Aufgaben:Aufgabe 1.12: Hard Decision vs. Soft Decision: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:P_ID2408__KC_A_1_12.png|right|frame|Blockfehlerrate des&nbsp; $\rm HC(7, \, 4, \, 3)$&nbsp; bei <br>&bdquo;Hard Decision&rdquo; und &bdquo;Soft Decision&rdquo;]]
  
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Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den&nbsp; [[Kanalcodierung/Allgemeine_Beschreibung_linearer_Blockcodes#Einige_Eigenschaften_des_.287.2C_4.2C_3.29.E2.80.93Hamming.E2.80.93Codes"|$(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code"]],&nbsp; wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:
  
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*Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen&nbsp; $($&bdquo;Hard Decision&rdquo;, &nbsp;$\rm HD)$,&nbsp; die im vorliegenden Fall (perfekter Code)&nbsp; auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann,&nbsp; ergibt sich die rote Kurve&nbsp; (mit Kreismarkierung).
  
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*Der Kanal kann bei &bdquo;Hard Decision&rdquo; vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden.&nbsp; Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; und dem AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$&nbsp; (in der Grafik verwendet)&nbsp; ist wie folgt gegeben:
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:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
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:Hier bezeichnet&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; die&nbsp; "komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"&nbsp; und&nbsp; $R$&nbsp; die Coderate.
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*Die grüne Kurve&nbsp; (mit Kreuzen markiert)&nbsp; zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei „weichen” Entscheidungen&nbsp; $($&bdquo;Soft Decision&rdquo;, &nbsp;$\rm SD)$.&nbsp; Dieser Funktionsverlauf lässt sich nicht in geschlossen–mathematischer Form angeben.&nbsp; Die in der Grafik eingezeichnete Kurve ist eine in [Fri96] angegebene obere Schranke:
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:$$ {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ \le \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 3 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right )+7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 4 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) + {\rm Q}\left ( \sqrt{ 7 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
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:*Der jeweils erste Faktor im Argument der&nbsp; $\rm Q$–Funktion gibt die möglichen Hamming–Distanzen an: &nbsp; $i = 3, \, 4, \, 7$.
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:*Die Vorfaktoren berücksichtigen die&nbsp; "Vielfachheiten"&nbsp; $W_{3} = W_{4} = 7$&nbsp; und&nbsp; $W_{7} = 1$. &nbsp;
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:*$R = 4/7$&nbsp; beschreibt die Coderate.
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:*Für&nbsp; $10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} > 8  \ \rm dB$&nbsp; ist&nbsp; $\rm Pr(Blockfehler) < 10^{–5}$.
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Hinweise:
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* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Decodierung_linearer_Blockcodes|"Decodierung linearer Blockcodes"]].
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* Die oben zitierte Literaturstelle&nbsp; [Fri96]&nbsp; verweist auf das Buch <br>&bdquo;Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996&rdquo;.
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* Verwenden Sie für numerische Ergebnisse unser Berechnungsmodul&nbsp;  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]].
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*Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis&nbsp; '''(4)'''&nbsp; wird stets von  &bdquo;Hard Decision&rdquo; ausgegangen.
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===Fragebogen===
 
  
<quiz display=simple>
 
{Multiple-Choice Frage
 
|type="[]"}
 
- Falsch
 
+ Richtig
 
  
  
{Input-Box Frage
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===Fragebogen===
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<quiz display=simple>
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{Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt der&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code bei &bdquo;Hard Decision&rdquo;?
 
|type="{}"}
 
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }
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$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 2.03 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
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$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $ { 0.021 3% } $\ \cdot 10^{-3} $
  
 +
{Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern,&nbsp; &bdquo;Hard Decision&rdquo;  vorausgesetzt?
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|type="()"}
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+ ${\rm Pr(Blockfehler)} = n · (n–1)/2 · \varepsilon^2.$
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- ${\rm Pr(Blockfehler)} = n ·  \varepsilon^2.$
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- ${\rm Pr(Blockfehler)} = n  · \varepsilon^n.$
  
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{Welcher der aufgelisteten Hamming–Codes besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$?
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|type="()"}
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+ Der Hamming–Code&nbsp; $(3, \, 1, \, 3)$,&nbsp; identisch mit dem &bdquo;Repetition Code&rdquo;&nbsp; $\rm RC \ (3, \, 1, \, 3)$,
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- der Hamming–Code&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$,
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- der Hamming–Code&nbsp; $(15, \, 11, \, 3)$.
  
 +
{Welcher numerische Zusammenhang besteht zwischen dem BSC–Parameter&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; und dem AWGN–Quotienten&nbsp; $E_{\rm B}/N_{0}$?
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|type="{}"}
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$\varepsilon = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 6.77 3% } $\ \rm dB$
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$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $ { 9.22 3% } $\ \rm dB$
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 +
{Welcher Gewinn&nbsp; (in dB)&nbsp; ist durch &bdquo;Soft Decision&rdquo; zu erzielen,&nbsp; wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert&nbsp; $10^{–5}$&nbsp; nicht überschreiten soll?
 +
|type="{}"}
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$\ 10 · \lg \, {G_{\rm SD}} \ = \ $ { 1.52 3% } $ \ \rm dB$
 
</quiz>
 
</quiz>
  
 
===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
{{ML-Kopf}}
 
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
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'''(1)'''&nbsp; Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist die minimale Distanz&nbsp; $d_{\rm min} = 3$&nbsp; auf.
'''2.'''
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*Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden,&nbsp; während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen  &nbsp; ⇒  &nbsp; Parameter $t = 1$.
'''3.'''
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'''4.'''
+
*Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
'''5.'''
+
 
'''6.'''
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:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr(kein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} - {\rm Pr(ein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^7 - 7 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^6 \hspace{0.05cm}.$$
'''7.'''
+
:$$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm}{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.99^7 - 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6= 1 - 0.932065 - 0.065904\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.03 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
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:$$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.999^7 - 7 \cdot 0.001 \cdot 0.999^6= 1 - 0.993021 - 0.006958\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.0209 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(2)'''&nbsp; Ein jeder&nbsp; $(n, \, k, \, 3)$&ndash;Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren.&nbsp; Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge&nbsp; $n$:
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:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)}  = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$
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*Nach Reihenentwicklung von &nbsp; "$(1 - \varepsilon)^n$" &nbsp;  bzw. von &nbsp; "$n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$" &nbsp; erhält man hieraus:
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:$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
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*Bei Vernachlässigung aller Terme mit&nbsp; $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$&nbsp; ergibt sich schließlich:
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:$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$
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Richtig ist somit der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
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Für den&nbsp; $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:
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:$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.03 \cdot 10^{-3}\\ 2.09 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
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*Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.
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*Diese ist um so besser,&nbsp; je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; ist.
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'''(3)'''&nbsp; Die Ergebnisse der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; lassen sich wie folgt zusammenfassen:
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:$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
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*Richtig ist die&nbsp; <u>Antwort 1</u>.
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*Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate&nbsp; $R = 1/3$,&nbsp; also mit der größten relativen Redundanz.
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'''(4)'''&nbsp;  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion&nbsp; ${\rm Q}(x)$:
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:$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}\hspace{0.3cm}
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\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$
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*Daraus erhält man mit&nbsp; $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:
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:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2.33) - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (8/7) = 7.35\,{\rm dB} - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
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* In analoger Weise ergibt sich für&nbsp; $\varepsilon = 0.001 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 3.09$:
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:$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(3.09) - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 9.22\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
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'''(5)'''&nbsp; Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $10^{–5}$.
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*Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als
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:$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
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*Mit "Soft Decision" genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.
 
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Aktuelle Version vom 20. Juli 2022, 15:12 Uhr

Blockfehlerrate des  $\rm HC(7, \, 4, \, 3)$  bei
„Hard Decision” und „Soft Decision”

Die Abbildung zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit für den  $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code",  wobei für den Empfänger zwei Varianten berücksichtigt sind:

  • Bei Maximum–Likelihood–Detektion mit harten Entscheidungen  $($„Hard Decision”,  $\rm HD)$,  die im vorliegenden Fall (perfekter Code)  auch durch Syndromdecodierung realisiert werden kann,  ergibt sich die rote Kurve  (mit Kreismarkierung).
  • Der Kanal kann bei „Hard Decision” vereinfacht durch das BSC–Modell ersetzt werden.  Der Zusammenhang zwischen dem BSC–Parameter  $\varepsilon$  und dem AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$  (in der Grafik verwendet)  ist wie folgt gegeben:
$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
Hier bezeichnet  ${\rm Q}(x)$  die  "komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"  und  $R$  die Coderate.
  • Die grüne Kurve  (mit Kreuzen markiert)  zeigt die Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei „weichen” Entscheidungen  $($„Soft Decision”,  $\rm SD)$.  Dieser Funktionsverlauf lässt sich nicht in geschlossen–mathematischer Form angeben.  Die in der Grafik eingezeichnete Kurve ist eine in [Fri96] angegebene obere Schranke:
$$ {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ \le \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 3 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right )+7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{ 4 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) + {\rm Q}\left ( \sqrt{ 7 \cdot \frac{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
  • Der jeweils erste Faktor im Argument der  $\rm Q$–Funktion gibt die möglichen Hamming–Distanzen an:   $i = 3, \, 4, \, 7$.
  • Die Vorfaktoren berücksichtigen die  "Vielfachheiten"  $W_{3} = W_{4} = 7$  und  $W_{7} = 1$.  
  • $R = 4/7$  beschreibt die Coderate.
  • Für  $10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} > 8 \ \rm dB$  ist  $\rm Pr(Blockfehler) < 10^{–5}$.



Hinweise:

  • Die oben zitierte Literaturstelle  [Fri96]  verweist auf das Buch
    „Friedrichs, B.: Kanalcodierung – Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Berlin – Heidelberg: Springer, 1996”.
  • Für die Teilaufgaben  (1)  bis  (4)  wird stets von „Hard Decision” ausgegangen.



Fragebogen

1

Welche Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt der  $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code bei „Hard Decision”?

$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3} $
$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-3} $

2

Wie kann man die Blockfehlerwahrscheinlichkeit eines Hamming–Codes annähern,  „Hard Decision” vorausgesetzt?

${\rm Pr(Blockfehler)} = n · (n–1)/2 · \varepsilon^2.$
${\rm Pr(Blockfehler)} = n · \varepsilon^2.$
${\rm Pr(Blockfehler)} = n · \varepsilon^n.$

3

Welcher der aufgelisteten Hamming–Codes besitzt die kleinste Blockfehlerwahrscheinlichkeit bei konstantem BSC–Parameter  $\varepsilon$?

Der Hamming–Code  $(3, \, 1, \, 3)$,  identisch mit dem „Repetition Code”  $\rm RC \ (3, \, 1, \, 3)$,
der Hamming–Code  $(7, \, 4, \, 3)$,
der Hamming–Code  $(15, \, 11, \, 3)$.

4

Welcher numerische Zusammenhang besteht zwischen dem BSC–Parameter  $\varepsilon$  und dem AWGN–Quotienten  $E_{\rm B}/N_{0}$?

$\varepsilon = 10^{-2}\text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $

$\ \rm dB$
$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} 10 · \lg {E_{\rm B}/N_0} \ = \ $

$\ \rm dB$

5

Welcher Gewinn  (in dB)  ist durch „Soft Decision” zu erzielen,  wenn die Blockfehlerwahrscheinlichkeit den Wert  $10^{–5}$  nicht überschreiten soll?

$\ 10 · \lg \, {G_{\rm SD}} \ = \ $

$ \ \rm dB$


Musterlösung

(1)  Jeder Hamming–Code ist perfekt und weist die minimale Distanz  $d_{\rm min} = 3$  auf.

  • Deshalb kann ein Bitfehler im Codewort korrigiert werden,  während zwei Bitfehler stets zu einer Fehlentscheidung des Codewortes führen   ⇒   Parameter $t = 1$.
  • Damit ergibt sich für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit:
$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - {\rm Pr(kein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} - {\rm Pr(ein\hspace{0.15cm} Blockfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^7 - 7 \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^6 \hspace{0.05cm}.$$
$$\varepsilon = 10^{-2} \text{:} \hspace{0.4cm}{\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.99^7 - 7 \cdot 0.01 \cdot 0.99^6= 1 - 0.932065 - 0.065904\hspace{0.15cm}\underline{\approx 2.03 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm},$$
$$\varepsilon = 10^{-3} \text{:} \hspace{0.4cm} {\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 1 - 0.999^7 - 7 \cdot 0.001 \cdot 0.999^6= 1 - 0.993021 - 0.006958\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.0209 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$


(2)  Ein jeder  $(n, \, k, \, 3)$–Hamming–Code kann nur einen Bitfehler korrigieren.  Für den BSC–Kanal gilt somit allgemein mit der Codewortlänge  $n$:

$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \text{Pr(kein Bitfehler)} - \text{Pr(ein Bitfehler)} = 1 - (1 - \varepsilon)^n - n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}.$$
  • Nach Reihenentwicklung von   "$(1 - \varepsilon)^n$"   bzw. von   "$n \cdot \varepsilon \cdot (1 - \varepsilon)^{n-1}$"   erhält man hieraus:
$${\rm Pr(Blockfehler)} = 1 - \left [ 1 - {n \choose 1}\cdot \varepsilon + {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm} \right ] -\left [ n \cdot \varepsilon \cdot \left ( 1 - {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + {{n-1} \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.05cm}\right ) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
  • Bei Vernachlässigung aller Terme mit  $\varepsilon^3, \ \varepsilon^4, \ \text{...}$  ergibt sich schließlich:
$${\rm Pr(Blockfehler)} \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} n \cdot \varepsilon - {n \choose 2}\cdot \varepsilon^2 - n \cdot \varepsilon + n \cdot \varepsilon {{n-1} \choose 1}\cdot \varepsilon + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm} = -n/2 \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 + n \cdot (n-1)\cdot \varepsilon^2 = n \cdot (n-1)/2 \cdot \varepsilon^2 \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der  Lösungsvorschlag 1.

Für den  $(7, \, 4, \, 3)$–Hamming–Code folgt daraus:

$${\rm Pr(Blockfehler)} \le \left\{ \begin{array}{c} 2.03 \cdot 10^{-3}\\ 2.09 \cdot 10^{-5} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-2} \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} \varepsilon = 10^{-3} \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
  • Durch Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (1)  erkennt man die Gültigkeit dieser Näherung.
  • Diese ist um so besser,  je kleiner die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit  $\varepsilon$  ist.


(3)  Die Ergebnisse der Teilaufgabe  (2)  lassen sich wie folgt zusammenfassen:

$${\rm Pr(Blockfehler)} = \left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot \varepsilon^2 \\ 21 \cdot \varepsilon^2\\ 105 \cdot \varepsilon^2\\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}l} {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 3 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 7 \\ {\rm f\ddot{u}r}\hspace{0.15cm} n = 15 \\ \end{array} \hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig ist die  Antwort 1.
  • Die geringste Blockfehlerwahrscheinlichkeit besitzt natürlich der Hamming–Code mit der geringsten Rate  $R = 1/3$,  also mit der größten relativen Redundanz.


(4)  Bei Hard Decision gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  ${\rm Q}(x)$:

$$\varepsilon = {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot R \cdot E_{\rm B}/N_0} \right )\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} E_{\rm B}/N_0 = \frac{[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)]^2}{2R}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}[{\rm Q}^{-1}(\varepsilon)] - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (2R) \hspace{0.05cm}.$$
  • Daraus erhält man mit  $\varepsilon = 0.01 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 2.33$:
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2.33) - 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (8/7) = 7.35\,{\rm dB} - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 6.77\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$
  • In analoger Weise ergibt sich für  $\varepsilon = 0.001 \ ⇒ \ {\rm Q}^{–1}(\varepsilon) = 3.09$:
$$10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 20 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(3.09) - 0.58\,{\rm dB}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 9.22\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$


(5)  Wir beziehen uns hier auf die Blockfehlerwahrscheinlichkeit  $10^{–5}$.

  • Nach dem Ergebnis der Teilaufgabe  (2)  darf dann die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit nicht größer sein als
$$\varepsilon = \sqrt{{10^{-5}}/{21}} = 6.9 \cdot 10^{-4} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Q}^{-1}(\varepsilon) = 3.2 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} E_{\rm B}/N_0 = 9.52\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
  • Mit "Soft Decision" genügen laut Angabe $8 \ {\rm dB} \ ⇒ \ 10 · \lg {G_{\rm SD}} \ \underline{= 1.52 \ {\rm dB}}$.