Aufgaben:Aufgabe 5.3Z: Analyse des BSC-Modells: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten zwei verschiedene BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:
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Wir betrachten zwei unterschiedliche BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:
 
* Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$,
 
* Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$,
 
* Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$.
 
* Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$.
  
  
Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.
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Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge  $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.
  
Die beiden Modelle sollen anhand  
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Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand  
 
* der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
 
* der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
 
:$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$
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* der Fehlerkorrelationsfunktion
 
* der Fehlerkorrelationsfunktion
 
:$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {\rm
 
:$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {\rm
E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}] =$$
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E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] \ \ = \ \
:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}
 
 
  \left\{ \begin{array}{c} p \\
 
  \left\{ \begin{array}{c} p \\
 
  p^2 \end{array} \right.\quad
 
  p^2 \end{array} \right.\quad
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\\  f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
 
\\  f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
  
analysiert werden.
 
  
''Hinweis:''
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* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]].
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Binary_Symmetric_Channel_(BSC)| Binary Symmetric Channel (BSC)]].
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*Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge  $N = 1000$  genau  $22$  Einsen enthält.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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{Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ des BSC&ndash;Modells zurückgeschlossen werden?
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{Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm M}$&nbsp; des BSC&ndash;Modells zurückgeschlossen werden?
 
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+ FAV&ndash;Wert&nbsp; $V_a(k = 2)$,
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{Von welchem Model stammt die angegebene Fehlerfolge?
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{Von welchem Modell stammt die angegebene Fehlerfolge?
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- Modell $M_1$,
 
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+ Modell $M_2$.
  
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{Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell&nbsp; $M_1$?
 
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{Berechnen Sie für das Modell&nbsp; $M_1$&nbsp; folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung:
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''(1)'''&nbsp; Beim BSC&ndash;Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$. Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten
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'''(1)'''&nbsp; Beim BSC&ndash;Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$.  
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*Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten
 
:$$\varphi_{e}(k) =
 
:$$\varphi_{e}(k) =
 
  \left\{ \begin{array}{c} p \\
 
  \left\{ \begin{array}{c} p \\
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\hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$
 
\hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$
  
$p$ lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV&ndash;Wert ist unabhängig von $p$ gleich $(1&ndash;p)^0 = 1$. Zutreffend sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5</u>.
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*$p$&nbsp; lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV&ndash;Wert ist unabhängig von&nbsp; $p$&nbsp; gleich &nbsp;$(1&ndash;p)^0 = 1$.  
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*Zutreffend sind somit die <u>Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5</u>.
  
  
'''(2)'''&nbsp; Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$. Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde. Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Vorschlag 2</u>.
 
  
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'''(2)'''&nbsp; Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$.
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*Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$ &nbsp;&#8658;&nbsp; $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde.
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*Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Vorschlag 2</u>.
  
'''(3)'''&nbsp; Der mittlere Fehlerabstand &ndash; also der Erwartungswert der Zufallsgröße $a$ &ndash; ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit &#8658; $E[a] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$.
 
  
  
'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Gleichung ${\rm Pr}(a = k) = (1&ndash;p)^{k&ndash;1} \cdot p$ erhält man:
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'''(3)'''&nbsp; Der mittlere Fehlerabstand &ndash; also der Erwartungswert der Zufallsgröße&nbsp; $a$ &ndash; ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit &#8658; ${\rm E}\big[a\big] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$.
:$${\rm Pr}(a = 1) \hspace{-0.1cm} &\hspace{0.15cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}
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0.1\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1
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'''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Gleichung&nbsp; ${\rm Pr}(a = k) = (1&ndash;p)^{k&ndash;1} \cdot p$&nbsp; erhält man:
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:$${\rm Pr}(a = 1) \hspace{0.15cm}\underline {=
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0.1}\hspace{0.05cm},$$
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:$${\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1
 
\hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$
 
\hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}
 
:$${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}
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'''(5)'''&nbsp; Aus der Beziehung $V_a(k) = (1&ndash;p)^{k&ndash;1}$ erhält man
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'''(5)'''&nbsp; Aus der Beziehung&nbsp; $V_a(k) = (1&ndash;p)^{k&ndash;1}$&nbsp; erhält man
 
:$$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm}
 
:$$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm}
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k =
 
\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k =
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:$$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9   
 
:$$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9   
 
\hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10}   
 
\hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10}   
\hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}$$
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\hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}.$$
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k =
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Zur Kontrolle im Vergleich zur Teilaufgabe (4):
11) = 0.3874-0.3487  {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$
+
:$${\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k =
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11) = 0.3874 - 0.3487  {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$
 
{{ML-Fuß}}
 
{{ML-Fuß}}
  

Aktuelle Version vom 25. März 2019, 15:23 Uhr

Gegebene Fehlerfolge

Wir betrachten zwei unterschiedliche BSC–Modelle mit den folgenden Parametern:

  • Modell $M_1 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.01$,
  • Modell $M_2 \text{:} \hspace{0.4cm} p = 0.02$.


Die Grafik zeigt eine Fehlerfolge der Länge  $N = 1000$, wobei allerdings nicht bekannt ist, von welchem der beiden Modelle diese Folge stammt.

Die beiden Modelle sollen analysiert werden anhand

  • der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
$${\rm Pr}(a = k) = (1-p)^{k-1}\cdot p \hspace{0.05cm},$$
  • der Fehlerabstandsverteilung
$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm},$$
  • der Fehlerkorrelationsfunktion
$$\varphi_{e}(k) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big] \ \ = \ \ \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$




Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Binary Symmetric Channel (BSC).
  • Durch Abzählen würde man erkennen, dass die Fehlerfolge der Länge  $N = 1000$  genau  $22$  Einsen enthält.



Fragebogen

1

Aus welchen Kenngrößen kann auf die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M}$  des BSC–Modells zurückgeschlossen werden?

FKF–Wert  $\varphi_e(k = 0)$,
FKF–Wert  $\varphi_e(k = 10)$,
FAV–Wert  $V_a(k = 1)$,
FAV–Wert  $V_a(k = 2)$,
FAV–Wert  $V_a(k = 10)$.

2

Von welchem Modell stammt die angegebene Fehlerfolge?

Modell $M_1$,
Modell $M_2$.

3

Wie groß ist der mittlere Fehlerabstand von Modell  $M_1$?

${\rm E}\big[a\big] \ = \ $

4

Wie groß sind für das Modell  $M_1$  die folgenden Wahrscheinlichkeiten?

${\rm Pr}(a = 1) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 2) \ = \ $

${\rm Pr}(a = {\rm E}\big[a\big]) \ = \ $

5

Berechnen Sie für das Modell  $M_1$  folgende Werte der Fehlerabstandsverteilung:

$V_a(k = 2) \ = \ $

$V_a(k = 10) \ = \ $

$V_a(k = 11) \ = \ $


Musterlösung

(1)  Beim BSC–Modell ist die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm M}$ stets gleich der charakteristischen Wahrscheinlichkeit $p$.

  • Für die Fehlerkorrelationsfunktion und die Fehlerabstandsverteilung gelten
$$\varphi_{e}(k) = \left\{ \begin{array}{c} p \\ p^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm}k = 0 \hspace{0.05cm}, \\ f{\rm \ddot{u}r }\hspace{0.15cm} k \ne 0 \hspace{0.05cm},\\ \end{array} \hspace{0.4cm}V_a(k) = (1-p)^{k-1}\hspace{0.05cm}.$$
  • $p$  lässt sich aus allen angegebenen Kenngrößen ermitteln, nur nicht aus $V_a(k = 1)$. Dieser FAV–Wert ist unabhängig von  $p$  gleich  $(1–p)^0 = 1$.
  • Zutreffend sind somit die Lösungsvorschläge 1, 2, 4 und 5.


(2)  Die relative Fehlerhäufigkeit der angegebenen Folge ist gleich $h_{\rm F} = 22/1000 \approx 0.022$.

  • Es ist ganz offensichtlich, dass die Fehlerfolge vom Modell $M_2$  ⇒  $p_{\rm M} = 0.02$ generiert wurde.
  • Aufgrund der kurzen Folge stimmt $h_{\rm F}$ mit $p_{\rm M}$ zwar nicht exakt überein, aber zumindest näherungsweise  ⇒  Vorschlag 2.


(3)  Der mittlere Fehlerabstand – also der Erwartungswert der Zufallsgröße  $a$ – ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit ⇒ ${\rm E}\big[a\big] = 1/0.1 \ \underline {= 10}$.


(4)  Entsprechend der Gleichung  ${\rm Pr}(a = k) = (1–p)^{k–1} \cdot p$  erhält man:

$${\rm Pr}(a = 1) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(a = 2) = 0.9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.09}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(a = {\rm E}[a]) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(a = 10)= 0.9^9 \cdot 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Aus der Beziehung  $V_a(k) = (1–p)^{k–1}$  erhält man

$$V_a(k = 2) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.9 } \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(a = 1) = V_a(k = 1) - V_a(k = 2) = 0.1\hspace{0.05cm},$$
$$V_a(k = 10)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.9^9 \hspace{0.15cm}\underline {=0.3874}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}V_a(k = 11)= 0.9^{10} \hspace{0.15cm}\underline {=0.3487}.$$

Zur Kontrolle im Vergleich zur Teilaufgabe (4):

$${\rm Pr}(a = 10) = V_a(k = 10) - V_a(k = 11) = 0.3874 - 0.3487 {= 0.0387}\hspace{0.05cm}.$$