Aufgaben:Aufgabe 5.3Z: Analyse des BSC-Modells: Unterschied zwischen den Versionen
(11 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 3: | Zeile 3: | ||
[[Datei:P_ID1832__Dig_Z_5_3.png|right|frame|Gegebene Fehlerfolge]] | [[Datei:P_ID1832__Dig_Z_5_3.png|right|frame|Gegebene Fehlerfolge]] | ||
− | Wir betrachten zwei | + | Wir betrachten zwei unterschiedliche BSC–Modelle mit den folgenden Parametern: |
* Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$, | * Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$, | ||
* Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$. | * Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$. | ||
− | Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt. | + | Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt. |
− | Die beiden Modelle sollen anhand | + | Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand |
* der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten | * der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten | ||
:$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$ | :$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$ | ||
Zeile 17: | Zeile 17: | ||
* der Fehlerkorrelationsfunktion | * der Fehlerkorrelationsfunktion | ||
:$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm | :$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm | ||
− | E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] | + | E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] \ \ = \ \ |
− | |||
\left\{ \begin{array}{c} p \\ | \left\{ \begin{array}{c} p \\ | ||
p^2 \end{array} \right.\quad | p^2 \end{array} \right.\quad | ||
Zeile 24: | Zeile 23: | ||
\\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$ | \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$ | ||
− | |||
− | '' | + | |
− | * Die Aufgabe gehört zum | + | |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Hinweise:'' | ||
+ | * Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]]. | ||
+ | *Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge $N = 1000$ genau $22$ Einsen enthält. | ||
+ | |||
Zeile 33: | Zeile 38: | ||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ des BSC–Modells zurückgeschlossen werden? | + | {Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ des BSC–Modells zurückgeschlossen werden? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
− | + FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$, | + | + FKF–Wert $\varphi_e(k = 0)$, |
− | + FKF–Wert $\varphi_e(k = 10)$, | + | + FKF–Wert $\varphi_e(k = 10)$, |
− | - FAV–Wert $V_a(k = 1)$, | + | - FAV–Wert $V_a(k = 1)$, |
− | + FAV–Wert $V_a(k = 2)$, | + | + FAV–Wert $V_a(k = 2)$, |
− | + FAV–Wert $V_a(k = 10)$. | + | + FAV–Wert $V_a(k = 10)$. |
− | {Von welchem | + | {Von welchem Modell stammt die angegebene Fehlerfolge? |
− | |type=" | + | |type="()"} |
- Modell $M_1$, | - Modell $M_1$, | ||
+ Modell $M_2$. | + Modell $M_2$. | ||
− | {Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell $M_1$? | + | {Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell $M_1$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | ${\rm E}\big[a\big] \ = \ ${ 10 3% } |
− | {Wie groß sind für das Modell $M_1$ die folgenden Wahrscheinlichkeiten? | + | {Wie groß sind für das Modell $M_1$ die folgenden Wahrscheinlichkeiten? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | ${\rm Pr}(a = 1) \ = \ ${ 0.1 3% } |
− | $ | + | ${\rm Pr}(a = 2) \ = \ ${ 0.09 3% } |
− | $ | + | ${\rm Pr}(a = {\rm E}\big[a\big]) \ = \ ${ 0.0387 3% } |
− | {Berechnen Sie für das Modell $M_1$ folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung: | + | {Berechnen Sie für das Modell $M_1$ folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung: |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
− | $ | + | $V_a(k = 2) \ = \ ${ 0.9 3% } |
− | $ | + | $V_a(k = 10) \ = \ ${ 0.3874 3% } |
− | $ | + | $V_a(k = 11) \ = \ ${ 0.3487 3% } |
</quiz> | </quiz> | ||
===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''(1)''' Beim BSC–Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$. Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten | + | '''(1)''' Beim BSC–Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$. |
+ | *Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten | ||
:$$\varphi_{e}(k) = | :$$\varphi_{e}(k) = | ||
\left\{ \begin{array}{c} p \\ | \left\{ \begin{array}{c} p \\ | ||
Zeile 73: | Zeile 79: | ||
\hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | $p$ lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV–Wert ist unabhängig von $p$ gleich $(1–p)^0 = 1$. Zutreffend sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5</u>. | + | *$p$ lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV–Wert ist unabhängig von $p$ gleich $(1–p)^0 = 1$. |
+ | *Zutreffend sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5</u>. | ||
− | |||
+ | '''(2)''' Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$. | ||
+ | *Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$ ⇒ $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde. | ||
+ | *Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise ⇒ <u>Vorschlag 2</u>. | ||
− | |||
− | '''(4)''' Entsprechend der Gleichung ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$ erhält man: | + | '''(3)''' Der mittlere Fehlerabstand – also der Erwartungswert der Zufallsgröße $a$ – ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit ⇒ ${\rm E}\big[a\big] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$. |
− | :$${\rm Pr}(a = 1) \hspace{ | + | |
− | 0.1\hspace{0.05cm}, | + | |
+ | |||
+ | '''(4)''' Entsprechend der Gleichung ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$ erhält man: | ||
+ | :$${\rm Pr}(a = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= | ||
+ | 0.1}\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | :$${\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1 | ||
\hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$ | \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | :$${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | ||
Zeile 90: | Zeile 103: | ||
− | '''(5)''' Aus der Beziehung $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$ erhält man | + | |
+ | '''(5)''' Aus der Beziehung $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$ erhält man | ||
:$$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} | :$$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} | ||
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = | \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = | ||
Zeile 97: | Zeile 111: | ||
:$$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 | :$$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 | ||
\hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} | \hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} | ||
− | \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}$$ | + | \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}.$$ |
− | :$$ | + | Zur Kontrolle im Vergleich zur Teilaufgabe (4): |
− | 11) = 0.3874-0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$ | + | :$${\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k = |
+ | 11) = 0.3874 - 0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
Aktuelle Version vom 25. März 2019, 15:23 Uhr
Wir betrachten zwei unterschiedliche BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:
- Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$,
- Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$.
Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.
Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand
- der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$
- der Fehlerabstandsverteilung
- $$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$$
- der Fehlerkorrelationsfunktion
- $$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] \ \ = \ \ \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Binary Symmetric Channel (BSC).
- Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge $N = 1000$ genau $22$ Einsen enthält.
Fragebogen
Musterlösung
- Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten
- $$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array} \hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$
- $p$ lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV–Wert ist unabhängig von $p$ gleich $(1–p)^0 = 1$.
- Zutreffend sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5.
(2) Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$.
- Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$ ⇒ $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde.
- Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise ⇒ Vorschlag 2.
(3) Der mittlere Fehlerabstand – also der Erwartungswert der Zufallsgröße $a$ – ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit ⇒ ${\rm E}\big[a\big] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$.
(4) Entsprechend der Gleichung ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$ erhält man:
- $${\rm Pr}(a = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(a = 10)= 0.9^9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Aus der Beziehung $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$ erhält man
- $$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = 1) - V_a(k = 2) = 0.1\hspace{0.05cm},$$
- $$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 \hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}.$$
Zur Kontrolle im Vergleich zur Teilaufgabe (4):
- $${\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k = 11) = 0.3874 - 0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$