Aufgaben:Aufgabe 3.5: GMSK–Modulation: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist | + | Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist ''Gaussian Minimum Shift Keying'', kurz $\rm GMSK$. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Art von $\rm FSK$ (''Frequency Shift Keying'') mit $\rm CP–FSK$ (''kontinuierliche Phasenanpassung''), bei der |
| − | *der Modulationsindex den kleinsten Wert besitzt, der die Orthogonalitätsbedingung gerade noch erfüllt: $h = 0.5 | + | *der Modulationsindex den kleinsten Wert besitzt, der die Orthogonalitätsbedingung gerade noch erfüllt: $h = 0.5$ ⇒ ''Minimum Shift Keying'' $\rm (MSK)$, |
| − | *ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator, | + | *ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht wird, mit dem Ziel, um so noch weiter Bandbreite einzusparen. |
Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt: | Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt: | ||
| − | Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu} ∈ \{±1\}$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird. | + | *Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu} ∈ \{±1\}$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe '''(3)''' vorausgesetzt wird. |
| − | Der Rechteckimpuls | + | *Der symmetrische Rechteckimpuls mit Dauer $T = T_{\rm B}$ (GSM–Bitdauer) sei dimensionslos: |
:$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ | :$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ | ||
| − | Damit ergibt sich für das Rechtecksignal: | + | *Damit ergibt sich für das Rechtecksignal: |
:$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben: | + | *Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben: |
| − | :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\cdot ( | + | :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\big({f}/(2 f_{\rm G})\big)^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm},$$ |
| − | wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden – siehe Teilaufgabe (2). | + | :wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden – siehe Teilaufgabe '''(2)'''. |
| − | Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit: | + | *Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit: |
:$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Hierbei wird g(t) als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt: | + | :Hierbei wird $g(t)$ als ''Frequenzimpuls'' bezeichnet. Für diesen gilt: |
:$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$ | :$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden: | + | *Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden: |
| + | [[Datei:P_ID2226__Bei_A_3_4b.png|right|frame|Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion]] | ||
:$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$ | :$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Mobile_Kommunikation/Die_Charakteristika_von_GSM|Die Charakteristika von GSM]]. | ||
| + | *Bezug genommen wird auch auf das Kapitel [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]] im Buch „Beispiele von Nachrichtensystemen”. | ||
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| + | *Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$. | ||
| + | *Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe das Gaußintegral (einige Zahlenwerte sind in obiger Tabelle angegeben): | ||
| + | :$${\rm \phi}(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {In welchem Wertebereich kann die Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)$ schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein? | + | {In welchem Wertebereich kann die Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)$ schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein? |
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| − | ${\rm Max} \ [f_{\rm A}(t)] \ = \ $ { 900.068 | + | ${\rm Max} \ \big[f_{\rm A}(t)\big] \ = \hspace{0.2cm} $ { 900.068 0.01% } $\ \rm MHz$ |
| − | ${\rm Min} \ [f_{\rm A}(t)] \ = \ $ { 899.932 | + | ${\rm Min} \ \big[f_{\rm A}(t)\big] \ = \hspace{0.28cm} $ { 899.932 0.01% } $\ \rm MHz$ |
| − | {Welche systemtheoretische Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses ergibt sich aus der Forderung $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$? | + | {Welche (normierte) systemtheoretische Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses ergibt sich aus der Forderung $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$? |
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$f_{\rm G} \cdot T \ = \ $ { 0.45 3% } | $f_{\rm G} \cdot T \ = \ $ { 0.45 3% } | ||
| − | {Berechnen Sie den Frequenzimpuls $g(t)$ unter Verwendung der Funktion $\phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert $g(t = 0)$? | + | {Berechnen Sie den Frequenzimpuls $g(t)$ unter Verwendung der Funktion $\phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert $g(t = 0)$? |
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| − | $g(t = 0) \ = \ $ { 0.737 3% } | + | $g(t = 0) \ = \ $ { 0.737 3% } |
| − | {Welcher | + | {Welcher Signalwert ergibt sich für $q_{\rm G}(t = 3T)$ mit $a_{3} = -1$ sowie $a_{\mu \ne 3} = +1$? Wie groß ist die Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t = 3T)$? |
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$q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $ { -0.51822--0.42978 } | $q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $ { -0.51822--0.42978 } | ||
| − | {Berechnen Sie die Impulswerte $g(t = ±T)$. | + | {Berechnen Sie die Impulswerte $g(t = ±T)$ des Frequenzimpulses. |
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$g(t = ±T) \ = \ $ { 0.131 3% } | $g(t = ±T) \ = \ $ { 0.131 3% } | ||
| − | {Die Amplitudenkoeffizienten seien alternierend. Welcher maximale Betrag von $q_{G}(t)$ ergibt sich | + | {Die Amplitudenkoeffizienten seien alternierend. Welcher maximale Betrag von $q_{\rm G}(t)$ ergibt sich? Berücksichtigen Sie $g(t ≥ 2 T) \approx 0$. |
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| − | ${\rm Max} \ | + | ${\rm Max} \ |q_{\rm G}(t)| \ = \ $ { 0.475 3% } |
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| − | '''(1)''' | + | '''(1)''' Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ gleich $+1$, so ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Damit hat der Gaußtiefpass keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$. |
| − | '''(2)''' | + | *Die maximale Frequenz ist somit |
| − | '''(3)''' | + | :$${\rm Max}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | '''(4)''' | + | *Das Minimum der Augenblicksfrequenz |
| − | '''(5)''' | + | :$${\rm Min}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$ |
| − | '''( | + | :ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$. |
| − | '''( | + | |
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| + | '''(2)''' Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die 3dB–Grenzfrequenz. | ||
| + | *Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken: | ||
| + | :$$\frac {|H(f = f_{\rm 3dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$: | ||
| + | :$$ H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot \big ({f_{\rm 3dB}}/(2 f_{\rm G})\big)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm} | ||
| + | \Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3dB}$. | ||
| + | *Aus $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \underline{\approx 0.45}$. | ||
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| + | '''(3)''' Der gesuchte Frequenzimpuls ${\rm g}(t)$ ergibt sich aus der Faltung von Rechteckfunktion $g_{\rm R}(t)$ mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$: | ||
| + | :$$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Mit der Substitution $u^{2} = 8π \cdot {f_{G}}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann man hierfür auch schreiben: | ||
| + | :$$g(t) = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \ \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$: | ||
| + | :$$g(t = 0) = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= \ 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(4)''' Mit $a_{3} = +1$ würde sich $q_{\rm G}(t = 3 T) = 1$ ergeben. Aufgrund der Linearität gilt somit: | ||
| + | :$$q_{\rm G}(t = 3 T ) = 1 - 2 \cdot g(t = 0)= 1 - 2 \cdot 0.737 \hspace{0.15cm} \underline {= -0.474} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(5)''' Mit dem Ergebnis aus '''(3)''' und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man: | ||
| + | :$$g(t = T) = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | *Der Impulswert $g(t = -T)$ ist aufgrund der Symmetrie des Gaußtiefpasses genau so groß. | ||
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| + | '''(6)''' Bei alternierender Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\mu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich. | ||
| + | *Alle Zwischenwerte bei $t \approx \mu \cdot T$ sind dagegen kleiner. | ||
| + | *Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T) $ verkleinert, ebenso vom folgenden Impuls mit $g(t = -T)$. | ||
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| + | *Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält: | ||
| + | :$${\rm Max} \hspace{0.12cm}[q_{\rm G}(t)] = g(t = 0) - 2 \cdot g(t = T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 13. August 2020, 17:08 Uhr
Verschiedene Signale bei GMSK-Modulation
Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist Gaussian Minimum Shift Keying, kurz $\rm GMSK$. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Art von $\rm FSK$ (Frequency Shift Keying) mit $\rm CP–FSK$ (kontinuierliche Phasenanpassung), bei der
- der Modulationsindex den kleinsten Wert besitzt, der die Orthogonalitätsbedingung gerade noch erfüllt: $h = 0.5$ ⇒ Minimum Shift Keying $\rm (MSK)$,
- ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht wird, mit dem Ziel, um so noch weiter Bandbreite einzusparen.
Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt:
- Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu} ∈ \{±1\}$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.
- Der symmetrische Rechteckimpuls mit Dauer $T = T_{\rm B}$ (GSM–Bitdauer) sei dimensionslos:
- $$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
- Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
- $$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
- Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:
- $$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\big({f}/(2 f_{\rm G})\big)^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t)^2}\hspace{0.05cm},$$
- wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die 3dB–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden – siehe Teilaufgabe (2).
- Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
- $$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
- Hierbei wird $g(t)$ als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
- $$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$
- Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion
- $$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Die Charakteristika von GSM.
- Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Funkschnittstelle im Buch „Beispiele von Nachrichtensystemen”.
- Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.
- Verwenden Sie zur Lösung der Aufgabe das Gaußintegral (einige Zahlenwerte sind in obiger Tabelle angegeben):
- $${\rm \phi}(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
(1) Sind alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\mu}$ gleich $+1$, so ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Damit hat der Gaußtiefpass keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$.
- Die maximale Frequenz ist somit
- $${\rm Max}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
- Das Minimum der Augenblicksfrequenz
- $${\rm Min}\ [f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
- ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$.
(2) Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die 3dB–Grenzfrequenz.
- Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
- $$\frac {|H(f = f_{\rm 3dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$
- Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:
- $$ H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot \big ({f_{\rm 3dB}}/(2 f_{\rm G})\big)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$
- Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3dB}$.
- Aus $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \underline{\approx 0.45}$.
(3) Der gesuchte Frequenzimpuls ${\rm g}(t)$ ergibt sich aus der Faltung von Rechteckfunktion $g_{\rm R}(t)$ mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$:
- $$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
- Mit der Substitution $u^{2} = 8π \cdot {f_{G}}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann man hierfür auch schreiben:
- $$g(t) = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \ \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$
- Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$:
- $$g(t = 0) = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= \ 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Mit $a_{3} = +1$ würde sich $q_{\rm G}(t = 3 T) = 1$ ergeben. Aufgrund der Linearität gilt somit:
- $$q_{\rm G}(t = 3 T ) = 1 - 2 \cdot g(t = 0)= 1 - 2 \cdot 0.737 \hspace{0.15cm} \underline {= -0.474} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Mit dem Ergebnis aus (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:
- $$g(t = T) = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$
- Der Impulswert $g(t = -T)$ ist aufgrund der Symmetrie des Gaußtiefpasses genau so groß.
(6) Bei alternierender Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\mu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich.
- Alle Zwischenwerte bei $t \approx \mu \cdot T$ sind dagegen kleiner.
- Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T) $ verkleinert, ebenso vom folgenden Impuls mit $g(t = -T)$.
- Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält:
- $${\rm Max} \hspace{0.12cm}[q_{\rm G}(t)] = g(t = 0) - 2 \cdot g(t = T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$
