Aufgabe 2.1Z: 2D-Frequenz- und 2D-Zeitdarstellung: Unterschied zwischen den Versionen

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Im Allgemeinen ist  $H(f,\ t)$  komplex.  Der Realteil (oben) und der Imaginärteil (unten) sind separat gezeichnet.
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* Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels  [[Mobile_Kommunikation/Allgemeine_Beschreibung_zeitvarianter_Systeme| Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme]].
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* In obiger Gleichung wird ein echofreier Kanal mit dem Paramter  $M = 1$  dargestellt.
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* Hier noch einige Zahlenwerte der vorgegebenen zeitvarianten Übertragungsfunktion:
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* Wie schon aus obiger Grafik zu erahnen ist, sind weder der Realteil noch der Imaginärteil der 2D–Übertragungsfunktion  $H(f,\ t)$  mittelwertfrei.
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===Fragebogen===
 
===Fragebogen===
 
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{Liegt hier ein zeitvarianter Kanal vor?
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+ Nein.
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 +
- $h(\tau,\ t) = A \cdot \delta(\tau)$.
 +
+ $h(\tau,\ t) = z(t) \cdot \delta(\tau)$.
  
{Input-Box Frage
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{Schätzen Sie, für welchen Kanal die Daten aufgenommen wurden.
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 +
- Zweiwege&ndash;Kanal,
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- Rayleigh&ndash;Kanal,
 +
+ Rice&ndash;Kanal.
 
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===Musterlösung===
 
===Musterlösung===
 
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'''(1)'''&nbsp; Wie aus der Grafik zu ersehen, ist die Übertragungsfunktion&nbsp; $H(f,\ t)$&nbsp; abhängig von&nbsp; $t$.&nbsp; Damit ist auch&nbsp; $h(\tau,\ t)$&nbsp; zeitabhängig.&nbsp; Richtig ist also <u>JA</u>.
'''(2)'''&nbsp;  
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'''(4)'''&nbsp;  
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'''(2)'''&nbsp; Betrachtet man einen festen Zeitpunkt, zum Beispiel&nbsp; $t = 2 \ \rm ms$, so erhält man für die zeitvariante Übertragungsfunktion
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:$$H(f,\hspace{0.1cm} t = 2\, {\rm ms}) =  - {\rm j} \cdot 1.3  \hspace{0.05cm} = {\rm const.}$$
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*Damit lautet die dazugehörige 2D&ndash;Impulsantwort:
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:$$h(\tau,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3  \cdot \delta (\tau) \hspace{0.05cm}
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*Mit einem Pfad kann es aber nicht zu Mehrwegausbreitung kommen.&nbsp; Das heißt, die richtige Lösung ist <u>NEIN</u>.
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'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
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*Es liegt hier zwar Zeitvarianz, aber keine Frequenzselektivität vor.
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*Die Vorschläge 1 und 2 beschreiben dagegen zeitinvariante Systeme.
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'''(4)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 4</u>:
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*Für den AWGN&ndash;Kanal kann keine 2D&ndash;Übertragungsfunktion angegeben werden.
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*Bei einem Zweiwegekanal ist&nbsp; $H(f,\ t)$&nbsp; zu keiner Zeit&nbsp; $t$&nbsp; konstant.
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*Da in der&nbsp; $H(f,\ t)$&ndash;Grafik in Real&ndash; und Imaginärteil jeweils ein Gleichanteil ungleich Null zu erkennen ist, kann auch der Rayleigh&ndash;Kanal ausgeschlossen werden.
 +
*Die Daten für die vorliegende Aufgabe stammen nach Ausschlussverfahren von einem&nbsp; [[Mobile_Kommunikation/Nichtfrequenzselektives_Fading_mit_Direktkomponente#Kanalmodell_und_Rice.E2.80.93WDF| Rice&ndash;Kanal]].&nbsp; Zur Generierung wurden folgende Parameter verwendet:
 +
:$$\sigma =  {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 +
x_0 = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}y_0 = -{1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
 +
  f_{\rm D,\hspace{0.05cm} max} = 100\,\,{\rm Hz}\hspace{0.05cm}.$$
 
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{{ML-Fuß}}
  
  
  
[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^2.1 Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme^]]
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[[Category:Aufgaben zu Mobile Kommunikation|^2.1 Beschreibung zeitvarianter Systeme^]]

Aktuelle Version vom 13. Mai 2020, 16:53 Uhr

2D–Übertragungsfunktion, als Realteil und Imaginärteil

Zur Beschreibung eines zeitvarianten Kanals mit mehreren Pfaden verwendet man die  zweidimensionale Impulsantwort

$$h(\tau,\hspace{0.1cm}t) = \sum_{m = 1}^{M} z_m(t) \cdot {\rm \delta} (\tau - \tau_m)\hspace{0.05cm}.$$

Der erste Parameter  $(\tau)$  kennzeichnet die Verzögerungszeit, der zweite  $(t)$  macht Aussagen über die Zeitvarianz.

Durch die Fouriertransformation von  $h(\tau,\ t)$  kommt man schließlich zur  zeitvarianten Übertragungsfunktion

$$H(f,\hspace{0.1cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.05cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t) \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt  $H(f,\ t)$  abhängig vont der Frequenz für verschiedene Werte der absoluten Zeit  $t$  im Bereich von $0 \ \text{...} \ 10 \ \rm ms$.

Im Allgemeinen ist  $H(f,\ t)$  komplex.  Der Realteil (oben) und der Imaginärteil (unten) sind separat gezeichnet.






Hinweise:

  • Die Aufgabe gehört zum Themengebiet des Kapitels  Allgemeine Beschreibung zeitvarianter Systeme.
  • In obiger Gleichung wird ein echofreier Kanal mit dem Paramter  $M = 1$  dargestellt.
  • Hier noch einige Zahlenwerte der vorgegebenen zeitvarianten Übertragungsfunktion:
$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0\, {\rm ms}) \approx 0.3 - {\rm j} \cdot 0.4 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) \approx 0.0 - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm},$$
$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 4\, {\rm ms}) \approx 0.1 - {\rm j} \cdot 1.5 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 6\, {\rm ms}) \approx 0.5 - {\rm j} \cdot 0.8 \hspace{0.05cm},$$
$$H(f,\hspace{0.05cm} t \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 8\, {\rm ms}) \approx 0.9 - {\rm j} \cdot 0.1 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} H(f,\hspace{0.05cm} t = 10\, {\rm ms}) \approx 1.4 \hspace{0.05cm}.$$
  • Wie schon aus obiger Grafik zu erahnen ist, sind weder der Realteil noch der Imaginärteil der 2D–Übertragungsfunktion  $H(f,\ t)$  mittelwertfrei.


Fragebogen

1

Liegt hier ein zeitvarianter Kanal vor?

Ja.
Nein.

2

Treten bei diesem Kanal Echos auf?

Ja.
Nein.

3

Wie kann hier die 2D–Impulsantwort beschrieben werden?

$h(\tau,\ t) = A \cdot \delta(\tau) + B \cdot \delta(\tau \, –5 \, \rm µ s)$.
$h(\tau,\ t) = A \cdot \delta(\tau)$.
$h(\tau,\ t) = z(t) \cdot \delta(\tau)$.

4

Schätzen Sie, für welchen Kanal die Daten aufgenommen wurden.

AWGN–Kanal,
Zweiwege–Kanal,
Rayleigh–Kanal,
Rice–Kanal.


Musterlösung

(1)  Wie aus der Grafik zu ersehen, ist die Übertragungsfunktion  $H(f,\ t)$  abhängig von  $t$.  Damit ist auch  $h(\tau,\ t)$  zeitabhängig.  Richtig ist also JA.


(2)  Betrachtet man einen festen Zeitpunkt, zum Beispiel  $t = 2 \ \rm ms$, so erhält man für die zeitvariante Übertragungsfunktion

$$H(f,\hspace{0.1cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3 \hspace{0.05cm} = {\rm const.}$$
  • Damit lautet die dazugehörige 2D–Impulsantwort:
$$h(\tau,\hspace{0.05cm} t = 2\, {\rm ms}) = - {\rm j} \cdot 1.3 \cdot \delta (\tau) \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} M = 1 \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit einem Pfad kann es aber nicht zu Mehrwegausbreitung kommen.  Das heißt, die richtige Lösung ist NEIN.


(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

  • Es liegt hier zwar Zeitvarianz, aber keine Frequenzselektivität vor.
  • Die Vorschläge 1 und 2 beschreiben dagegen zeitinvariante Systeme.


(4)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:

  • Für den AWGN–Kanal kann keine 2D–Übertragungsfunktion angegeben werden.
  • Bei einem Zweiwegekanal ist  $H(f,\ t)$  zu keiner Zeit  $t$  konstant.
  • Da in der  $H(f,\ t)$–Grafik in Real– und Imaginärteil jeweils ein Gleichanteil ungleich Null zu erkennen ist, kann auch der Rayleigh–Kanal ausgeschlossen werden.
  • Die Daten für die vorliegende Aufgabe stammen nach Ausschlussverfahren von einem  Rice–Kanal.  Zur Generierung wurden folgende Parameter verwendet:
$$\sigma = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} x_0 = {1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}y_0 = -{1}/{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} f_{\rm D,\hspace{0.05cm} max} = 100\,\,{\rm Hz}\hspace{0.05cm}.$$