Aufgaben:Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen

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Signalraumkonstellationen mit  $M = 3$  Symbolen

Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum  $(N = 2)$  mit der Signalmenge:

$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.

Gesucht sind die Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$,  wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:

• Die Region  $I_i$  soll den Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten  $(i = 0,\ 1,\ 2)$.
• Die Signale  $\boldsymbol{s}_0$,  $\boldsymbol{s}_1$  und  $\boldsymbol{s}_2$  sind gleichwahrscheinlich.
• Die Regionen sind so zu bestimmen,  dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.

Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen  $G_{\it ik}$  zwischen den Regionen  $I_i$  und  $I_k$  jeweils Gerade,  die genau in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_i$  und  $\boldsymbol{s}_k$  verlaufen  $(i = 0,\ 1,\ 2; \ \ k = 0,\ 1,\ 2; \ \ i ≠ k)$.

Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte

$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

eingezeichnet,  die in der Teilaufgabe  (5)  jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit".

• Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:

$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

1

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 01}$?

	$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

2

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 02}$?

	$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

3

Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 12}$?

	$y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
	$y = x/3$,
	$y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

4

Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$.  Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen  $G_{\rm 01}$,  $G_{\rm 02}$  und  $G_{\rm 12}$  in einem Punkt?

	Ja.
	Nein.

5

Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?

	$\boldsymbol{A} = (0.5,\ 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.
	$\boldsymbol{B} = (1,\ 0)$  gehört zur Region  $I_2$.
	$\boldsymbol{C} = (0.75,\ 0.5)$  gehört zur Region  $I_1$.

Musterlösung

Musterlösung

Entscheidungsregionen

(1)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 1:

• Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten  $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$  und  $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$  hat die Steigung  $1/2$  (siehe Grafik).

• Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei  $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0,\ 1.5)$  und weist die Steigung  $2$  auf  $($Drehung der Verbindungslinie um  $90^\circ)$.

• Daraus folgt:   $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$

(2)  Richtig ist der  Lösungsvorschlag 3:

• Die Verbindungslinie zwischen  $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$  und  $\boldsymbol{s}_2 = (2,\ 1)$  besitzt die Steigung  $–2/3$  und schneidet die Entscheidergrenzlinie  $G_{\rm 02}$  $($mit der Steigung  $3/2)$  bei  $(0.5,\ 0)$.
• Daraus folgt:   $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right ) = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$

(3)  Hier ist der  Lösungsvorschlag 2  zutreffend:

• Die Verbindungslinie zwischen  $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$  und  $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$  schneidet die Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  bei  $(1.5,\ 0.5)$  und besitzt die Steigung  $–3$.
• Demzufolge ist die Steigung von  $G_{\rm 12} = 1/3$  und die Gleichung der Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  lautet:

$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right ) = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Die Grafik zeigt bereits,  dass die richtige Antwort  JA  ist.

• Der Schnittpunkt von  $G_{\rm 01}$  und  $G_{\rm 12}$  (weißer Kreis)  liegt bei  $(9/14,\ 3/14)$,  wegen

$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$

• Auch die Gerade  $G_{\rm 02}$  geht durch diesen Punkt:

$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$

(5)  Gemäß der Grafik sind  alle genannten Aussagen richtig.