Aufgaben:Aufgabe 5.3Z: Analyse des BSC-Modells: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Wir betrachten zwei | + | Wir betrachten zwei unterschiedliche BSC–Modelle mit den folgenden Parametern: |
* Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$, | * Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$, | ||
* Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$. | * Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$. | ||
| − | Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt. | + | Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt. |
| − | Die beiden Modelle sollen anhand | + | Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand |
* der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten | * der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten | ||
:$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$ | :$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$ | ||
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:$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$$ | :$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$$ | ||
* der Fehlerkorrelationsfunktion | * der Fehlerkorrelationsfunktion | ||
| − | :$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} | + | :$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm |
| − | E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] | + | E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] \ \ = \ \ |
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p^2 \end{array} \right.\quad | p^2 \end{array} \right.\quad | ||
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\\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$ | \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$ | ||
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| + | *Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge $N = 1000$ genau $22$ Einsen enthält. | ||
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===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | { | + | {Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ des BSC–Modells zurückgeschlossen werden? |
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| − | + | + | + FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$, |
| − | - | + | + FKF–Wert $\varphi_e(k = 10)$, |
| + | - FAV–Wert $V_a(k = 1)$, | ||
| + | + FAV–Wert $V_a(k = 2)$, | ||
| + | + FAV–Wert $V_a(k = 10)$. | ||
| − | { | + | {Von welchem Modell stammt die angegebene Fehlerfolge? |
| + | |type="()"} | ||
| + | - Modell $M_1$, | ||
| + | + Modell $M_2$. | ||
| + | |||
| + | {Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell $M_1$? | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $ | + | ${\rm E}\big[a\big] \ = \ ${ 10 3% } |
| + | |||
| + | {Wie groß sind für das Modell $M_1$ die folgenden Wahrscheinlichkeiten? | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | ${\rm Pr}(a = 1) \ = \ ${ 0.1 3% } | ||
| + | ${\rm Pr}(a = 2) \ = \ ${ 0.09 3% } | ||
| + | ${\rm Pr}(a = {\rm E}\big[a\big]) \ = \ ${ 0.0387 3% } | ||
| + | |||
| + | {Berechnen Sie für das Modell $M_1$ folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung: | ||
| + | |type="{}"} | ||
| + | $V_a(k = 2) \ = \ ${ 0.9 3% } | ||
| + | $V_a(k = 10) \ = \ ${ 0.3874 3% } | ||
| + | $V_a(k = 11) \ = \ ${ 0.3487 3% } | ||
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''(1)''' | + | '''(1)''' Beim BSC–Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$. |
| − | '''(2)''' | + | *Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten |
| − | '''(3)''' | + | :$$\varphi_{e}(k) = |
| − | '''(4)''' | + | \left\{ \begin{array}{c} p \\ |
| − | '''(5)''' | + | p^2 \end{array} \right.\quad |
| + | \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, | ||
| + | \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array} | ||
| + | \hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | *$p$ lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV–Wert ist unabhängig von $p$ gleich $(1–p)^0 = 1$. | ||
| + | *Zutreffend sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5</u>. | ||
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| + | '''(2)''' Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$. | ||
| + | *Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$ ⇒ $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde. | ||
| + | *Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise ⇒ <u>Vorschlag 2</u>. | ||
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| + | '''(3)''' Der mittlere Fehlerabstand – also der Erwartungswert der Zufallsgröße $a$ – ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit ⇒ ${\rm E}\big[a\big] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$. | ||
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| + | '''(4)''' Entsprechend der Gleichung ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$ erhält man: | ||
| + | :$${\rm Pr}(a = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= | ||
| + | 0.1}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$${\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1 | ||
| + | \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | ||
| + | {\rm Pr}(a = 10)= 0.9^9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(5)''' Aus der Beziehung $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$ erhält man | ||
| + | :$$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} | ||
| + | \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = | ||
| + | 1) - V_a(k = 2) | ||
| + | = 0.1\hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | :$$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 | ||
| + | \hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} | ||
| + | \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}.$$ | ||
| + | Zur Kontrolle im Vergleich zur Teilaufgabe (4): | ||
| + | :$${\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k = | ||
| + | 11) = 0.3874 - 0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 25. März 2019, 15:23 Uhr
Gegebene Fehlerfolge
Wir betrachten zwei unterschiedliche BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:
- Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$,
- Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$.
Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.
Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand
- der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$
- der Fehlerabstandsverteilung
- $$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$$
- der Fehlerkorrelationsfunktion
- $$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] \ \ = \ \ \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Binary Symmetric Channel (BSC).
- Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge $N = 1000$ genau $22$ Einsen enthält.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Beim BSC–Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$.
- Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten
- $$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array} \hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$
- $p$ lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV–Wert ist unabhängig von $p$ gleich $(1–p)^0 = 1$.
- Zutreffend sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5.
(2) Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$.
- Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$ ⇒ $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde.
- Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise ⇒ Vorschlag 2.
(3) Der mittlere Fehlerabstand – also der Erwartungswert der Zufallsgröße $a$ – ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit ⇒ ${\rm E}\big[a\big] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$.
(4) Entsprechend der Gleichung ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$ erhält man:
- $${\rm Pr}(a = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(a = 10)= 0.9^9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Aus der Beziehung $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$ erhält man
- $$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = 1) - V_a(k = 2) = 0.1\hspace{0.05cm},$$
- $$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 \hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}.$$
Zur Kontrolle im Vergleich zur Teilaufgabe (4):
- $${\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k = 11) = 0.3874 - 0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$
