegangen wird. Diese Umcodierung erfolgt zweistufig: |
| − | *Im ersten Teil des Blockschaltbildes wird bei jedem Taktschritt ein binär–vorcodiertes Symbol $b_{\nu}$ aus der Modulo–2–Addition von $q_{\nu}$ und $b_{\nu -1}$ erzeugt. Es gilt $b_{\nu} ∈ \{–1, +1\}.$ | + | *Im ersten Teil des Blockschaltbildes wird bei jedem Taktschritt ein binär–vorcodiertes Symbol $b_{\nu}$ aus der Modulo–2–Addition von $q_{\nu}$ und $b_{\nu -1}$ erzeugt. Es gilt $b_{\nu} ∈ \{–1, +1\}.$ |
| − | *Danach wird durch eine herkömmliche Subtraktion der aktuelle Amplitudenkoeffizient des ternären Sendesignals $s(t)$ bestimmt. Dabei gilt: | + | *Danach wird durch eine herkömmliche Subtraktion der aktuelle Amplitudenkoeffizient des ternären Sendesignals $s(t)$ bestimmt. Dabei gilt: |
:$$a_\nu = {1}/{2} \cdot \left [ b_\nu - b_{\nu-1} \right ] \hspace{0.05cm}.$$ | :$$a_\nu = {1}/{2} \cdot \left [ b_\nu - b_{\nu-1} \right ] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
Aufgrund der AMI–Codierung wird sichergestellt, dass keine langen „$+1$”– bzw. „$–1$”–Sequenzen entstehen. Um auch lange Nullfolgen zu vermeiden, wurden auch modifizierte AMI–Codes entwickelt: | Aufgrund der AMI–Codierung wird sichergestellt, dass keine langen „$+1$”– bzw. „$–1$”–Sequenzen entstehen. Um auch lange Nullfolgen zu vermeiden, wurden auch modifizierte AMI–Codes entwickelt: | ||
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| − | Das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{a}(f)$ der Amplitudenkoeffizienten soll aus den diskreten AKF–Werten $\varphi_{a}(\lambda) = {\E}[a_{\nu} \cdot a_{\nu + \lambda}]$ ermittelt werden. Die Fouriertransformation lautet in | + | Das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{a}(f)$ der Amplitudenkoeffizienten soll aus den diskreten AKF–Werten $\varphi_{a}(\lambda) = {\E}\big[a_{\nu} \cdot a_{\nu + \lambda}\big]$ ermittelt werden. Die Fouriertransformation lautet in diskreter Darstellung: |
:$${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} \hspace{0.05cm}.$$ | :$${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignalübertragung/Symbolweise_Codierung_mit_Pseudoternärcodes|Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes]]. | ||
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| + | *Sie können die Ergebnisse mit dem interaktiven Applet [[Applets:Pseudoternaercodierung|Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes]] überprüfen. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Am Eingang liegt $\langle q_{\nu} \rangle = \langle +1, –1, +1, +1, –1, +1, +1, –1, –1, –1, –1, +1 \rangle$ an. Ermitteln Sie die binär–vorcodierte Folge $\langle b_{\nu} \rangle$ mit der Vorbelegung $b_{0} = –1$. Geben Sie zur Kontrolle folgende Werte ein: | + | {Am Eingang liegt $\langle q_{\nu} \rangle = \langle +1, –1, +1, +1, –1, +1, +1, –1, –1, –1, –1, +1 \rangle$ an. Ermitteln Sie die binär–vorcodierte Folge $\langle b_{\nu} \rangle$ mit der Vorbelegung $b_{0} = \hspace{0.05cm}–1$. <br>Geben Sie zur Kontrolle folgende Werte ein: |
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| − | $b_{1} \ = \ $ { 1 3% } | + | $b_{1} \hspace{0.26cm} = \ $ { 1 3% } |
$b_{11} \ = \ $ { 1 3% } | $b_{11} \ = \ $ { 1 3% } | ||
$b_{12} \ = \ $ { -1.03--0.97 } | $b_{12} \ = \ $ { -1.03--0.97 } | ||
| − | {Ermitteln Sie die Folge $\langle a_{\nu} \rangle$ der Amplitudenkoeffizienten des AMI–codierten Sendesignals $s(t)$. Geben Sie zur Ergebnisüberprüfung folgende Werte ein: | + | {Ermitteln Sie weiterhin die Folge $\langle a_{\nu} \rangle$ der Amplitudenkoeffizienten des AMI–codierten Sendesignals $s(t)$. <br>Geben Sie zur Ergebnisüberprüfung folgende Werte ein: |
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| − | $a_{1} \ = \ $ { 1 3% } | + | $a_{1} \hspace{0.28cm} = \ $ { 1 3% } |
| − | $a_{11} \ = \ $ { 0 | + | $a_{11} \ = \ $ { 0. } |
$a_{12} \ = \ $ { -1.03--0.97 } | $a_{12} \ = \ $ { -1.03--0.97 } | ||
| − | {Würde sich ein HDB3– bzw. ein B6ZS–Signal im betrachteten Bereich $(12T)$ vom AMI–Code unterscheiden? | + | {Würde sich ein HDB3– bzw. ein B6ZS–Signal im betrachteten Bereich $(\text{also über }12T)$ vom AMI–Code unterscheiden? |
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+ Der HDB3–Code unterscheidet sich vom AMI–Code. | + Der HDB3–Code unterscheidet sich vom AMI–Code. | ||
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${\Pr}(a_{\nu} = + 1) \ = \ $ { 0.25 3% } | ${\Pr}(a_{\nu} = + 1) \ = \ $ { 0.25 3% } | ||
| − | ${\Pr}(a_{\nu} = 0) \ = \ $ { 0.5 3% } | + | ${\Pr}(a_{\nu} = 0) \hspace{0.45cm} = \ $ { 0.5 3% } |
${\Pr}(a_{\nu} = - 1) \ = \ $ { 0.25 3% } | ${\Pr}(a_{\nu} = - 1) \ = \ $ { 0.25 3% } | ||
{Berechnen Sie die beiden ersten Mittelwerte der Amplitudenkoeffizienten. | {Berechnen Sie die beiden ersten Mittelwerte der Amplitudenkoeffizienten. | ||
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| − | $\E[a_{\nu}] \ = \ $ { 0 | + | $\E\big[a_{\nu}\big] \ = \ $ { 0. } |
| − | $\E[a_{\nu}^{2}] \ = \ $ { 0.5 3% } | + | $\E\big[a_{\nu}^{2}\big] \ = \ $ { 0.5 3% } |
| − | {Berechnen Sie die | + | {Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion $\varphi_{a}(\lambda)$, insbesondere die folgenden AKF–Werte: |
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$\varphi_{a}(\lambda = 0) \ = \ $ { 0.5 3% } | $\varphi_{a}(\lambda = 0) \ = \ $ { 0.5 3% } | ||
$\varphi_{a}(\lambda = 1) \ = \ $ { -0.2575--0.2425 } | $\varphi_{a}(\lambda = 1) \ = \ $ { -0.2575--0.2425 } | ||
| − | $\varphi_{a}(\lambda = | + | $\varphi_{a}(\lambda = 2) \ = \ $ { 0. } |
| − | {Wie lautet das | + | {Wie lautet das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{a}(f)$? Welche Werte ergeben für $f = 0$ und $f = 1/(2T)$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | ${\it \Phi}_{a}(f = 0) \ = \ $ { 0 | + | ${\it \Phi}_{a}(f = 0) \ = \ $ { 0. } |
${\it \Phi}_{a}(f = 1/(2T)) \ = \ $ { 1 3% } | ${\it \Phi}_{a}(f = 1/(2T)) \ = \ $ { 1 3% } | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' | + | '''(1)''' Die Modulo–2–Addition kann auch als Antivalenz aufgefasst werden. |
| − | '''(2)''' | + | *Es gilt $b_{\nu} = +1$, falls sich $q_{\nu}$ und $b_{\nu – 1}$ unterscheiden, andernfalls ist $b_{\nu} = -1$ zu setzen. |
| − | '''(3)''' | + | *Mit dem Startwert $b_{0} = -1$ erhält man: |
| − | '''(4)''' | + | :$$b_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}, \hspace{0.2cm} b_2 = +1, \hspace{0.2cm}b_3 = -1, \hspace{0.2cm}b_4 = +1, \hspace{0.2cm}b_5 = +1, \hspace{0.2cm}b_6 = -1\hspace{0.05cm},$$ |
| − | '''(5)''' | + | :$$b_7 = +1, \hspace{0.2cm} b_8 = +1, \hspace{0.2cm}b_9 = +1, \hspace{0.2cm}b_{10} = +1, \hspace{0.2cm}b_{11} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, \hspace{0.2cm}b_{12} \hspace{0.15cm}\underline {= -1}\hspace{0.05cm}.$$ |
| − | '''(6)''' | + | |
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| + | '''(2)''' Die AMI–Codierung liefert die folgenden Amplitudenkoeffizienten: | ||
| + | :$$a_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}, \hspace{0.2cm} a_2 = 0, \hspace{0.2cm}a_3 = -1, \hspace{0.2cm}a_4 = +1, \hspace{0.2cm}a_5 = 0, \hspace{0.2cm}a_6 = -1\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$a_7 = +1, \hspace{0.2cm} a_8 = 0, \hspace{0.2cm}a_9 = 0, \hspace{0.2cm}a_{10} = 0, \hspace{0.2cm}a_{11}\hspace{0.15cm}\underline { = 0}, \hspace{0.2cm}a_{12} \hspace{0.15cm}\underline {= -1}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Zu diesem Ergebnis kommt man über die Gleichung $a_{\nu} = (b_{\nu} - b_{\nu –1})/2$ oder durch direkte Anwendung der AMI–Codierregel: | ||
| + | *Ein Quellensymbol $q_{\nu} = -1$ führt stets zu $a_{\nu} = 0$. | ||
| + | *Die Quellensymbole $q_{\nu} = +1$ führen alternierend zu $a_{\nu} = +1$ und $a_{\nu} = -1$. | ||
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| + | '''(3)''' Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: | ||
| + | *Der AMI–Code liefert im Bereich zwischen $\nu = 8$ und $\nu = 11$ vier aufeinanderfolgende Nullen. | ||
| + | *Beim HDB3–Code würden diese vier Symbole mit „$+ 0 0 +$” markiert. Dadurch wird zur Kenntlichmachung die AMI–Regel bewusst verletzt. | ||
| + | *Dagegen ersetzt der B6ZS–Code nur Nullfolgen über sechs Symbole. | ||
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| + | '''(4)''' Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Binärwerte $±1$ erhält man ${\Pr}(a_{\nu} = 0) = {\Pr}(q_{\nu} = -1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 1/2}$ und aus Symmetriegründen | ||
| + | : ${\Pr}(a_{\nu} = +1) = {\Pr}(a_{\nu} = -1) \hspace{0.15cm}\underline{ = 1/4}.$ | ||
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| + | '''(5)''' Mit den unter '''(4)''' berechneten Wahrscheinlichkeiten erhält man: | ||
| + | :$${\rm E}\big[a_\nu \big] = \ {1}/{4} \cdot (+1) +{1}/{2} \cdot 0+ {1}/{4} \cdot (-1)\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$ {\rm E}\big[a_\nu^2 \big] = \ {1}/{4} \cdot (+1)^2 +{1}/{2} \cdot 0^2 + {1}/{4} \cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(6)''' Der AKF–Wert bei $\lambda = 0$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten: | ||
| + | :$$ \varphi_a(\lambda = 0) = {\rm E}[a_\nu^2] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Da die Ordnung des AMI–Codes $N = 1$ ist, gilt für $\lambda > 1$: $\varphi_a(\lambda > 1) = {\rm E}[a_\nu^2] \hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}.$ | ||
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| + | *Der AKF–Wert $\varphi_{a}(\lambda = 1)$ muss durch Mittelung bestimmt werden: $\varphi_a(\lambda = 1) = {\rm E}[a_\nu \cdot a_{\nu+1} \cdot {\rm Pr}(a_\nu \cap a_{\nu+1})] \hspace{0.05cm}.$ | ||
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| + | *Von den neun Kombinationsmöglichkeiten für $a_{\nu} \cdot a_{\nu +1}$ liefern nur vier einen von Null verschiedenen Wert. In den anderen Fällen ist entweder $a_{\nu} = 0$ oder $a_{\nu +1} = 0$. | ||
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| + | Da beim AMI–Code aber auch | ||
| + | :$${\rm Pr}[(a_\nu = +1) \cap (a_{\nu+1}= +1)] = \ 0 \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$ {\rm Pr}[(a_\nu = -1) \cap (a_{\nu+1}= -1)] = \ 0$$ | ||
| + | zutrifft, erhält man mit | ||
| + | :$${\rm Pr}[(a_\nu = +1) \cap (a_{\nu+1}= -1)] = \ {\rm Pr}(a_\nu = +1)\cdot {\rm Pr}(a_{\nu+1} = -1 | a_\nu = +1) = {1}/{4}\cdot{1}/{2} ={1}/{8} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$${\rm Pr}[(a_\nu = -1) \cap (a_{\nu+1}= +1)] = \ {\rm Pr}(a_\nu = -1)\cdot {\rm Pr}(a_{\nu+1} = +1 | a_\nu = -1) = {1}/{4}\cdot {1}/{2} = {1}/{8}$$ | ||
| + | [[Datei:P_ID1353__Dig_A_2_7f.png|right|frame|Autokorrelationsfunktionen des AMI-Codes]] | ||
| + | als Endergebnis (da die AKF stets eine gerade Funktion ist): | ||
| + | :$$\varphi_{a}(\lambda = +1) = \varphi_{a}(\lambda = –1) = –0.25.$$ | ||
| + | *Hierbei ist berücksichtigt, dass nach $a_{\nu} = +1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit $a_{\nu +1} = +1$ und $a_{\nu +1} = -1$ folgt. | ||
| + | *Damit lautet das Ergebnis: | ||
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| + | :$$\varphi_a(\lambda = 0)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}, $$ | ||
| + | :$$\varphi_a(\lambda = 1)\hspace{0.15cm}\underline {= -0.25} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$\varphi_a(\lambda = 2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$ | ||
| + | <br clear=all> | ||
| + | Die Grafik zeigt | ||
| + | *die diskrete AKF $\varphi_{a}(\lambda)$ der Amplitudenkoeffizienten und | ||
| + | *die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ des Sendesignals unter der Voraussetzung von NRZ–Rechteckimpulsen und AMI-Codierung. | ||
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| + | Dabei ist die blau gezeichnete AKF $\varphi_{s}(\tau)$ das Ergebnis der (diskreten) Faltung zwischen der diskreten AKF $\varphi_{a}(\lambda)$ – rot gezeichnet – und der dreieckförmigen Energie–AKF des Sendegrundimpulses. | ||
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| + | '''(7)''' Aus der angegebenen Gleichung erhält man unter Berücksichtigung der in '''(6)''' berechneten diskreten AKF-Werte | ||
| + | :$$\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1/2,$$ | ||
| + | :$$\varphi_{a}(|\lambda| = 1) = -1/4,$$ | ||
| + | :$$\varphi_{a}(|\lambda| > 1) = 0$$ | ||
| + | das folgende Ergebnis: | ||
| + | :$${\it \Phi}_a(f) = \ \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} = \varphi_a(\lambda = 0) + 2 \cdot \varphi_a(\lambda = 1 )\cdot\cos ( 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T) = \ {1}/{2} \cdot \left [ 1 - \cos ( 2 \pi f \hspace{0.02cm} T)\right ] = \sin^2 ( \pi f \hspace{0.02cm} T) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Insbesondere gilt: | ||
| + | :$${\it \Phi}_a(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$ | ||
| + | :$${\it \Phi}_a(f = {1}/({2T})) = \sin^2 ({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 14. Februar 2019, 13:52 Uhr
Blockschaltbild eines Pseudoternärcoders
Die Grafik zeigt das Blockschaltbild zur AMI–Codierung, wobei von den binären bipolaren Amplitudenkoeffizienten $q_{\nu} ∈ \{–1, +1\}$ am Eingang ausgegangen wird. Diese Umcodierung erfolgt zweistufig:
- Im ersten Teil des Blockschaltbildes wird bei jedem Taktschritt ein binär–vorcodiertes Symbol $b_{\nu}$ aus der Modulo–2–Addition von $q_{\nu}$ und $b_{\nu -1}$ erzeugt. Es gilt $b_{\nu} ∈ \{–1, +1\}.$
- Danach wird durch eine herkömmliche Subtraktion der aktuelle Amplitudenkoeffizient des ternären Sendesignals $s(t)$ bestimmt. Dabei gilt:
- $$a_\nu = {1}/{2} \cdot \left [ b_\nu - b_{\nu-1} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
Aufgrund der AMI–Codierung wird sichergestellt, dass keine langen „$+1$”– bzw. „$–1$”–Sequenzen entstehen. Um auch lange Nullfolgen zu vermeiden, wurden auch modifizierte AMI–Codes entwickelt:
- Beim HDB3–Code werden je vier aufeinanderfolgende Nullen durch eine gezielte Verletzung der AMI–Codierregel markiert.
- Beim B6ZS–Code werden sechs aufeinanderfolgende Nullen durch eine gezielte Verletzung der AMI–Codierregel markiert.
Das Leistungsdichtespektrum ${\it \Phi}_{a}(f)$ der Amplitudenkoeffizienten soll aus den diskreten AKF–Werten $\varphi_{a}(\lambda) = {\E}\big[a_{\nu} \cdot a_{\nu + \lambda}\big]$ ermittelt werden. Die Fouriertransformation lautet in diskreter Darstellung:
- $${\it \Phi}_a(f) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Symbolweise Codierung mit Pseudoternärcodes.
- Sie können die Ergebnisse mit dem interaktiven Applet Signale, AKF und LDS der Pseudoternärcodes überprüfen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Modulo–2–Addition kann auch als Antivalenz aufgefasst werden.
- Es gilt $b_{\nu} = +1$, falls sich $q_{\nu}$ und $b_{\nu – 1}$ unterscheiden, andernfalls ist $b_{\nu} = -1$ zu setzen.
- Mit dem Startwert $b_{0} = -1$ erhält man:
- $$b_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}, \hspace{0.2cm} b_2 = +1, \hspace{0.2cm}b_3 = -1, \hspace{0.2cm}b_4 = +1, \hspace{0.2cm}b_5 = +1, \hspace{0.2cm}b_6 = -1\hspace{0.05cm},$$
- $$b_7 = +1, \hspace{0.2cm} b_8 = +1, \hspace{0.2cm}b_9 = +1, \hspace{0.2cm}b_{10} = +1, \hspace{0.2cm}b_{11} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, \hspace{0.2cm}b_{12} \hspace{0.15cm}\underline {= -1}\hspace{0.05cm}.$$
(2) Die AMI–Codierung liefert die folgenden Amplitudenkoeffizienten:
- $$a_1\hspace{0.15cm}\underline { = +1}, \hspace{0.2cm} a_2 = 0, \hspace{0.2cm}a_3 = -1, \hspace{0.2cm}a_4 = +1, \hspace{0.2cm}a_5 = 0, \hspace{0.2cm}a_6 = -1\hspace{0.05cm},$$
- $$a_7 = +1, \hspace{0.2cm} a_8 = 0, \hspace{0.2cm}a_9 = 0, \hspace{0.2cm}a_{10} = 0, \hspace{0.2cm}a_{11}\hspace{0.15cm}\underline { = 0}, \hspace{0.2cm}a_{12} \hspace{0.15cm}\underline {= -1}\hspace{0.05cm}.$$
Zu diesem Ergebnis kommt man über die Gleichung $a_{\nu} = (b_{\nu} - b_{\nu –1})/2$ oder durch direkte Anwendung der AMI–Codierregel:
- Ein Quellensymbol $q_{\nu} = -1$ führt stets zu $a_{\nu} = 0$.
- Die Quellensymbole $q_{\nu} = +1$ führen alternierend zu $a_{\nu} = +1$ und $a_{\nu} = -1$.
(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Der AMI–Code liefert im Bereich zwischen $\nu = 8$ und $\nu = 11$ vier aufeinanderfolgende Nullen.
- Beim HDB3–Code würden diese vier Symbole mit „$+ 0 0 +$” markiert. Dadurch wird zur Kenntlichmachung die AMI–Regel bewusst verletzt.
- Dagegen ersetzt der B6ZS–Code nur Nullfolgen über sechs Symbole.
(4) Unter der Annahme gleichwahrscheinlicher Binärwerte $±1$ erhält man ${\Pr}(a_{\nu} = 0) = {\Pr}(q_{\nu} = -1)\hspace{0.15cm}\underline{ = 1/2}$ und aus Symmetriegründen
- ${\Pr}(a_{\nu} = +1) = {\Pr}(a_{\nu} = -1) \hspace{0.15cm}\underline{ = 1/4}.$
(5) Mit den unter (4) berechneten Wahrscheinlichkeiten erhält man:
- $${\rm E}\big[a_\nu \big] = \ {1}/{4} \cdot (+1) +{1}/{2} \cdot 0+ {1}/{4} \cdot (-1)\hspace{0.15cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm E}\big[a_\nu^2 \big] = \ {1}/{4} \cdot (+1)^2 +{1}/{2} \cdot 0^2 + {1}/{4} \cdot (-1)^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Der AKF–Wert bei $\lambda = 0$ ist gleich dem quadratischen Mittelwert der Amplitudenkoeffizienten:
- $$ \varphi_a(\lambda = 0) = {\rm E}[a_\nu^2] \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
- Da die Ordnung des AMI–Codes $N = 1$ ist, gilt für $\lambda > 1$: $\varphi_a(\lambda > 1) = {\rm E}[a_\nu^2] \hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}.$
- Der AKF–Wert $\varphi_{a}(\lambda = 1)$ muss durch Mittelung bestimmt werden: $\varphi_a(\lambda = 1) = {\rm E}[a_\nu \cdot a_{\nu+1} \cdot {\rm Pr}(a_\nu \cap a_{\nu+1})] \hspace{0.05cm}.$
- Von den neun Kombinationsmöglichkeiten für $a_{\nu} \cdot a_{\nu +1}$ liefern nur vier einen von Null verschiedenen Wert. In den anderen Fällen ist entweder $a_{\nu} = 0$ oder $a_{\nu +1} = 0$.
Da beim AMI–Code aber auch
- $${\rm Pr}[(a_\nu = +1) \cap (a_{\nu+1}= +1)] = \ 0 \hspace{0.05cm},$$
- $$ {\rm Pr}[(a_\nu = -1) \cap (a_{\nu+1}= -1)] = \ 0$$
zutrifft, erhält man mit
- $${\rm Pr}[(a_\nu = +1) \cap (a_{\nu+1}= -1)] = \ {\rm Pr}(a_\nu = +1)\cdot {\rm Pr}(a_{\nu+1} = -1 | a_\nu = +1) = {1}/{4}\cdot{1}/{2} ={1}/{8} \hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}[(a_\nu = -1) \cap (a_{\nu+1}= +1)] = \ {\rm Pr}(a_\nu = -1)\cdot {\rm Pr}(a_{\nu+1} = +1 | a_\nu = -1) = {1}/{4}\cdot {1}/{2} = {1}/{8}$$
Autokorrelationsfunktionen des AMI-Codes
als Endergebnis (da die AKF stets eine gerade Funktion ist):
- $$\varphi_{a}(\lambda = +1) = \varphi_{a}(\lambda = –1) = –0.25.$$
- Hierbei ist berücksichtigt, dass nach $a_{\nu} = +1$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit $a_{\nu +1} = +1$ und $a_{\nu +1} = -1$ folgt.
- Damit lautet das Ergebnis:
- $$\varphi_a(\lambda = 0)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5} \hspace{0.05cm}, $$
- $$\varphi_a(\lambda = 1)\hspace{0.15cm}\underline {= -0.25} \hspace{0.05cm},$$
- $$\varphi_a(\lambda = 2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
Die Grafik zeigt
- die diskrete AKF $\varphi_{a}(\lambda)$ der Amplitudenkoeffizienten und
- die AKF $\varphi_{s}(\tau)$ des Sendesignals unter der Voraussetzung von NRZ–Rechteckimpulsen und AMI-Codierung.
Dabei ist die blau gezeichnete AKF $\varphi_{s}(\tau)$ das Ergebnis der (diskreten) Faltung zwischen der diskreten AKF $\varphi_{a}(\lambda)$ – rot gezeichnet – und der dreieckförmigen Energie–AKF des Sendegrundimpulses.
(7) Aus der angegebenen Gleichung erhält man unter Berücksichtigung der in (6) berechneten diskreten AKF-Werte
- $$\varphi_{a}(\lambda = 0) = 1/2,$$
- $$\varphi_{a}(|\lambda| = 1) = -1/4,$$
- $$\varphi_{a}(|\lambda| > 1) = 0$$
das folgende Ergebnis:
- $${\it \Phi}_a(f) = \ \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\varphi_a(\lambda)\cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm} 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T} = \varphi_a(\lambda = 0) + 2 \cdot \varphi_a(\lambda = 1 )\cdot\cos ( 2 \pi f \hspace{0.02cm} \lambda T) = \ {1}/{2} \cdot \left [ 1 - \cos ( 2 \pi f \hspace{0.02cm} T)\right ] = \sin^2 ( \pi f \hspace{0.02cm} T) \hspace{0.05cm}.$$
Insbesondere gilt:
- $${\it \Phi}_a(f = 0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0},$$
- $${\it \Phi}_a(f = {1}/({2T})) = \sin^2 ({\pi}/{2})\hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
