Aufgaben:Aufgabe 1.1: Zur Kennzeichnung aller Bücher: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Seit den 1960er Jahren werden alle Bücher mit einer 10–stelligen | + | Seit den 1960er Jahren werden alle Bücher mit einer 10–stelligen "International Standard Book Number" $\rm (ISBN)$ versehen. Die letzte Ziffer dieser so genannten '''ISBN–10–Angabe''' berechnet sich dabei entsprechend folgender Regel: |
:$$ z_{10}= \left ( \sum_{i=1}^{9} \hspace{0.2cm} i \cdot z_i \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 11 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$ z_{10}= \left ( \sum_{i=1}^{9} \hspace{0.2cm} i \cdot z_i \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 11 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Seit 2007 ist zusätzlich die Angabe | + | Seit 2007 ist zusätzlich die Angabe gemäß dem Standard '''ISBN–13''' verpflichtend, wobei die Prüfziffer $z_{\rm 13}$ sich dann wie folgt ergibt: |
:$$z_{13} = 10 - \left ( \sum_{i=1}^{12} \hspace{0.2cm} z_i \cdot 3^{(i+1)\mod 2} \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 10 \hspace{0.05cm}.$$ | :$$z_{13} = 10 - \left ( \sum_{i=1}^{12} \hspace{0.2cm} z_i \cdot 3^{(i+1)\mod 2} \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 10 \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| − | Nebenstehend sind einige beispielhafte | + | Nebenstehend sind einige beispielhafte „ISBNs” angegeben. Hierauf beziehen sich die folgenden Fragen. |
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| − | Um welchen Standard handelt es sich bei Beispiel 1? | + | Um welchen Standard handelt es sich bei $\text{Beispiel 1}$? |
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- ISBN–10, | - ISBN–10, | ||
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| − | {Entsprechend Beispiel 2 sind zwei Ziffern einer ISBN–13 ausgelöscht. Kann man die ISBN rekonstruieren? Wenn Ja: Geben Sie die ISBN–13 an. | + | {Entsprechend $\text{Beispiel 2}$ sind zwei Ziffern einer ISBN–13 ausgelöscht. Kann man die ISBN rekonstruieren? Wenn Ja: Geben Sie die ISBN–13 an. |
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+Nein. | +Nein. | ||
| − | {Entsprechend Beispiel 3 ist eine Ziffer einer ISBN–13 ausgelöscht. Kann die ISBN rekonstruiert werden? Wenn Ja: Geben Sie die ISBN–13 an. | + | {Entsprechend $\text{Beispiel 3}$ ist eine Ziffer einer ISBN–13 ausgelöscht. Kann die ISBN rekonstruiert werden? Wenn Ja: Geben Sie die ISBN–13 an. |
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+Ja, | +Ja, | ||
-Nein. | -Nein. | ||
| − | {Wieviele verschiedene Werte kann die Prüfziffer $z_{\rm 10}$ bei ISBN–10 annehmen? | + | {Wieviele verschiedene Werte $(M)$ kann die Prüfziffer $z_{\rm 10}$ bei ISBN–10 annehmen? |
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$M \ = \ $ { 11 3% } $\ \rm$ | $M \ = \ $ { 11 3% } $\ \rm$ | ||
| − | {Mitgeteilt als ISBN–10 wird 3–8273–7064–7. Welche Aussage trifft zu? | + | {Mitgeteilt als ISBN–10 wird "3–8273–7064–7". Welche Aussage trifft zu? |
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| − | -Dies ist keine zulässige ISBN. | + | - Dies ist keine zulässige ISBN. |
| − | +Die ISBN könnte richtig sein. | + | + Die ISBN könnte richtig sein. |
| − | -Die ISBN ist mit Sicherheit richtig. | + | - Die ISBN ist mit Sicherheit richtig. |
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| + | ===Musterlösung=== | ||
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| + | '''(1)''' Allein durch Abzählen der ISBN–Ziffern erkennt man, dass <u>Antwort 2</u> richtig ist. Die gewichtete Summe über alle Ziffern ergibt ein Vielfaches von 10: | ||
| + | :$$S \ = \ \hspace{-0.1cm} \sum_{i=1}^{13} \hspace{0.2cm} z_i \cdot 3^{(i+1) \hspace{-0.2cm} \mod 2} = (9+8+8+7+7+6+8) \cdot 1 + (7+3+2+3+0+4) \cdot 3 = 110\hspace{0.3cm} | ||
| + | \Rightarrow \hspace{0.3cm} S \hspace{-0.2cm} \mod 10 \hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(2)''' Die Antwort ist <u>Nein</u>. Mit einer einzigen Prüfziffer lässt sich nur eine Auslöschung rekonstruieren. | ||
| + | '''(3)''' Eine Ziffer kann rekonstruiert werden ⇒ <u>Ja</u>. Für die Ziffer $z_{\rm 8}$ muss gelten: | ||
| + | :$$[(9+8+4+3+0+1+2) \cdot 1 + (7+3+5+z_8+7+5) \cdot 3] \hspace{-0.2cm} \mod 10 = 0\hspace{0.3cm} | ||
| + | \Rightarrow \hspace{0.3cm} [108 + 3z_8] \hspace{-0.2cm} \mod 10 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_8 \hspace{0.15cm}\underline {= 4} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(4)''' Durch die Modulo–11–Operation kann $z_{10}$ die Werte $0,\ 1,\ \text{...} ,\ 10$ annehmen ⇒ $\underline{M =11}$. | ||
| + | *Da „10” keine Ziffer ist, behilft man sich mit $z_{10} = \rm X$. | ||
| + | *Dies entspricht der römischen Darstellung der Zahl „10”. | ||
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| − | + | '''(5)''' Die Prüfbedingung lautet: | |
| − | + | :$$\ \ \ S= \left ( \sum_{i=1}^{10} \hspace{0.2cm} i \cdot z_i \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 11 = 0 \hspace{0.05cm}.$$ | |
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| − | == | + | *Die gegebene ISBN erfüllt diese Bedingung: |
| − | {{ | + | :$$3 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 7 \cdot 6 + 0 \cdot 7 + 6 \cdot 8 + 4 \cdot 9 + 7 \cdot 10 = 264\hspace{0.3cm} |
| − | + | ⇒\hspace{0.3cm} S= 264 \hspace{-0.3cm} \mod 11 = 0 \hspace{0.05cm}.$$ | |
| − | + | *Richtig ist die <u>Aussage 2</u>, da sich die Prüfsumme $S = 0$ auch bei mehr als einem Fehler ergeben könnte. | |
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Aktuelle Version vom 6. Juni 2022, 13:04 Uhr
ISBN–10? Oder ISBN–13?
Seit den 1960er Jahren werden alle Bücher mit einer 10–stelligen "International Standard Book Number" $\rm (ISBN)$ versehen. Die letzte Ziffer dieser so genannten ISBN–10–Angabe berechnet sich dabei entsprechend folgender Regel:
- $$ z_{10}= \left ( \sum_{i=1}^{9} \hspace{0.2cm} i \cdot z_i \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 11 \hspace{0.05cm}.$$
Seit 2007 ist zusätzlich die Angabe gemäß dem Standard ISBN–13 verpflichtend, wobei die Prüfziffer $z_{\rm 13}$ sich dann wie folgt ergibt:
- $$z_{13} = 10 - \left ( \sum_{i=1}^{12} \hspace{0.2cm} z_i \cdot 3^{(i+1)\mod 2} \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 10 \hspace{0.05cm}.$$
Nebenstehend sind einige beispielhafte „ISBNs” angegeben. Hierauf beziehen sich die folgenden Fragen.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Zielsetzung der Kanalcodierung"
Fragebogen
Musterlösung
(1) Allein durch Abzählen der ISBN–Ziffern erkennt man, dass Antwort 2 richtig ist. Die gewichtete Summe über alle Ziffern ergibt ein Vielfaches von 10:
- $$S \ = \ \hspace{-0.1cm} \sum_{i=1}^{13} \hspace{0.2cm} z_i \cdot 3^{(i+1) \hspace{-0.2cm} \mod 2} = (9+8+8+7+7+6+8) \cdot 1 + (7+3+2+3+0+4) \cdot 3 = 110\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} S \hspace{-0.2cm} \mod 10 \hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Die Antwort ist Nein. Mit einer einzigen Prüfziffer lässt sich nur eine Auslöschung rekonstruieren.
(3) Eine Ziffer kann rekonstruiert werden ⇒ Ja. Für die Ziffer $z_{\rm 8}$ muss gelten:
- $$[(9+8+4+3+0+1+2) \cdot 1 + (7+3+5+z_8+7+5) \cdot 3] \hspace{-0.2cm} \mod 10 = 0\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} [108 + 3z_8] \hspace{-0.2cm} \mod 10 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_8 \hspace{0.15cm}\underline {= 4} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Durch die Modulo–11–Operation kann $z_{10}$ die Werte $0,\ 1,\ \text{...} ,\ 10$ annehmen ⇒ $\underline{M =11}$.
- Da „10” keine Ziffer ist, behilft man sich mit $z_{10} = \rm X$.
- Dies entspricht der römischen Darstellung der Zahl „10”.
(5) Die Prüfbedingung lautet:
- $$\ \ \ S= \left ( \sum_{i=1}^{10} \hspace{0.2cm} i \cdot z_i \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 11 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Die gegebene ISBN erfüllt diese Bedingung:
- $$3 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 7 \cdot 6 + 0 \cdot 7 + 6 \cdot 8 + 4 \cdot 9 + 7 \cdot 10 = 264\hspace{0.3cm} ⇒\hspace{0.3cm} S= 264 \hspace{-0.3cm} \mod 11 = 0 \hspace{0.05cm}.$$
- Richtig ist die Aussage 2, da sich die Prüfsumme $S = 0$ auch bei mehr als einem Fehler ergeben könnte.
